第一講曲線運動運動的合成與分解[人教版必修第二冊]1．第五章第一節P2－P4頁，（1）曲線運動的速度方向有什么特點？（2）為什么曲線運動是變速運動？（3）曲線運動的條件是什么？提示：（1）做曲線運動的物體在某點的速度方向，沿曲線在這一點的切線方向；（2）速度是矢量，由于曲線運動的速度方向時刻在變化，所以是變速運動；（3）物體所受合力的方向與它的速度方向不在一條線上。2．第五章第二節P7頁圖5.2－2，蠟塊沿著什么樣的軌跡運動？提示：蠟塊的軌跡方程為：y＝，由于vx和vy都是常量，所以也是常量，可見y＝代表的是一條過原點的直線，也就是說蠟塊的運動軌跡是直線。3．第五章第二節P9頁【思考與討論】，合運動的軌跡是直線還是曲線是由什么決定的？提示：由合速度的方向與質點所受合力的方向決定的，若合力（或合加速度）的方向與合速度的方向在同一直線上，則軌跡為直線，否則為曲線。4．第五章第一節P3頁圖5.1－2，如何利用極限思想，確定物體曲線運動瞬時速度的方向？提示：物體沿曲線從B點運動到A點，當B點越接近A點，物體的平均速度的方向越接近A點的瞬時速度的方向，當兩點距離接近0時，瞬時速度的方向沿過A點的切線方向。應用了極限思想。5．P5頁，【練習與應用T5】已知速度和合外力的方向，如何畫軌跡？提示：曲線運動軌跡夾在速度與合外力方向之間，并向合外力的方向彎曲。6．P9頁，【練習與應用T5】汽艇駛到河對岸需要的時間？汽艇的位置？提示：無論河水是否流動，汽艇駛到對岸的時間都是t＝＝100s，由于河水流動，汽艇沿河水流動方向的位移l＝v2t＝×100m＝100m，即汽艇在對岸下游100m處靠岸。7．P21頁，【復習與提高T6】討論運動的合成與分解？提示：（1）由vx－t圖像可知，質點在x方向做初速度為v0x＝4m/s的勻加速直線運動，加速度為ax＝＝2m/s2，t＝0.5s時vx＝v0x＋axt＝5m/s，方向沿x軸正方向。由y－t圖像可知，質點沿y方向做勻速直線運動，沿y方向的分速度為vy＝＝－5m/s，即方向沿y軸負方向。故當t＝0.5s時，v＝＝m/s，tanθ＝＝1，即質點速度方向與x軸正方向的夾角為45°斜向第四象限。（2）t＝0.5s時，質點在x方向的位移x＝v0xt＋，在y方向的位移y＝y0＋vyt。將t＝0.5s、v0x＝4m/s、ax＝2m/s2、y0＝10m、vy＝－5m/s代入，解得x＝2.25m，y＝7.5m。故當t＝0.5s時，質點的位置坐標為（2.25m，7.5m）。（3）軌跡如圖所示：考點一曲線運動的基本特征1．曲線運動的速度方向質點在某一點的速度方向，沿曲線在這一點的切線方向。2．物體做曲線運動的條件（1）運動學角度：物體的加速度的方向與它的速度方向不在同一直線上。（2）動力學角度：物體所受合力的方向與它的速度方向不在同一直線上。3．曲線運動的特征（1）運動學特征：做曲線運動的物體的速度方向時刻發生變化，即曲線運動一定為變速運動。（2）動力學特征：做曲線運動的物體所受合力一定不為零且和速度方向始終不在同一條直線上。合力在垂直于速度方向上的分力改變物體速度的方向，合力在沿速度方向上的分力改變物體速度的大小。（3）軌跡特征：曲線運動的軌跡始終夾在合力的方向與速度的方向之間，而且向合力的一側彎曲。（4）能量特征：如果物體所受的合力始終和物體的速度垂直，則合力對物體不做功，物體的動能不變；若合力不與物體的速度方向垂直，則合力對物體做功，物體的動能發生變化。題型一曲線運動的軌跡分析（2023·浙江模擬）2021年8月21日，中國人民解放軍火箭軍成功發射兩枚新型導彈。導彈軌跡通常都十分復雜，如圖是分析導彈工作時的軌跡示意圖，其中彈頭的速度v與所受合外力F關系正確的是（）A．圖中A點 B．圖中B點 C．圖中C點 D．圖中D點D彈頭的運動軌跡是曲線，因此合外力與速度關系應滿足曲線運動條件，合外力指向軌跡的凹側，速度方向沿軌跡的切線方向，故選D。