浙江省杭州市2023年各地區中考數學模擬（一模）試題按題型難易度分層分類匯編（9套）-03解答題（提升題）1一．反比例函數與一次函數的交點問題（共5小題）1．（2023?桐廬縣一模）已知：一次函數y1＝x﹣2﹣k與反比例函數．（1）當k＝1時，x取何值時，y1＜y2；（直接寫出結果）（2）請說明：當k取任何不為0的值時，兩個函數圖象總有交點．2．（2023?淳安縣一模）已知一次函數y1＝x﹣a+2的圖象與反比例函數的圖象相交．（1）判斷y2是否經過點（k，1）．（2）若y1的圖象過點（k，1），且2a+k＝5．①求y2的函數表達式．②當x＞0時，比較y1，y2的大小．3．（2023?杭州一模）設函數y1＝k1x+b，函數（k1，k2，b是常數，k1＞0，k2＞0，b＞0）．已知函數y1的圖象與y軸交于點A，與函數y2的圖象的一個交點為點B（1，m）．（1）若k2＝3，m＝b+1．①求函數y1的表達式．②當2＜y1＜y2時，直接寫出x的取值范圍．（2）設點A關于x軸的對稱點為點C，將點C向左平移2個單位得到點D．若點D恰好也是函數y1，y2圖象的交點，試寫出k1，k2之間的等量關系，并說明理由．4．（2023?上城區一模）已知反比例函數（k為常數，k≠0）與正比例函數y2＝x的圖象有一個交點為P（3，m）．（1）求k的值；（2）將點P向下平移6個單位，再向左平移5個單位后，得點P′，試判斷點P′是否在函數y1的圖象上，并說明理由；（3）當y1＞y2時，利用函數圖象直接寫出自變量x的取值范圍．5．（2023?西湖區一模）若函數與y2＝3x+k圖象有一個交點A的橫坐標是﹣2．（1）求k的值；（2）若y1與y2圖象的另一個交點B的坐標為（m，n），求的值．二．待定系數法求二次函數解析式（共1小題）6．（2023?淳安縣一模）設二次函數y＝（x+1）（ax+2a+2）（a是常數，a≠0）．（1）若a＝1，求該函數圖象的頂點坐標．（2）若該二次函數圖象經過（﹣1，1），（﹣2，3），（0，﹣2）三個點中的一個點，求該二次函數的表達式．（3）若二次函數圖象經過（x1，y1），（x2，y2）兩點，當x1+x2＝2，x1＜x2時，y1＞y2，求證：a＜﹣．三．拋物線與x軸的交點（共2小題）7．（2023?杭州一模）已知二次函數y＝mx2﹣4mx﹣4（m≠0且m為常數）與y軸交于點A，其對稱軸與x軸交于點B．（1）求點A，B的坐標；（2）若m＜﹣2，判斷二次函數圖象的頂點位于哪個象限，并說明理由；（3）若方程mx2﹣4mx﹣4＝0（m≠0）有兩個不相等的實數根，且兩根都在1，3之間（包括1，3），結合函數的圖象，求m的取值范圍．8．（2023?桐廬縣一模）二次函數y1＝a（x﹣2）2﹣2a（a≠0）的圖象與y軸的交點為（0，1）．（1）求a的值．（2）求二次函數在x軸上截得的線段長的值．（3）對于任意實數k，規定：當﹣2≤x≤1時，關于x的函數y2＝y1﹣kx的最小值記作：y3．求y3的解析式．四．二次函數綜合題（共1小題）9．（2023?上城區一模）已知關于x的二次函數y＝﹣x2+2mx+n（m，n為常數）．（1）若二次函數圖象經過A（1，0），B（2，0）兩點，求二次函數的表達式；（2）若m+n＝1，試說明該函數圖象與x軸必有兩個不同的交點；（3）若m﹣1≤x≤m+k（k＞0）時，函數的最大值為p，最小值為q，且p﹣q＝3k，求k的值．五．全等三角形的判定與性質（共1小題）10．（2023?杭州一模）如圖，在△ABC中，AC＞AB，射線AD平分∠BAC，交BC于點E，點F在邊AB的延長線上，AF＝AC，連接EF．（1）求證：△AEC≌△AEF．（2）若∠AEB＝50°，求∠BEF的度數．六．