2024—2025學年河南省周口市商水縣高三上學期期中數學試卷

一、單選題(★)1.若，則（）

A．B．C．D．(★★)2.若函數的定義域為集合，集合，，，則是的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件(★★)3.在中，內角、、所對的邊分別為、、，，，若，則（）

A．B．C．D．(★)4.從標號分別為的四個不同圓形圖標與標號分別為的三個不同方形圖標中任取個圖標排成一排，則不同的排法共有（）

A．種B．種C．種D．種(★★)5.記等比數列的前項和為，若，則（）

A．B．C．D．(★★★)6.加斯帕爾一蒙日是18—19世紀法國著名的幾何學家．他在研究圓錐曲線時發現：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”．現有如圖所示半徑為的“蒙日圓”，其內接矩形與一橢圓相切（直線與橢圓有且只有一個公共點），且切點為矩形各邊的中點，若該矩形的面積為，則該橢圓的離心率為（）

A．B．C．D．(★★★)7.已知底面邊長為，高為的正三棱柱的頂點均在球的表面上，則球心到平面的距離為（）

A．B．C．D．(★★★★)8.若方程與方程共有個不同的實數根，則實數的取值范圍為（）

A．B．C．D．二、多選題(★★)9.2024年巴黎奧運會中男單八進四中樊振東逆轉張本智和挺進男單四強，體現了中國體育健兒頑強的意志品質與拼搏精神，其7場的得分分別為2，9，11，11，4，11，11，則這組數據的（）

A．極差為9B．中位數為11C．平均數大于9D．30%分位數為9(★★★)10.將函數的圖象向右平移個單位，再向上平移個單位得到函數的圖象，則下列結論正確的是（）

A．的最小正周期為B．的圖象關于點對稱C．的圖象關于直線對稱D．若，則是的整數倍(★★★★)11.若函數，則下列說法正確的是（）

A．在處取得極小值B．當時，方程有兩個不同的實根C．D．若點在的圖象上運動，則點到直線距離的最小值為三、填空題(★★)12.已知向量，，記向量與的夾角為，則_____．(★★★)13.已知函數在區間內的最大值為，則_____．(★★★★)14.已知點在拋物線上，且的焦點為，過點作直線與交于、兩點，則的取值范圍為_____；若直線、分別交于、兩點（點、異于點、），則_____．四、解答題(★★★)15.在中，內角，，所對的邊分別為，，，，其中為的面積．(1)求；(2)若為銳角三角形，求的取值范圍．(★★★)16.假期某家長帶著甲、乙兩個小孩參與戶外活動體驗，鍛煉小孩的適應能力與創新能力，其中在參與“過獨木橋”活動的過程中，每參與一次稱為一次實險（不管是否通過），甲、乙兩人能一次性通過的概率分別為和．若一次性通過得分；沒通過得分，兩人每次是否一次性通過均相互獨立．已知甲、乙兩人各實驗一次，且兩人得分之和為分的概率為．(1)求的值；(2)若甲一次性通過的概率小于乙一次性通過的概率，甲、乙兩人各實驗兩次，求兩人得分之和的分布列，并通過數據證明．(★★★)17.如圖，在正三棱柱中，，為的中點．(1)證明：平面；(2)若點為線段上一點，且直線與平面所成角的正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值．(★★★★)18.已知雙曲線的左、右焦點分別為、，焦距為，且點到其漸近線的距離為．(1)求的標準方程．(2)若點是上第一象限的動點，過點作直線（不與漸近線平行），若與只有一個公共點，且與軸相交于點（與點不重合）．（i）證明：．（ii）若點在直線上，且，那么點是否在定直線上？若在定直線上，求出該直線方程；若不在定直線上，請說明理由．(★★★★)19.定義：如果存在點使得函數和在該點處的函數值相等，則稱函數與具有“關于的”關系