題型二曲線運動中速率變化的判斷（多選）一個科研團隊在某次空氣動力學實驗中，通過傳感器得到研究對象做勻變速曲線運動的軌跡如圖所示，且質點運動到最低點D時速度方向與加速度方向恰好互相垂直，則質點從A點運動到E點的過程中，下列說法中正確的是（）A．質點經過A點時的加速度方向與速度方向的夾角大于90°B．質點的速率先增大后減小C．質點經過D點時的加速度比經過B點時的大D．在任意1s內，質點速度改變的大小相同、方向豎直向上ADAB、質點做勻變速曲線運動，則有加速度不變，在最低點D時速度方向與加速度方向恰好互相垂直，速度沿D點軌跡的切線方向，則知加速度豎直向上，從A點運動到E點的過程中加速度方向與速度方向先成鈍角后成銳角，夾角一直減小，故質點的速率先減小后增大，故B錯誤，A正確；CD、由于加速度不變，在任意1s內，質點速度改變的大小相同、方向豎直向上，故C錯誤，D正確。故選AD。1．軌跡與合外力、速度間的關系分析思路2．速率變化的判斷1．（2024·安徽省滁州市·聯考題）關于對物體運動的描述，下列說法正確的是（）A．物體的初速度為零且合力為恒力，軌跡可能為曲線B．物體的軌跡為曲線時，物體所受的外力一定是變力C．物體的合力為恒力且與速度共線時，軌跡可能為曲線D．物體的合力與速度不在一條直線上時，軌跡一定為曲線D當物體受到的合力方向與初速度方向不在同一直線上時，物體做曲線運動，軌跡是否為曲線與外力為恒力還是變力無關，D正確，A、B、C錯誤。2．（2024·安徽省·聯考題）如圖所示，一運動員在駕駛無動力滑翔傘飛行過程中，在同一豎直平面內沿一段曲線軌跡飛行，而且越飛越快，該過程中關于運動員所受的合力和速度方向的關系，可能正確的是（）A． B．C． D．B運動員在飛行過程中，在豎直平面內做曲線運動，根據物體曲線運動的合外力指向運動軌跡的內側；同時，運動員在飛行過程中加速（越飛越快），故合外力與速度的方向的夾角要小于90°，故B正確，ACD錯誤。考點二運動的合成與分解1．合運動與分運動物體的實際運動是合運動，物體同時參與的幾個運動是分運動。2．合運動與分運動的關系（1）等時性：合運動和分運動經歷的時間相等，即同時開始、同時進行、同時停止。（2）獨立性：一個物體同時參與幾個分運動，各分運動獨立進行，不受其他運動的影響。（3）等效性：各分運動的規律疊加起來與合運動的規律有完全相同的效果。（4）同一性：各分運動與合運動是指同一物體參與的分運動和實際發生的運動，不能是幾個不同物體發生的不同運動。3．運動的合成與分解遵循的運算法則位移、速度、加速度都是矢量，故它們的合成與分解都遵循平行四邊形定則。4．物體合運動性質的判斷依據（1）加速度（或合外力）eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(不變：勻變速運動,變化：非勻變速運動))（2）加速度（或合力）方向與速度方向eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共線：直線運動,不共線：曲線運動))5．判斷兩個直線運動的合運動性質兩個互成角度的分運動合運動的性質兩個勻速直線運動勻速直線運動一個勻速直線運動、一個勻變速直線運動勻變速曲線運動兩個初速度為零的勻加速直線運動初速度為零的勻加速直線運動兩個初速度不為零的勻變速直線運動如果v合與a合共線，為勻變速直線運動如果v合與a合不共線，為勻變速曲線運動題型一合運動性質和軌跡的判斷（2022·遼寧高考）如圖所示，橋式起重機主要由可移動“橋架”“小車”和固定“軌道”三部分組成。在某次作業中橋架沿軌道單向移動了8m，小車在橋架上單向移動了6m。該次作業中小車相對地面的位移大小為（）A．6m B．8m C．10m D．14mC小車沿軌道方向的位移與沿橋架方向的位移相互垂直，根據矢量的合成與分解可知，該次作業中小車相對地面的位移大小為x＝＝m＝10m，故選C。