菱形的判定與性質（共1小題）11．（2023?西湖區一模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點D為AB的中點，過點D作AB的垂線交BC于點E，過點A作AF∥BE交ED的延長線于點F，連結AE，BF．（1）求證：四邊形AEBF是菱形．（2）若sin∠EBF＝，AE＝5，①求四邊形ACBF的周長．②連結CD，求CD的長．七．正方形的性質（共1小題）12．（2023?杭州一模）如圖，正方形ABCD，E，F分別在邊BC，AB上，BE＝BF，AE，CF交于點P．（1）求證：△ABE≌△CBF；（2）若AB＝6，BE＝2，求PC的長．八．垂徑定理（共1小題）13．（2023?杭州一模）如圖，在矩形ABCD中，AB＜AD，以點A為圓心，線段AD的長為半徑畫弧，與BC邊交于點E，連接AE，過點D作DF⊥AE于點F．（1）求證：DF＝AB．（2）連接BF，若BE＝6，CE＝3，求線段BF的長．九．圓周角定理（共1小題）14．（2023?臨安區一模）如圖，⊙O半徑為2，弦BC＝3，A是弦BC所對優弧上的一個點，連接CO并延長交⊙O于點M，連結AM，過點B作BE⊥AC，垂足為E．（1）求證：BE∥AM．（2）過點A作AD⊥BC，分別交BE，BC于點H，D．求AH的長．一十．扇形面積的計算（共1小題）15．（2023?上城區一模）如圖，以等腰△ABC的底邊BC為直徑作半圓，交AB、AC于點D、E．（1）證明：；（2）若∠A＝60°，BC＝2，求陰影部分面積．一十一．作圖—復雜作圖（共1小題）16．（2023?杭州一模）如圖，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2．（1）求AB的長；（2）用尺規作三角形ABC的外接圓（不寫作法，保留作圖痕跡），并求此外接圓的半徑．一十二．相似三角形的判定與性質（共2小題）17．（2023?杭州一模）如圖，銳角三角形ABC內接于⊙O，∠ABC＝2∠ACB，點D平分，連接AD，BD，CD．（1）求證：AB＝CD．（2）過點D作DG∥AB，分別交AC，BC于點E，F，交⊙O于點G．①若AD＝a，BC＝b，求線段EF的長（用含a，b的代數式表示）．②若∠ABC＝72°，求證：FG2＝EF?DF．18．（2023?西湖區一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點E在邊BC上移動（點E不與點B，C重合），點D，F分別在邊AB和AC上，且滿足∠DEF＝∠B．（1）求證：△BDE∽△CEF．（2）若BE＝CE，且BD＝6，CF＝4，求的值．一十三．解直角三角形的應用-仰角俯角問題（共1小題）19．（2023?臨安區一模）若小紅的眼睛離地面的距離為1.7米，在一處用眼睛看籃球框，測得仰角30°，繼續向正前方走1.6米再看籃球框，測得仰角60°，問籃球框距地面的高度是多少米？一十四．列表法與樹狀圖法（共1小題）20．（2023?淳安縣一模）千島湖某學校想知道學生對“大下姜”，“滬馬公園”，“月光之戀”等旅游景點的了解程度，隨機抽查了部分學生進行問卷調查，問卷有四個選項（每位被調查的學生必須且只能選一項）：A．不知道，B．了解較少，C．了解較多，D．十分了解．將問卷調查的結果繪制成如下兩幅不完整的統計圖，請根據兩幅統計圖中的信息回答下列問題：（1）本次調查了多少名學生？（2）根據調查信息補全條形統計圖；（3）該校共有1800名學生，請你估計“十分了解”的學生共有多少名？（4）在被調查“十分了解”的學生中，有四名同學普通話較好，他們中有2名男生和2名女生，學校想從這四名同學中任選兩名同學，做家鄉旅游品牌的宣傳員，請你用列表法或畫樹狀圖法，求出被選中的兩人恰好是一男一女的概率．

