2025中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)專題-二次函數(shù)存在性問題專項(xiàng)-二次函數(shù)與直角三角形存在性問題1．如圖1，拋物線與x軸交于點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），與y軸交于點(diǎn),點(diǎn)P是拋物線上一個動點(diǎn)，連接

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，求的面積；(3)如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)P在直線上方運(yùn)動時，連接,求四邊形面積的最大值，并寫出此時P點(diǎn)坐標(biāo)．(4)若點(diǎn)M是x軸上的一個動點(diǎn)，P的橫坐標(biāo)為3．試判斷是否存在這樣的點(diǎn)M,使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，若存在，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．2．已知，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)該拋物線與軸交于點(diǎn)A，（點(diǎn)A在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，（ⅰ）如圖1，求證：是直角三角形；（ⅱ）如圖2，該拋物線的對稱軸與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線對稱軸上的一動點(diǎn)，若以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)．3．如圖，拋物線交軸于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，連接，．(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使為直角三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．4．如圖1，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，與軸交于點(diǎn)(1)求拋物線的關(guān)系式；(2)是第四象限拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形的面積最大時，求點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形的最大面積；(3)如圖2，在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)，使是以為斜邊的直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于、，交軸于點(diǎn)，其中，．(1)求拋物線的解析式；(2)為拋物線的頂點(diǎn)，連接，點(diǎn)為拋物線上點(diǎn)、之間一點(diǎn)，連接，，過點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，連接，求四邊形面積的最大值以及此時點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)將拋物線沿方向平移個單位后得到新的拋物線，新拋物線與原拋物線的交點(diǎn)為．在新拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．6．如圖，已知拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)的左邊），與y軸交于點(diǎn)C．

(1)如圖1，當(dāng)時，求證：為直角三角形；(2)如圖1，在（1）的條件下，點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在拋物線的對稱軸上，若以為邊，以點(diǎn)B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖2，過點(diǎn)A作直線的平行線交拋物線于另一點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)E，若．直接寫出n的值．7．如圖，已知拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．(1)求拋物線的解析式；(2)若M為拋物線對稱軸上一動點(diǎn)，使得為直角三角形，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．(3)如圖，P為直線BC上方的拋物線上一點(diǎn)，軸交BC于D點(diǎn)，過D作于點(diǎn)E，設(shè)，求m的最大值及此時P點(diǎn)坐標(biāo)．8．如圖，拋物線與x軸分別交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，若且．(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖，點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)是第二象限內(nèi)拋物線上的一個點(diǎn)，分別連接．①若是直角三角形，且時，求P點(diǎn)坐標(biāo)；②當(dāng)時，求P點(diǎn)坐標(biāo)．9．在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與軸交于點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式．(2)如圖，將拋物線向左平移1個單位長度，記平移后的拋物線頂點(diǎn)為，平移后的拋物線與軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），與軸交于點(diǎn)．判斷以三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是否為直角三角形，并說明理由．(3)直線與拋物線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），當(dāng)軸上存在一點(diǎn)，能使以三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與相似時，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．10．如圖，已知拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O，頂點(diǎn)為，且與直線交于兩點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)求證：是直角三角形；(3)若點(diǎn)N為x軸上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)N作軸與拋物線交于點(diǎn)M，則是否存在以為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．11．如圖1所示，已知直線與拋物線分別交于x軸和y軸上同一點(diǎn)，交點(diǎn)分別是點(diǎn)和點(diǎn)，且拋物線的對稱軸為直線．

(1)請分別求出k，m，a，b的值；(2)如圖2，點(diǎn)Q是線段上一點(diǎn)，且，點(diǎn)M是y軸上一個動點(diǎn)，求線段的最小值；(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使是直角三角形？若存在請直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo)，不存在請說明理由．12．如圖1，拋物線交x軸于點(diǎn)和點(diǎn)，交于y軸點(diǎn)C，F(xiàn)為拋拋物線頂點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上．