（多選）如圖在滅火搶險的過程中，消防隊員有時要借助消防車上的梯子爬到高處進行救人或滅火作業。為了節省救援時間，在消防車向前前進的過程中，人同時相對梯子勻速向上運動。在地面上看消防隊員的運動，下列說法中正確的是（）A．當消防車勻速前進時，消防隊員一定做勻加速直線運動B．當消防車勻速前進時，消防隊員一定做勻速直線運動C．當消防車勻加速前進時，消防隊員一定做勻變速曲線運動D．當消防車勻加速前進時，消防隊員一定做勻變速直線運動BC兩個互成角度的勻速直線運動的合運動仍然是勻速直線運動，當消防車勻速前進時，消防隊員一定做勻速直線運動，B正確，A錯誤；互成角度的一個勻速直線運動與一個勻變速直線運動的合運動是勻變速曲線運動。當消防車勻加速前進時，因消防車加速度恒定，且與消防隊員沿梯子運動的方向有一定夾角，故消防隊員一定做勻變速曲線運動，C正確，D錯誤。故選：BC。題型二運動的合成與分解綜合圖像問題質量為2kg的質點在x－y平面上運動，x方向的速度—時間圖像和y方向的位移—時間圖像分別如圖甲、乙所示，則質點（）A．初速度為4m/s B．所受合外力為4NC．做勻變速直線運動 D．初速度的方向與合外力的方向垂直B質點在x軸方向的初速度為vx＝4m/s，在y軸方向的初速度vy＝3m/s，則質點的初速度v0＝＝5m/s，故A錯誤；由題圖可知，質點在x軸方向的加速度a＝2m/s2，在y軸方向做勻速直線運動，所以質點所受合外力F合＝ma＝4N，故B正確；質點在x軸方向的合力恒定不變，在y軸方向做勻速直線運動，在y軸方向合力為零，則質點的合力恒定不變，做勻變速曲線運動，故C錯誤；質點的合力沿x軸方向，而初速度方向既不沿x軸方向，也不沿y軸方向，所以質點初速度的方向與合外力方向不垂直，D錯誤。故選B。求解運動的合成與分解問題的幾個關鍵點：（1）求解運動的合成與分解問題，應抓住合運動與分運動具有等時性、獨立性。（2）合運動的位移、速度、加速度是各分運動的位移、速度、加速度的矢量和。（3）恒力作用下物體的勻變速曲線運動可分解為沿力的方向的勻變速直線運動和垂直于力的方向的勻速直線運動。1．（2022·江蘇高考）根據高中所學知識可知，做自由落體運動的小球，將落在正下方位置。但實際上，赤道上方200m處無初速度下落的小球將落在正下方位置偏東約6cm處，這一現象可解釋為除重力外，由于地球自轉，下落過程小球還受到一個水平向東的“力”，該“力”與豎直方向的速度大小成正比，現將小球從赤道地面豎直上拋，考慮對稱性，上升過程該“力”水平向西，則小球（）A．到最高點時，水平方向的加速度和速度均為零B．到最高點時，水平方向的加速度和速度均不為零C．落地點在拋出點東側D．落地點在拋出點西側D豎直上拋過程中，受到水平向西的力，導致物體具有水平向西的加速度，并且加速度隨著豎直方向速度減小而減小，因此物體到最高點時，豎直方向速度為零，水平方向速度向西，因而水平方向受力為零，水平方向加速度為零，故AB錯誤；將此物體的運動分解成水平方向與豎直方向，考慮對稱性，物體落地時在水平方向上的速度正好減小到零；上拋過程中，物體受力方向一直向西，水平方向上向西做加速運動；下降時，物體水平速度方向向西，水平加速度方向向東，水平方向上向西做減速運動；上拋下降過程中水平方向上都向西運動，因此落地點在拋出點西側，故C錯誤，D正確。故選D。2．（2024·江西省·聯考題）伴隨著低空空域管理改革及技術創新的驅動，深圳市《深圳經濟特區低空經濟產業促進條例》于2023年底獲通過，孕育著萬億級的市場空間。據了解，初始階段低空經濟主要業務是利用無人機送快遞，可以大大提高快遞送達效率。一無人機某次將快遞從甲地送往乙地，無人機飛行過程的水平方向速度vx和豎直向上的速度vy與飛行時間t的關系圖線如圖所示。下列說法正確的是（）A．