浙江省杭州市2023年各地區中考數學模擬（一模）試題按題型難易度分層分類匯編（9套）-03解答題（提升題）1參考答案與試題解析一．反比例函數與一次函數的交點問題（共5小題）1．（2023?桐廬縣一模）已知：一次函數y1＝x﹣2﹣k與反比例函數．（1）當k＝1時，x取何值時，y1＜y2；（直接寫出結果）（2）請說明：當k取任何不為0的值時，兩個函數圖象總有交點．【答案】（1）當x＜0或1＜x＜2時，y1＜y2；（2）理由見解答部分．【解答】解：（1）k＝1時，y1＝x﹣3，y2＝，由得或，∴兩個函數圖象的交點坐標為（1，﹣2）或（2，﹣1）；圖象大致如圖：由圖可得：當x＜0或1＜x＜2時，y1＜y2；（2）由得x﹣2﹣k＝，∴x2﹣（k+2）x+2k＝0，關于x的一元二次方程的判別式Δ＝（k+2）2﹣8k＝k2﹣4k+4＝（k﹣2）2，∵（k﹣2）2≥0，∴Δ≥0，即x2﹣（k+2）x+2k＝0總有實數解，∴兩個函數圖象總有交點．2．（2023?淳安縣一模）已知一次函數y1＝x﹣a+2的圖象與反比例函數的圖象相交．（1）判斷y2是否經過點（k，1）．（2）若y1的圖象過點（k，1），且2a+k＝5．①求y2的函數表達式．②當x＞0時，比較y1，y2的大小．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）點（k，1）滿足反比例函數的關系式，因此y2經過點（k，1）．（2）①把（k，1）代入一次函數y1＝x﹣a+2得，k﹣a+2＝1，又∵2a+k＝5，解得：a＝2，k＝1，∴y2的函數表達式為y2＝．②由函數的圖象可知：當0＜x＜1時，y1＜y2，當x＝1時，y1＝y2，當x＞1時，y1＞y2．3．（2023?杭州一模）設函數y1＝k1x+b，函數（k1，k2，b是常數，k1＞0，k2＞0，b＞0）．已知函數y1的圖象與y軸交于點A，與函數y2的圖象的一個交點為點B（1，m）．（1）若k2＝3，m＝b+1．①求函數y1的表達式．②當2＜y1＜y2時，直接寫出x的取值范圍．（2）設點A關于x軸的對稱點為點C，將點C向左平移2個單位得到點D．若點D恰好也是函數y1，y2圖象的交點，試寫出k1，k2之間的等量關系，并說明理由．【答案】（1）①y1＝x+2；②0＜x＜1；（2）k2＝2k1，理由見解析．【解答】解：（1）①若k2＝3，則函數．∵點B（1，m）在函數y2的圖象上，∴，∴B（1，3），b+1＝3，∴b＝2，∴函數y1＝k1x+2．∵點B（1，3）在函數y1的圖象上，∴3＝k1+2，解得：k1＝1，∴函數y1的表達式為y1＝x+2；②根據兩函數解析式可畫出圖象如下，∵求2＜y1＜y2時，x的取值范圍，即求函數y1的圖象位于直線y＝2的圖象上方時，位于函數y2的圖象下方時x的取值范圍，∵由圖象可知當0＜x＜1時，函數y1的圖象位于直線y＝2的圖象上方，位于函數y2的圖象下方，∴當2＜y1＜y2時，x的取值范圍是0＜x＜1；（2）k2＝2k1．理由：對于y1＝k1x+b，令x＝0，則y1＝b，∴A（0，b）．∵點A關于x軸的對稱點為點C，∴C（0，﹣b）．∵將點C向左平移2個單位得到點D，∴D（﹣2，﹣b）．∵點D恰好也是函數y1，y2圖象的交點，∴﹣b＝﹣2k1+b，，∴k1＝b，k2＝2b，∴k2＝2k1．4．（2023?上城區一模）已知反比例函數（k為常數，k≠0）與正比例函數y2＝x的圖象有一個交點為P（3，m）．（1）求k的值；（2）將點P向下平移6個單位，再向左平移5個單位后，得點P′，試判斷點P′是否在函數y1的圖象上，并說明理由；（3）當y1＞y2時，利用函數圖象直接寫出自變量x的取值范圍．