(1)①求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式；②求四邊形ACFQ的面積；(2)如圖2，直線EF垂直于x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)P是線段BE上的動點(diǎn)（除B、E外）過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)D，連接DA、DQ．①當(dāng)是直角三角形時，求出所有滿足條件的D點(diǎn)的橫坐標(biāo)．②如圖3，直線AD，BD分別與拋物線對稱軸交于M、N兩點(diǎn)．試問：是否為定值？如果是，請直接寫出這個定值；如果不是，請說明理由．13．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線：經(jīng)過點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為；拋物線：，頂點(diǎn)為．(1)求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖1，連接，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)），是以為斜邊的直角三角形，若，求的值；(3)如圖2，點(diǎn)為拋物線與的異于點(diǎn)的另一個交點(diǎn)，連接，，，記的面積為，當(dāng)時，直接寫出的值．14．如圖，拋物線交軸于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)解析式．(2)點(diǎn)在線段上運(yùn)動，過點(diǎn)作軸的垂線，與交于點(diǎn)，與拋物線交于點(diǎn)，連接、，求四邊形的面積的最大值，并寫出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)在（2）的條件下，點(diǎn)N是x軸上一動點(diǎn)，求當(dāng)N點(diǎn)坐標(biāo)為時，的值最小，最小值為．(4)在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)A、C、M為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．15．綜合與探究已知拋物線與直線交于，兩點(diǎn)，與軸的另一個交點(diǎn)為．(1)求拋物線的解析式．(2)若為拋物線頂點(diǎn)，則線段的長為_____．(3)如圖1，點(diǎn)是直線上方拋物線的一動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)．連接，求的面積的最大值．(4)如圖2，在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得是以為直角邊的直角三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．《2025中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)專題-二次函數(shù)存在性問題專項(xiàng)-二次函數(shù)與直角三角形存在性問題》參考答案1．(1)(2)8(3)(4)存在，或【分析】此題考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，圖形面積與二次函數(shù)問題，特殊三角形問題，（1）利用待定系數(shù)法求解析式；（2）連接，先求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用求出面積；（3）連接，設(shè)，根據(jù)四邊形面積求出答案；（4）當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時，分兩種情況，①當(dāng)時，由勾股定理得，求出m即可；②當(dāng)時，則軸，直接得到點(diǎn)M的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：由題意得，解得，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；（2）連接，如圖，

當(dāng)時，，∴，∵，∴，∴；（3）連接，如圖，設(shè)，四邊形面積，∵，，∴當(dāng)時，四邊形面積最大，最大值為，∴

（4）存在這樣的點(diǎn)M,使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，當(dāng)時，，∴，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時，分兩種情況，①當(dāng)時，∴解得，即；②當(dāng)時，則軸，∴，即，綜上，或．2．(1)(2)（ⅰ）見解析；（ⅱ）或或或【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法解方程組即可；（2）①利用勾股定理的逆定理證明即可；②分兩種情況：當(dāng)以及，列出比例式，求出，再求點(diǎn)P坐標(biāo)．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)和，，解得拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；（2）解：（?。?dāng)時，，點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時，，解得或，點(diǎn)A在點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)A坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，，，，是直角三角形；