無人機在10s時刻達到最大速率為5m/sB．無人機在0－10s時間內的加速度大小為0.4m/s2C．無人機在10s末時刻上升至最高點D．甲乙兩地的水平位移為1470mAA、無人機在10s時刻水平速度與豎直速度合成為v＝m/s＝5m/s，A正確；B、速度時間圖像斜率表示加速度，則0－10s內豎直方向加速度為0.4m/s2，合加速度不等于0.4m/s2，B錯誤；C、由圖像可知無人機在15s時上升到最高點，C錯誤；D、圖象與時間軸所圍的面積代表位移s＝×3m＝1500m，則甲乙兩地的水平位移為，D錯誤。故選A。3．（多選）一物體在以xOy為直角坐標系的平面上運動，其運動規律為x＝－2t2－4t，y＝3t2＋6t（式中的物理量單位均為國際單位）。關于物體的運動，下列說法正確的是（）A．物體在x軸方向上做勻減速直線運動B．物體在y軸方向上做勻加速直線運動C．物體運動的軌跡是一條直線D．物體運動的軌跡是一條曲線BC對應位移與時間公式x＝v0t＋，x＝－2t2－4t，y＝3t2＋6t，可得初速度v0x＝－4m/s，v0y＝6m/s，加速度ax＝－4m/s2，ay＝6m/s2。物體在x軸上分運動的初速度和加速度同方向，物體在x軸方向上做勻加速直線運動，故A錯誤；物體在y軸方向的初速度和加速度同方向，物體在y軸方向上做勻加速直線運動，故B正確；題中分運動的初速度與加速度數值完全相同，故合運動的初速度與加速度方向是相同的，則合運動一定是勻加速直線運動，故C正確，D錯誤。故選BC。考點三“小船渡河”問題1．模型構建在運動的合成與分解問題中，兩個勻速直線運動的合運動仍是勻速直線運動。若其中一個分運動的速度大小和方向都不變，另一個分運動的速度大小不變，方向在180°范圍內（在速度不變的分運動所在直線的一側）變化，我們對合運動或分運動的速度、時間、位移等問題進行研究。這樣的運動系統可看成“小船渡河模型”。2．模型條件（1）物體同時參與兩個勻速直線運動。（2）一個分運動速度大小和方向保持不變，另一個分運動速度大小不變，方向可在一定范圍內變化。3．小船渡河的兩類問題、三種情境最短時間問題最短位移問題渡河情境渡河條件v船⊥v水v合⊥v水（v船＞v水）v合⊥v船（v水＞v船）渡河結果最短時間tmin＝最短位移為河寬d最短位移為小船渡河的時間和位移問題一小船渡河，河寬d＝180m，水流速度v1＝2.5m/s。（1）若船在靜水中的速度為v2＝5m/s，欲使船在最短的時間內渡河，船頭應朝什么方向？用多長時間？位移是多少？（2）若船在靜水中的速度為v2＝5m/s，欲使船渡河的航程最短，船頭應朝什么方向？用多長時間？位移是多少？（3）若船在靜水中的速度為v2＝1.5m/s，要使船渡河的航程最短，船頭應朝什么方向？用多長時間？位移是多少？（1）船頭垂直于河岸36s90eq\r(5)m（2）船頭與上游河岸成60°角24eq\r(3)s180m（3）船頭與上游河岸成53°角150s300m（1）若v2＝5m/s，欲使船在最短時間內渡河，船頭應朝垂直河岸方向，當船頭垂直河岸時，如圖甲所示，合速度沿傾斜方向，垂直河岸分速度為v⊥＝v2＝5m/st＝＝＝s＝36sv合＝＝m/sx＝v合t＝m。（2）若v2＝5m/s，欲使船渡河航程最短，合速度應沿垂直河岸方向。船頭應朝圖乙中的v2方向。垂直河岸過河要求v∥＝0，如圖乙所示，有v2sinα＝v1，得α＝30°。所以當船頭與上游河岸成60°角時航程最短，x＝d＝180mt＝＝＝s＝s。（3）若v2＝1.5m/s，與（2）中不同，因為船速小于水速，所以船一定向下游漂移，設合速度方向與河岸下游方向夾角為β，則航程x＝，欲使航程最短，需β最大，如圖丙所示，由出發點A作出v1矢量，以v1矢量末端為圓心、v2大小為半徑作圓，A點與圓周上某點的連線為合速度方向，欲使v合與河岸下游方向夾角最大，應使v合與圓相切，即v合⊥v2。