【答案】（1）k＝9；（2）點P′不在函數y1的圖象上；（3）x＜﹣3或0＜x＜3．【解答】解：（1）∵正比例函數y2＝x的圖象過交點為P（3，m），∴m＝3，∴P（3，3），∵點P在反比例函數（k為常數，k≠0）的圖象上，∴k＝3×3＝9；（2）將點P向下平移6個單位，再向左平移5個單位后，得點P′（﹣2，﹣3），∵﹣2×（﹣3）＝6≠9，∴點P′不在函數y1的圖象上；（3）由圖象可知，當y1＞y2時，自變量x的取值范圍是x＜﹣3或0＜x＜3．5．（2023?西湖區一模）若函數與y2＝3x+k圖象有一個交點A的橫坐標是﹣2．（1）求k的值；（2）若y1與y2圖象的另一個交點B的坐標為（m，n），求的值．【答案】（1）k＝4；（2）﹣1．【解答】解：（1）將點A的橫坐標是﹣2代入一次函數得，y2＝3×（﹣2）+k＝﹣6+k，再將（﹣2，﹣6+k）代入反比例函數可得，，解得：k＝4；（2）由（1）得，，y2＝3x+4，聯立可得，，解得：，x2＝﹣2，經檢驗符合題意，∴，∵y1與y2圖象的另一個交點B的坐標為（m，n），∴，n＝6，∴．二．待定系數法求二次函數解析式（共1小題）6．（2023?淳安縣一模）設二次函數y＝（x+1）（ax+2a+2）（a是常數，a≠0）．（1）若a＝1，求該函數圖象的頂點坐標．（2）若該二次函數圖象經過（﹣1，1），（﹣2，3），（0，﹣2）三個點中的一個點，求該二次函數的表達式．（3）若二次函數圖象經過（x1，y1），（x2，y2）兩點，當x1+x2＝2，x1＜x2時，y1＞y2，求證：a＜﹣．【答案】（1）；（2）y＝﹣2（x+1）2；（3）見解析．【解答】解：（1）當a＝1時，二次函數，∴頂點坐標為；（2）當x＝﹣1時，y＝0≠1，因此不過（﹣1，1）點，當x＝﹣2時，y＝（﹣2+1）（﹣2a+2a+2）＝﹣2≠3，因此不過（﹣2，3）點，故拋物線過點（0，﹣2），代入得，2a+2＝﹣2，∴a＝﹣2，∴拋物線的關系式為y＝﹣2（x+1）2；（3）∵二次函數y＝（x+1）（ax+2a+2）（a是常數，a≠0）的圖象與x軸交于點（﹣1，0），，0），∴函數圖象的對稱軸為直線，當a＞0時，函數圖象開口向上，∵當x1+x2＝2，x1＜x2時，y1＞y2，∴，∴，解得，舍去；當a＜0時，函數圖象開口向下，∵x1＜x2時，y1＞y2，∴，∵x1+x2＝2，x1＜x2，∴x1＜1，∴，∴．故．三．拋物線與x軸的交點（共2小題）7．（2023?杭州一模）已知二次函數y＝mx2﹣4mx﹣4（m≠0且m為常數）與y軸交于點A，其對稱軸與x軸交于點B．（1）求點A，B的坐標；（2）若m＜﹣2，判斷二次函數圖象的頂點位于哪個象限，并說明理由；（3）若方程mx2﹣4mx﹣4＝0（m≠0）有兩個不相等的實數根，且兩根都在1，3之間（包括1，3），結合函數的圖象，求m的取值范圍．【答案】（1）A（0，﹣4），B（2，0）；（2）二次函數圖象的頂點位于第一象限；（3）m的取值范圍為﹣≤m＜﹣1．【解答】解：（1）∵拋物線y＝mx2﹣4mx﹣4（m≠0）與y軸交于點A，即當x＝0時，y＝﹣4，∴A（0，﹣4），∵y＝mx2﹣4mx﹣4＝m（x﹣2）2﹣4m﹣4，∴拋物線的對稱軸為直線x＝2∴B（2，0）；（2）∵y＝mx2﹣4mx﹣4的頂點坐標為（2，﹣4﹣4m），∵m＜﹣2，∴﹣4﹣4m＞0，∴二次函數圖象的頂點位于第一象限；（3）∵方程mx2﹣4mx﹣4＝0（a≠0）有兩個不相等的實數根，且兩根都在1，3之間（包括1，3），∴拋物線y＝mx2﹣4mx﹣4（a≠0）與x軸有兩個交點，交點的橫坐標都在1，3之間（包括1，3），∴拋物線開口向下，頂點在第一象限，∴﹣4m﹣4＞0，解得m＜﹣1，當x＝1時，y≤0，即m﹣4m﹣4≤0，解得m≥﹣，∴m的取值范圍為﹣≤m＜﹣1．