試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年中考數學二輪有關二次函數的應用存在性問題專題訓練1．某校興趣小組在廣場進行無人機飛行表演，一架無人機的飛行線路是一條拋物線，其飛行高度（）與水平距離（）滿足二次函數關系．(1)用配方法求出拋物線的頂點坐標，并說明其頂點坐標的實際意義．(2)若距飛行起始點正前方10處有一個16高的大型廣告牌，請通過計算判斷該無人機在飛行過程中，是否存在與廣告牌發生碰撞的風險．2．如圖，斜坡上有若干樹木，在斜坡的點A處有一噴水管，與點C的水平距離為，樹高．某時刻從A處噴出的水流恰好經過樹的頂端點B處，水流呈拋物線狀．以的單位長度建立如圖所示的平面直角坐標系，得到點．已知小樹及所有樹木都與垂直，拋物線的解析式為．(1)求該拋物線解析式；(2)若拋物線恰好過樹的樹頂N，點M在斜坡上，且．①求M的坐標；②求樹的高．3．田大爺的菜地中裝有若干個垂直于地面的柱形噴水裝置，用于灌溉蔬菜．每個裝置有上、下兩個噴頭，這兩個噴頭朝向一致，噴出的水流均是拋物線的一部分，田大爺可根據需要調節兩個噴頭的高度．該裝置可繞自身自動旋轉．某日田大爺將所有噴頭都打開，其中一個噴水裝置的噴頭A噴出的水落在水平地面的點C，噴頭B噴出的水落在水平地面的點D處，如圖所示，以點O為原點，所在直線為x軸，建立平面直角坐標系．測量可知，噴頭A噴出的水距的距離為處達到最高，且最高處距離地面．噴頭B噴出的水流所在拋物線的開口方向和形狀均與噴頭A的相同．(1)求點C的坐標．(2)身高為的田大爺直立穿梭在菜地中，設他到的水平距離為．①當他在點間穿梭時，若他不會被噴頭A噴出的水淋到，求p的取值范圍．②當他在點間穿梭時，（填“存在”或“不存在”）p的值，使他不會被水淋到．4．某公司以元千克的價格收購一批農產品進行銷售，經過市場調研發現，銷售量y（千克）與售價x（元）之間滿足一次函數關系，且當售價為元時，能銷售千克；當售價為元時，能銷售千克；但售價最高不得超過元．(1)求與之間的函數表達式；(2)若公司增加其他營銷手段，銷售量將提高到原來的倍，但售價在元的基礎上每增加元，需多支付其他費用元，請問售價為多少元，該商家能獲得最大利潤，最大利潤是多少？5．某賓館有若干間標準房，經市場調查表明，該賓館每間標準房的價格在150~240元之間（含150元，240元）浮動時，每天入住的房間數（間）與每間標準房的價格（元）滿足一次函數關系，部分數據如下表：（元）…190200210220…（間）…65605550…(1)根據所給數據在坐標中描出相應的點，并畫出圖象；(2)求關于（）的函數解析式；(3)若不考慮其他因素，賓館標準房的價格定為多少元時，客房的日營業額最大？最大為多少元？6．如圖，在河道中，建有三個鋼拱，包括一個主拱和兩個腹拱，均呈拋物線型．主拱跨度米，拱頂C到主拱水面的距離為米，兩側各有一個對稱腹拱，右側腹拱跨度為，頂點為D．以主拱水面為x軸，過頂點C的垂線為y軸建立坐標系，設主拱拋物線解析式為，右側腹拱所在拋物線解析式為．(1)直接寫出b的值，并求a；(2)求的長；(3)汛期水位上漲，當剛好到達點D時，需在主拱內邊緣兩側各對稱安裝一根臨時支撐柱和（要求：支撐柱頂端M、在主拱上，底端N、在腹拱上，且、均垂直水平面），①請在第一象限畫出的示意圖；（任意畫出一條即可）②當支撐柱高度為米時，分別求M和的橫坐標．7．