此時sinβ＝＝，得β＝37°所以船頭應朝與上游河岸成53°角方向。最短航程為x＝＝300mt＝＝s＝150s。1．小船渡河運動的合成與分解原則2．求解小船渡河問題的關鍵和方法（1）解決問題的關鍵：正確區分分運動和合運動，船的航行方向也就是船頭指向，是分運動方向，船的運動方向也就是船的實際運動方向，是合運動方向，一般情況下與船頭指向不一致。（2）運動分解的基本方法：按實際效果分解，一般用平行四邊形定則沿水流方向和船頭指向分解。（3）渡河時間只與垂直河岸的船的分速度有關，與水流速度無關。求解渡河時間，一般根據運動的獨立性，由t＝eq\f(x⊥,v⊥)＝eq\f(x水,v水)＝eq\f(x合,v合)求解。（4）求最短渡河位移：當水速小于船速時，即為河寬；當水速大于船速時，根據船速v船與水流速度v水的情況用三角形定則求極限的方法處理。1．（2024·廣東省陽江市·聯考題）如圖所示，一條兩岸平直的小河，寬L＝100m，河水流速的大小處處相等，一人駕駛小船由渡口A駛向渡口B，船頭始終垂直于河岸，已知船在靜水中航速恒定，且船在靜水中的速度與河水的流速之比為1∶2，若該船到達對岸需要50s。以地面為參考系，下列說法正確的是（）A．河水流速大小為2m/sB．船的合速度大小為2m/sC．船的位移大小為mD．船渡河的軌跡是一條直線，且與河岸的夾角等于30°C由于船頭始終垂直于河岸，所以船在靜水中的速度大小為：v船＝＝＝2m/s船在靜水中的速度與河水的流速之比為1∶2，則河水流速大小為：v水＝2v船＝4m/s船的合速度大小為：v合＝＝m/s＝m/s船的位移大小為：x合＝v合t＝m/s×50s＝m船渡河的軌跡是一條直線，設與河岸的夾角為θ，則有：tanθ＝＝＝＜可得：θ＜30°。故ABD錯誤，C正確。故選：C。2．船在靜水中的速度為3m/s，河水的流速與河水離河岸的距離關系如圖所示，河寬為300m，則當船按渡河時間最短的方式渡河時（）A．船渡河的最短時間是60sB．船在行駛過程中，船頭必須始終與河岸垂直C．船在河水中航行的最大速度是3m/sD．船在河水中航行的軌跡是一條直線B船按渡河時間最短的方式渡河時，船在行駛過程中，船頭必須始終與河岸垂直，B正確；船渡河的最短時間是tmin＝＝100s，A錯誤；船在河水中航行的最大速度是vmax＝＝5m/s，C錯誤；因河水速度不斷變化，則合速度方向不斷變化，則船在河水中航行的軌跡不是一條直線，D錯誤。故選B。考點四關聯速度問題1．常見模型2．模型特點（1）與繩（或桿）連接的物體速度方向與繩（或桿）所在的直線不共線。（2）繩（或桿）的長度不變，繩（或桿）兩端的物體沿繩（或桿）方向的分速度相等。題型一繩端速度的關聯問題（多選）如圖所示，可視為質點的小球套在光滑的豎直桿上，一根不可伸長的細繩繞過滑輪連接小球，已知小球重力為1N，電動機從A端以1m/s的速度沿水平方向勻速拉繩，繩子始終處于拉直狀態。某一時刻，連接小球的繩子與豎直方向的夾角為60°，對此時小球速度及繩子拉力的判斷正確的是（）A．小球的速度為2m/s B．小球的速度為0.5m/sC．繩子的拉力大于2N D．繩子的拉力等于2NAC小球的速度可以分解為沿繩方向的速度和垂直于繩方向的速度，小球沿繩方向的速度與電動機拉繩的速度大小相等，連接小球的繩子與豎直方向的夾角為60°時，有v＝v球·cos60°，所以v球＝2v＝2m/s，選項A正確，B錯誤；小球的速度v球＝，小球向上運動的過程中，繩子與豎直方向的夾角增大，則cosθ減小，所以小球的速度增大，即小球做加速運動，所以繩子豎直向上的分力大于小球的重力，當θ＝60°時，有Tcos60°＞G＝1N，所以此時繩子的拉力大于2N，選項C正確，D錯誤。故選AC。題型二桿端速度的關聯問題如圖所示，長為L的直桿一端可繞固定軸O無摩擦轉動，另一端靠在以水平速度v勻速向左運動、表面光滑的豎直擋板上，當直桿與豎直方向夾角為θ