8．（2023?桐廬縣一模）二次函數y1＝a（x﹣2）2﹣2a（a≠0）的圖象與y軸的交點為（0，1）．（1）求a的值．（2）求二次函數在x軸上截得的線段長的值．（3）對于任意實數k，規定：當﹣2≤x≤1時，關于x的函數y2＝y1﹣kx的最小值記作：y3．求y3的解析式．【答案】（1）a的值為；（2）二次函數在x軸上截得的線段長的值為2；（3）y3的解析式為y3＝．【解答】解：（1）∵二次函數y1＝a（x﹣2）2﹣2a（a≠0）的圖象與y軸的交點為（0，1），∴1＝a（0﹣2）2﹣2a，解得a＝，∴a的值為；（2）由（1）知，a＝，∴y1＝（x﹣2）2﹣2×＝（x﹣2）2﹣1，令y1＝0，則（x﹣2）2﹣1＝0，解得x1＝2+，x2＝2﹣，∴|x1﹣x2|＝2，答：二次函數在x軸上截得的線段長的值為2；（3）∵y1＝（x﹣2）2﹣1，∴y2＝y1﹣kx＝（x﹣2）2﹣1﹣kx＝x2﹣（k+2）x+1，∴對稱軸為x＝k+2，當k+2＜﹣2即k＜﹣4時，當x＝﹣2時，y2有最小值，∴y3＝×（﹣2）2﹣（k+2）×（﹣2）+1＝2k+7；當﹣2≤k+2≤1時，即﹣4≤k≤﹣1，當x＝k+2時，y2有最小值，∴y3＝×（k+2）2﹣（k+2）2+1＝﹣（k+2）2+1；當k+2＞1即k＞﹣1時，當x＝1時，y2有最小值，∴y3＝×1﹣（k+2）×1+1＝﹣k﹣．綜上所述，y3的解析式為y3＝．四．二次函數綜合題（共1小題）9．（2023?上城區一模）已知關于x的二次函數y＝﹣x2+2mx+n（m，n為常數）．（1）若二次函數圖象經過A（1，0），B（2，0）兩點，求二次函數的表達式；（2）若m+n＝1，試說明該函數圖象與x軸必有兩個不同的交點；（3）若m﹣1≤x≤m+k（k＞0）時，函數的最大值為p，最小值為q，且p﹣q＝3k，求k的值．【答案】（1）y＝﹣x2+3x﹣2．（2）見解答．（3）k＝或3．【解答】解：（1）將A（1，0），B（2，0）代入y＝﹣x2+2mx+n得，解得，∴二次函數的表達式為：y＝﹣x2+3x﹣2．（2）若m+n＝1，則n＝1﹣m，∴y＝﹣x2+2mx+1﹣m，令0＝﹣x2+2mx+1﹣m，則Δ＝4m2+4（1﹣m）＝（2m﹣1）2+3＞0，∴函數圖象與x軸有兩個不同的交點．（3）∵y＝﹣x2+2mx+n，∴拋物線開口象限，對稱軸為直線x＝﹣＝m，將x＝m代入y＝﹣x2+2mx+n得y＝﹣m2+2m2+n＝m2+n，∴拋物線的頂點坐標為（m，m2+n），∴m﹣1≤x≤m+k（k＞0）時，函數的最大值為p＝m2+n．當0＜k＜1時，x＝m﹣1時，函數最小值q＝﹣（m﹣1）2+2m（m﹣1）+n＝m2+n﹣1為最小值，∴3k＝p﹣q＝m2+n﹣（m2+n﹣1）＝1，∴k＝．當k≥1時，x＝m+k時，函數最小值q＝﹣（m+k）2+2m（m+k）+n＝m2﹣k2+n，∴3k＝p﹣q＝m2+n﹣（m2﹣k2+n）＝k2，解得k＝0（舍）或k＝3．綜上所述，k＝或3．五．全等三角形的判定與性質（共1小題）10．（2023?杭州一模）如圖，在△ABC中，AC＞AB，射線AD平分∠BAC，交BC于點E，點F在邊AB的延長線上，AF＝AC，連接EF．（1）求證：△AEC≌△AEF．（2）若∠AEB＝50°，求∠BEF的度數．【答案】（1）證明見解析；（2）80°．