在學校進行的“五一”籃球比賽中，張凱在距離籃筐中心（水平距離）處跳起投籃，他在點處跳起，籃球出手時距離地面，籃球在空中的運行路線為拋物線，當籃球運行的水平距離為時，達到離地面的最大高度．(1)建立如圖所示的平面直角坐標系，求籃球在空中運行路線的函數表達式；(2)若籃筐的高度為，張凱投出的此球能否命中籃筐中心，為什么？(3)在球出手后，未達到最高點時，被防守隊員攔截下來稱為“蓋帽”．但球到達最高點后，處于下落過程時，防守隊員再出手攔截，屬于犯規．在（1）的條件下，防守隊員李明前來蓋帽，已知李明的最大摸球高度為，則李明應該在張凱面前多少米范圍內跳起攔截才能“蓋帽”成功？8．某商店銷售一種商品，小明經市場調查發現，該商品的周銷售量（單位：件）是售價（單位：元／件）的一次函數，其售價、周銷售量、周銷售利潤（單位：元）的三組對應值如下表：售價（元／件）607080周銷售量件1008060周銷售利潤元200024002400注：周銷售利潤周銷售量（售價進價）(1)①求關于的函數解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；②求該商品的進價；③當售價定為多少時，周銷售利潤最大？最大利潤是多少元？(2)由于某種原因，該商品進價提高了元／件（），物價部門規定該商品售價不得超過70元／件，該商店在今后的銷售中，周銷售量與售價仍然滿足（1）中的函數關系．若周銷售最大利潤是1440元，求的值．9．綜合與實踐深圳自然博物館位于廣東省深圳市坪山區燕子湖片區，共劃分為陳列展覽區、藏品保管保護區、公共服務區、科普教育區、綜合業務與學術研究區以及地下車庫和設備用房六大功能部分，是深圳市“新時代十大文化設施”之一，建成后將成為粵港澳大灣區首座大型綜合類自然博物館，填補了該區在綜合類自然博物館方面的空白．坪山區某中學數學興趣小組對該項目設計圖進行了研究：把建筑俯視圖的一部分抽象為以下圖象：曲線、曲線、曲線和曲線，它們均可以看成某二次函數圖象的一部分，后三者都可以看成由曲線平移得到，的長度為6．如圖1，興趣小組建立平面直角坐標系，已知曲線最高點點坐標為．(1)求曲線所在拋物線的解析式（不需要寫自變量的取值范圍）．(2)如圖2，現在需要在建筑的頂部劃出一片矩形區域來做綠化，下圖所示，其中軸，求矩形花園周長的最大值．(3)如圖3，為了增強建筑物晚上的整體美觀度，如果在建筑的曲線和曲線的外墻上安裝具備燈光效果的垂直燈具，假設每個垂直燈具的水平間距為0.6，即，請問至少需要安裝垂直燈具____________個．10．綜合與實踐：灑水車是城市綠化的生力軍，清掃道路，美化市容，降溫除塵，方便出行．如圖1，一輛灑水車正在沿著公路行駛（平行于綠化帶），為綠化帶澆水．數學小組成員想了解，灑水車要如何把控行駛路線與綠化帶之間的距離，才能保證噴出的水能澆灌到整個綠化帶？為解決這一問題，數學小組決定建立函數模型來描述澆水的情況，探索步驟如下：(1)【建立模型】數據收集：如圖2，選取合適的原點0，建立直角坐標系，使得灑水車的噴水口H點在y軸上，根據現場測量結果，噴水口H離地面豎直高度為，把綠化帶截面抽象為矩形，其中D，E點在x軸上，測得其水平寬度，豎直高度，那么，灑水車與綠化帶之間的距離就可以用線段的長來表示．①查閱資料：發現可以把灑水車噴出的水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標系中兩條拋物線的部分圖象，分別為，，上邊緣拋物線的最高點A離噴水口的水平距離為，高出噴水口，求上邊緣拋物線的函數解析式，并求出灑水車噴出水的最大射程；②下邊緣拋物線可以看作由上邊緣拋物線向左平移得到，其開口方向與大小不變．