【解答】（1）證明：射線AD平分∠BAC，∴∠CAE＝∠FAE，在△AEC和△AEF中，，∴△AEC≌△AEF（SAS）；（2）解：∵△AEC≌△AEF（SAS），∴∠C＝∠F，∵∠AEB＝∠CAE+∠C＝50°，∴∠FAE+∠F＝50°，∵∠FAE+∠F+∠AEB+∠BEF＝180°，∴∠BEF＝80°，∴∠BEF為80°．六．菱形的判定與性質（共1小題）11．（2023?西湖區一模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點D為AB的中點，過點D作AB的垂線交BC于點E，過點A作AF∥BE交ED的延長線于點F，連結AE，BF．（1）求證：四邊形AEBF是菱形．（2）若sin∠EBF＝，AE＝5，①求四邊形ACBF的周長．②連結CD，求CD的長．【答案】（1）見解析；（2）①22；②．【解答】（1）證明：∵點D為AB的中點，∴AD＝BD，∵AF∥BE，∴∠FAD＝∠EBD，∠AFD＝∠BED，∴△FAD≌△EBD（AAS），∴AF＝BE，∴四邊形AEBF是平行四邊形．∵EF⊥AB，∴四邊形AEBF是菱形．（2）解：①∵四邊形AEBF是菱形．∴AE∥BF，AE＝EB＝BF＝AF＝5，∴∠AEC＝∠EBF，∴，∵∠ACB＝90°，∴，∴AC＝4，∴，∴四邊形ACBF的周長為AC+CE+BE+BF+AF＝22．②在△ABC中，∠ACB＝90°，∴，∵點D為AB的中點，∴．七．正方形的性質（共1小題）12．（2023?杭州一模）如圖，正方形ABCD，E，F分別在邊BC，AB上，BE＝BF，AE，CF交于點P．（1）求證：△ABE≌△CBF；（2）若AB＝6，BE＝2，求PC的長．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，在△ABE與△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS）；（2）解：過P作PH⊥BC于H，∵PH∥AB，∴△PHE∽△ABE，∴，設HE＝a，PH＝3a，∵PH∥BF，∴△PHC∽△FBC，∴，即，解得：a＝，∴HE＝，PH＝，在Rt△PHC中，PC＝八．垂徑定理（共1小題）13．（2023?杭州一模）如圖，在矩形ABCD中，AB＜AD，以點A為圓心，線段AD的長為半徑畫弧，與BC邊交于點E，連接AE，過點D作DF⊥AE于點F．（1）求證：DF＝AB．（2）連接BF，若BE＝6，CE＝3，求線段BF的長．【答案】（1）見解析；（2）．【解答】（1）證明：連接DE，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD∥BC，∠C＝90°，由作圖可知：AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝∠DEC，∵DF⊥AE，DC⊥BC，∴DF＝DC＝AB．（2）如圖，過點B作BG⊥AE，垂足為G，∵BE＝6，CE＝3，∴AD＝AE＝BC＝9，在Rt△DEF和Rt△DEC中，，∴Rt△DEF≌Rt△DEC（HL），∴CE＝EF＝3，∴AF＝6，∴，設AG＝x，則FG＝6﹣x，EG＝9﹣x，在△ABG和△EBG中，AB2﹣AG2＝BE2﹣EG2，即，解得：x＝5，即AG＝5，∴，FG＝1，∴．九．圓周角定理（共1小題）14．（2023?臨安區一模）如圖，⊙O半徑為2，弦BC＝3，A是弦BC所對優弧上的一個點，連接CO并延長交⊙O于點M，連結AM，過點B作BE⊥AC，垂足為E．（1）求證：BE∥AM．（2）過點A作AD⊥BC，分別交BE，BC于點H，D．求AH的長．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解答】（1）證明：∵MC是圓的直徑，∴∠MAC＝90°，∴MA⊥AC，∵BE⊥AC，∴BE∥MA；（2）連接MB，∵MC是圓的直徑，∴∠MBC＝90°，∴MB⊥BC，∵AD⊥BC，∴BM∥AD，∵BE∥MA，∴四邊形AMBH是平行四邊形，∴AH＝MB，∵圓的半徑是2，BC＝3，∴MC＝4，∴MB＝＝＝，∴AH＝．一十．扇形面積的計算（共1小題）15．（2023?上城區一模）如圖，以等腰△ABC的底邊BC為直徑作半圓，交AB、AC于點D、E．（1）證明：；（2）若∠A＝60°，BC＝2，求陰影部分面積．【答案】（1）見證明：（2）﹣．【解答】（1）證明：如圖1，連接BE、CD，∵BC為直徑，∴∠BDC＝∠BEC＝90°，∴∠ADC＝∠AEB＝90°，在△ACD和△ABE中，，∴△ACD≌△ABE（AAS），∴AD＝AE，∴AB﹣AD＝AC﹣AE，即BD＝CE，∴；（2）解：如圖2，連接OD、OE，∵等腰△ABC中∠A＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∵OB＝OD＝OC＝OE＝1，∴△BOD和△EOC是等邊三角形，∴∠DOB＝∠EOC＝60°，∴∠DOE＝60°，∴S陰影＝S△ABC﹣S△BOD﹣S△COE﹣S扇形DOE＝﹣2×﹣＝﹣．一十一．作圖—復雜作圖（共1小題）16．（2023?杭州一模）如圖，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2．（1）求AB的長；（2）用尺規作三角形ABC的外接圓（不寫作法，保留作圖痕跡），并求此外接圓的半徑．【答案】（1）．（2）畫圖見解答；2．【解答】解：（1）過點C作CD⊥AB于點D，在Rt△ACD中，∠A＝30°，AC＝2，∴CD＝＝，AD＝AC?cos30°＝＝，在Rt△BCD中，∠B＝45°，∴CD＝BD＝，∴AB＝AD+BD＝．（2）如圖，⊙O即為所求．連接OC，OB，過點C作CD⊥AB于點D，∵∠A＝30°，∴∠COB＝2∠A＝60°，∵OB＝OC，∴△BOC為等邊三角形，∴OC＝BC，在Rt△BCD中，∠B＝45°，∴BC＝＝2，∴OC＝2，即此外接圓的半徑為2．一十二．相似三角形的判定與性質（共2小題）17．（2023?杭州一模）如圖，銳角三角形ABC內接于⊙O，∠ABC＝2∠ACB，點D平分，連接AD，BD，CD．（1）求證：AB＝CD．（2）過點D作DG∥AB，分別交AC，BC于點E，F，交⊙O于點G．①若AD＝a，BC＝b，求線段EF的長（用含a，b的代數式表示）．②若∠ABC＝72°，求證：FG2＝EF?DF．【答案】（1）證明見解析過程；（2）①；②證明見解析過程．【解答】（1）證明：∵點D平分，∴，∴∠ABD＝∠CBD，∵∠ABD+∠CBD＝∠ABC，∴2∠CBD＝∠ABC，∵∠ABC＝2∠ACB，∴∠ACB＝∠CBD，∴AB＝CD；（2）①解：由（1）可知，AB＝AD＝CD＝a，則，∴，∴∠BCD＝∠ABC，∵DG∥AB，∴∠DFC＝∠ABC，∴∠BCD＝∠DFC，∴DF＝CD，∴DF＝AB，∴四邊形ABFD是平行四邊形，∵AB＝AD，∴四邊形ABFD是菱形，∴BF＝AD＝a，CF＝b﹣a，∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，∴，即，解得：，∴線段EF的長為；②證明：∵∠ABC＝72°，∴∠ACB＝36°，∴∠CAB＝72°，∵DG∥AB，∴∠CEF＝∠CFE＝72°，∵∠DFC＝∠DCF＝72°，∴△CEF∽△DCF，∴，即EF?DF＝CF2，如圖，連接CG，∴∠DGC＝∠DBC＝36°，∵∠FCG＝∠DFC﹣∠DGC＝36°，∴∠DGC＝∠FCG