請求出下邊緣拋物線與x軸的正半軸交點B的坐標；(2)【問題解決】要使灑水車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶（即矩形位于上邊緣拋物線和下邊緣拋線所夾區域內），利用上述信息直接寫出的取值范圍．11．如圖，某農戶計劃用籬笆圍一個花圃場地，該矩形場地一面靠墻（墻的長度為），另外三面用籬笆圍成，中間再用垂直于墻的籬笆把該場地分成兩個部分分別為育苗區和種植區，其中再開兩個的門，計劃購買籬笆的總長度為，設矩形場地與墻垂直的一邊長為，總面積為(1)求出y關于x的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍；(2)當x為何值時，整個矩形場地的面積最大？最大面積為多少？12．跳臺滑雪是冬季奧運會的比賽項目之一，如圖，運動員通過助滑道后在點處起跳經空中飛行后落在著陸坡上的點處，他在空中飛行的路線可以看作拋物線的一部分，這里表示起跳點到地面的距離，表示著陸坡的高度，表示著陸坡底端到點的水平距離，建立如圖所示的平面直角坐標系，從起跳到著陸的過程中，運動員的豎直高度（單位：）與水平距離（單位：）近似滿足函數關系：，已知，落點的水平距離是，豎直高度是．(1)點的坐標是______，點的坐標是______；(2)求與的函數關系式；(3)運動員在空中飛行過程中，當他與著陸坡豎直方向上的距離達到最大時，求此時的水平距離．13．某農戶用噴槍給斜坡上的綠地噴灌，噴出水柱的形狀是一條拋物線．經測量，處的噴水頭距地面，水柱在距噴水頭水平距離處達到最高，最高點與水平線的距離為，建立如圖所示的直角坐標系，水柱距噴水頭的水平距離為，水柱距水平線的高度是．(1)求與之間的函數表達式；(2)若斜坡的坡比為，即圖中，斜坡上有一棵高的樹，它與噴水頭的水平距離為，請判斷從處噴出的水柱能否越過這棵樹的樹頂，并說明理由．14．某商店進購一商品，第一天每件盈利（毛利潤）10元，銷售500件．(1)第二、三天該商品十分暢銷．銷售量持續走高．在售價不變的基礎上，第二、三天的銷售量達到605件，求第二、三天的日平均增長率；(2)經市場調查發現，在進貨價不變的情況下，若每件漲價1元，日銷量將減少20件．①現要保證每天總毛利潤6000元，同時又要使顧客得到實惠，則每件應張價多少元？②現需按毛利潤的交納各種稅費，人工費每日按銷售量每件支出0.9元，水電房租費每日102元，若剩下的每天總純利潤要達到5100元，則每件漲價應為多少？15．【項目式學習】【項目主題】研究擊球運動【項目背景】探究擊球運動中蘊含的數學知識，并運用所學知識解決相關的問題．甲，乙，丙，丁四個學習小組開展數學項目式學習實踐活動，獲取的所有數據共享．活動地點：比較開闊的草坪地．【項目素材】素材一：甲小組調試機器擊球，保證每一次的擊球方式相同，球在空中的飛行路線是相同的拋物線（在無風的情況下，且不考慮空氣阻力）．素材二：乙小組用監測儀器測得球的飛行高度與水平距離部分數據如下．水平距離06183036飛行高度09212524素材三：丙小組用監測儀器測得的小球飛行的水平距離與時間的關系，根據數據分析，與是正比例函數關系，并根據相關數據繪制成如下圖象（如圖1）．素材四：如圖2所示，丁小組在草坪邊山坡點處放置一個球框，并測得山坡的坡角，，．（參考數據：，，）．【項目任務】任務一：直接寫出與的函數關系式；任務二：當小球飛行的高度達到時，求小球飛行的時間；任務三：若在點處擊球，球能否落在點處的球筐中？請說明理由．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025年中考數學二輪有關二次函數的應用存在性問題專題訓練》參考答案1．(1)頂點坐標為，表示當飛行的水平距離為時，飛行達到最大高度為(2)無人機不存在與廣告牌發生碰撞的風險【分析】本題考查了二次函數的應用，掌握二次函數的性質是解題的關鍵；（1）先根據題意將解析式配方，進而結合題意說出頂點坐標的實際意義，即可求解；（2）將代入解析式，求得函數值與，比較大小，即可求解．【詳解】（1）解：；頂點坐標為，表示當飛行的水平距離為時，飛行達到最大高度為．（2）當時，，答：無人機不存在與廣告牌發生碰撞的風險．2．(1)；(2)①；②【分析】此題考查了二次函數的應用，準確求出函數解析式是關鍵．（1）利用待定系數法求出函數解析式即可；（2）①延長交于點H，證明，利用相似三角形的性質解得，，則，即可得到答案；②求出，得到，即可得到．【詳解】（1）解：在斜坡的點A處有一噴水管，與點C的水平距離為，樹高．∴，把，代入得到解得∴該拋物線解析式為；（2）①延長交于點H，則，∵，∴，∴，∵∴∴，解得，∴，∴②當時，即，∴，∴即樹的高為3．(1)(2)①；②不存在【分析】（1）先用待定系數法求出拋物線的解析式，然后求出拋物線與x軸的交點坐標即可；（2）①把代入，求出，，得出當時，他不會被噴頭A噴出的水淋到；②先求出噴頭B噴出的水流所在拋物線解析式為：，把代入得出，根據，即可得出答案．【詳解】（1）解：噴頭A噴出的水流所在拋物線的頂點坐標為，經過點，設噴頭A噴出的水流所在拋物線的解析式為：，把代入得：，解得：，∴噴頭A噴出的水流所在拋物線的解析式為：，把代入得：，解得：，，∴點C的坐標為；（2）解：①把代入得：，解得：，，∵他到的水平距離為，∴當時，他不會被噴頭A噴出的水淋到；②∵噴頭B噴出的水流所在拋物線的開口方向和形狀均與噴頭A的相同，∴設噴頭B噴出的水流所在拋物線解析式為：，把，代入得：，解得：，∴噴頭B噴出的水流所在拋物線解析式為：，把代入得：，∵，∴當他在點間穿梭時，不存在p的值，使他不會被水淋到．【點睛】本題主要考查了二次函數的應用，熟練掌握待定系數，是解題的關鍵．4．(1)(2)售價為元時，獲得最大利潤，最大利潤為元【分析】本題主要考查了一次函數與二次函數的綜合應用，學會用待定系數法求解一次函數解析式，并將實際問題轉化為求函數最值問題，從而來解決實際問題．（1）根據題意待定系數法，求解析式，即可求解；（2）設利潤為，根據銷售量乘以銷售價格減去銷售成本和其他費用，列出函數關系式，根據二次函數的性質，即可求解．【詳解】（1）解：設一次函數解析式為，依題意，得解得：∴（2）解：設利潤為，根據題意得，，∵，∴當時，取得最大值，最大值為答：售價為元時，獲得最大利潤，最大利潤為元5．(1)見解析(2)；(3)賓館標準房的價格定為160元時，客房的日營業額最大，最大為12800元．【分析】本題主要考查了二次函數的應用以及待定系數法求一次函數解析式以及二次函數最值問題，由營業額=入住房間數量×房價得出函數解析式及二次函數的性質是解題關鍵．（1）依據題意，描點、連線即可得；（2）依據題意，待定系數法求解可得；（3）依據題意，由營業額=入住房間數量×房價得出函數解析式，再利用二次函數的性質求解可得．【詳解】（1）解：描點、連線，函數圖象如圖所示：（2）解：由題意，設，將、代入，∴，∴，∴；（3）解：由題意得，，∴對稱軸為直線，∵，∴當時，w有最大值，最大值為元．答：賓館標準房的價格定為160元時，客房的日營業額最大，最大為12800元．6．(1)，(2)6(3)①見解析；②M的橫坐標為15，的橫坐標為【分析】（1）根據，，得，，得，代入，解得；（2）令，求得，得；（3）設，得，得，解得（舍去），得M的橫坐標為15，由對稱性得的橫坐標為．【詳解】（1）解：∵，，∴，，∴，∴，解得；（2）解：時，，∴，∴；（3）解：①如圖所示，②由（1）可得，∵，∴設，∴，∵∴，解得（舍去），∴M的橫坐標為15，由對稱性知，的橫坐標為．【點睛】本題考查了二次函數的應用——拱橋問題，熟練掌握待定系數法求二次函數的解析式，二次函數的圖象和性質，二次函數的對稱性，坐標軸上或平行坐標軸的線段的長度，分類討論，是解答的關鍵．7．(1)拋物線的函數表達式為；(2)張凱投出的此球能命中籃圈中心；(3)李明應該在張凱前面米范圍內跳起攔截才能蓋帽成功．【分析】本題考查了二次函數的實際應用，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．（）由題意可知拋物線的頂點坐標為，設拋物線的函數表達式為，然后把代入求解即可；（）當時，求出的值，然后與比較即可；（）當時，，求出的值，然后檢驗即可．【詳解】（1）解：∵籃球運行的水平距離為時，達到離地面的最大高度，∴拋物線的頂點坐標為，設拋物線的函數表達式為，且過點，∴，解得：，∴拋物線的函數表達式為；（2）解：由（）得，拋物線的函數表達式為，當時，，∴張凱投出的此球能命中籃圈中心；（3）解：當時，，解得：（不合題意，舍去），，∴李明應該在張凱前面米范圍內跳起攔截才能蓋帽成功．8．(1)①；②商品的每件進價為元；③售價為75元/件時，周銷售利潤最大，最大為2450元．(2)【分析】本題考查了一次函數的應用，二次函數的應用，弄清題意，找準各量間的關系正確列出函數解析式是解題的關鍵．（1）①設與的函數關系式為，根據表格中的數據利用待定系數法進行求解即可；②設進價為a元，根據利潤售價進價，列方程可求得a的值，③根據“周銷售利潤周銷售量（售價進價）”可得w關于x的二次函數，利用二次函數的性質進行求解即可得；（2）根據“周銷售利潤周銷售量（售價進價）”可得，進而利用二次函數的性質進行求解即可．【詳解】（1）解：①設與的函數關系式為，將，分別代入得，，解得，，∴與的函數關系式是；②設進價為a元，由售價60元時，周銷售是為100件，周銷售利潤為2000元，得，解得：，∴商品的每件進價為元；③依題意有，=∵，∴當時，w有最大值為2450，即售價為75元/件時，周銷售利潤最大，最大為2450元．（2）解：依題意有，∵，∴對稱軸，∵，∴拋物線開口向下，∵，∴隨的增大而增大，∴當時，∴有最大值，∴，∴．9．(1)(2)20(3)26【分析】（1）設出頂點式，根據圖象過原點，待定系數法求出函數解析式即可；（2）平移求出曲線的解析式，設，根據周長公式，列出二次函數求最值即可；（3）求出的長，進而求出的長，再除以間距即可．【詳解】（1）解：∵曲線最高點點坐標為∴設，∵圖象過原點，∴，解得：，∴；（2）∵曲線由曲線平移得到，的長度為6，∴曲線的解析式為：，設，由題意，可知：，關于對稱軸對稱，∴，∴矩形花園周長為：，∴當時，矩形花園的周長最大，為20；（3）∵，∴對稱軸為直線，∵，∴，∴，∵曲線、曲線和曲線，都可以看成由曲線平移得到，∴，∵每個垂直燈具的水平間距為0.6，∴，∴至少需要安裝垂直燈具26個．故答案為：2610．(1)①；②（2，0）(2)【分析】本題是二次函數的實際應用，主要考查了待定系數法求二次函數解析式，二次函數的性質，二次函數圖象的平移，讀懂題意，建立二次函數模型是解題的關鍵．（1）①由頂點得，設，再根據拋物線過點，可得的值，從而解決問題；②由對稱軸知點的對稱點為，則下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到的，可得點的坐標；（2）根據，求出點的坐標，利用增減性可得的最大值為最小值，從而得出答案；【詳解】（1）解：①由題意得：，，是上邊緣拋物線的頂點，設，又拋物線過點，，，上邊緣拋物線的函數解析式為；令，則，解得或（舍去），灑水車噴出水的最大射程為；②對稱軸為直線，點的對稱點為，平移后仍過點，是由向左平移得到的，，點是由點向左平移得到的，點的坐標為；（2）解：，點的縱坐標為1，，解得或（舍去），，當時，隨的增大而減小，當時，要使，則，當時，隨的增大而增大，且時，，當時，要使，則，灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，的最大值為，下邊緣拋物線，噴出的水能灌溉到綠化帶底部的條件是，的最小值為2，的取值范圍為．11．(1)；(2)當時，y有最大值【分析】本題考查了二次函數在幾何圖形問題中的應用，數形結合并熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．（1）根據題意可得，矩形場地與墻垂直的一邊長為，矩形場地的另一邊長為，從而矩形場地的總面積為，再結合墻的長度為，可得，進而可得自變量的取值范圍；（2）依據題意，由，從而當時，隨的增大而減小，又，進而由二次函數的性質可以判斷得解．【詳解】（1）解：由題意，∵矩形場地與墻垂直的一邊長為，矩形場地的另一邊長為，∴矩形場地的總面積為．∵墻的長度為18米，∴，∴．∴關于的函數關系式為．（2）解：由題意，∵，∴當時，隨的增大而減小．又∵，∴當時，取最大值，最大值為：．答：當為時，矩形場地的總面積最大，最大值為．12．(1)，(2)(3)【分析】本題考查了二次函數的實際應用，正確求出二次函數解析式是解題的關鍵．（）根據題意即可求解；（）利用待定系數法解答即可；（）求出直線的解析式，設到豎直方向上的距離最大，作軸交拋物線和直線于點，求出的關系式，再根據二次函數的性質解答即可求解；【詳解】（1）解：由題意得，點的坐標是，點的坐標是，故答案為：，；（2）解：把，代入得，，解得，∴；（3）解：設直線的表達式為，把，代入得，，解得，∴直線的表達式為，設到豎直方向上的距離最大，作軸交拋物線和直線于點，∴，∴，∵，∴當時，的值最大，即當他與著陸坡豎直方向上的距離達到最大時，此時的水平距離為．13．(1)拋物線解析式為；(2)不能，理由見解析．【分析】本題考查了二次函數的應用噴水問題，解直角三角形斜坡問題，熟練掌握二次函數待定系數法求解析式、讀懂題意、把實際問題轉化為數學問題和熟記二次函數的頂點式是解題的關鍵．（1）根據拋物線解析式為，為拋物線的頂點，得到拋物線頂點式，由是拋物線與y軸交點，將P點代入解析式，求解出待定系數即可；（2）連接，過點E作，根據題意點E、C、H點橫坐標5，得，由斜坡的坡比為，即可求出，從而得到，然后把代入（1）中求解出的解析式中，得到y，比較y與即可．【詳解】（1）解：設與之間的函數表達式為，由題可知，其圖象頂點坐標為，拋物線解析式為．又