（ⅱ），拋物線的對稱軸是直線，點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，分兩種情況：①當(dāng)時，，即，解得，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為或；②當(dāng)時，，即，解得，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為或；綜上，點(diǎn)坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的逆定理．解答本題注意分類討論的思想以及數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．3．(1)(2)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，【分析】（1）把A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式，構(gòu)建方程組求出b，c的值即可；（2）分三種情形：當(dāng)為斜邊時，當(dāng)為斜邊時，當(dāng)為斜邊時，再利用勾股定理分別求解即可．【詳解】（1）解：將點(diǎn)，的坐標(biāo)分別代入，得解得∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．（2）解：存在．理由如下：由拋物線的函數(shù)表達(dá)式知，拋物線的對稱軸為直線，∵，當(dāng)時，，∴，∴設(shè)點(diǎn)．由點(diǎn)，，的坐標(biāo)，得，，．當(dāng)為斜邊時，，整理得：，解得或，∴點(diǎn)或；當(dāng)為斜邊時，，解得，∴點(diǎn)；當(dāng)為斜邊時，，解得，∴點(diǎn)．綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了求解二次函數(shù)的解析式，勾股定理的應(yīng)用，一元二次方程的解法等知識，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法，學(xué)會用分類討論的思想思考問題．4．(1)(2)，面積最大為(3)存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或【分析】（1）將B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，利用待定系數(shù)法求解；（2）連接，過M作x軸的垂線交于點(diǎn)N，，其中為定值，設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為，則，化為頂點(diǎn)式，即可求出最值；（3）取中點(diǎn)D，過點(diǎn)D作拋物線對稱軸的垂線，垂足為Q，由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為，利用勾股定理解，求出n的值即可．【詳解】（1）解：把B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可得，解得，∴拋物線解析式為；（2）解：如圖，連接，過M作x軸的垂線交于點(diǎn)N，在中，令，解得或，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為．∴，且，∴，∵，，∴直線BC解析式為，設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為，則N點(diǎn)坐標(biāo)為，∵M(jìn)在第四象限，∴，∴，∴當(dāng)時，，，∴當(dāng)M為時，四邊形的面積有最大值，最大值．（3）解：存在．如圖，取中點(diǎn)D，過點(diǎn)D作拋物線對稱軸的垂線，垂足為Q，在中，由勾股定理得，由題意，當(dāng)時，，易求，拋物線的對稱軸為直線，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為，∴，，由，得，解得，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查求二次函數(shù)解析式，鉛垂法求三角形面積，二次函數(shù)的最值，勾股定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想．5．(1)(2)四邊形面積的最大值為4，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為：(3)存在；或或或．【分析】（1）將，代入拋物線，列方程，即可求得拋物線的解析式；（2）設(shè)與軸交于點(diǎn)，連接，過作軸平行線，交于，交延長線于，先求出，設(shè)設(shè)，則，，求出，由，得，從而，即可得到當(dāng)時，，此時；（3）由，得，拋物線沿方向平移個單位，相當(dāng)于拋物線向左平移6個單位，向上平移3個單位，即可求出點(diǎn)，設(shè)，則，，，直角三角形按直角分類，利用勾股定理列方程即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）∵拋物線交軸于、，交軸于點(diǎn)，其中，，∴，∴，∴拋物線的解析式為：（2）設(shè)與軸交于點(diǎn)，連接，過作軸平行線，交于，交延長線于，如圖所示：∵，∴頂點(diǎn)，∵，，∴設(shè)直線的解析式為：，∴，∴，∴直線的解析式為：，設(shè)直線的解析式為：，∴，∴，∴直線的解析式為：，在中，令，得，∴，∴，∴，設(shè)，則，，∴，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，，，，∴當(dāng)時，，此時（3）存在，理由如下：∵，∴，∵拋物線沿方向平移個單位，相當(dāng)于拋物線向左平移6個單位，向上平移3個單位，，∴，∴，∴，∴交點(diǎn)，設(shè)，則，，，當(dāng)為斜邊時，即，如圖，∵，∴，∴，∴或（舍），∴；②當(dāng)為斜邊時，即，如圖，∵，∴，∴，∴（與重合，舍去）或（與重合，舍去），或或，∴或；③當(dāng)為斜邊時，即，如圖，∵，∴，∴或（與重合，舍去），∴，綜上所述：或或或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及二次函數(shù)圖像中三角形，四邊形面積問題，關(guān)鍵在于面積的轉(zhuǎn)化，以及直角三角形的存在性問題，注意要分類討論，利用勾股定理逆定理來求解．6．(1)見解析(2)滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為，，(3)【分析】（1）由，可得拋物線解析式，再分別令，，求得，，，再利用兩點(diǎn)間的距離公式求得，，，再根據(jù)勾股定理逆定理即可得出結(jié)論；（2）由（1）可知，，設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)分類討論：當(dāng)直線時，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)時，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q的右側(cè)時；當(dāng)直線與直線相交時，求出點(diǎn)P坐標(biāo)即可；（3）設(shè)出點(diǎn)D坐標(biāo)，利用相似三角形的相似比表示，再由由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系表示，進(jìn)而找到b與a的關(guān)系，代入拋物線求值即可．【詳解】（1）證明：當(dāng)時，，令，，解得：，，∴，，當(dāng)時，，∴，∴，，，∴，即，∴是直角三角形．（2）解：由（1）可知拋物線的對稱軸為，拋物線解析式為，∵，，設(shè)點(diǎn)，①當(dāng)直線，點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)時（如圖所示），當(dāng)平移到的位置時，四邊形為平行四邊形，此時，即，．，此時點(diǎn)P坐標(biāo)為，

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q的右側(cè)時（如圖所示）同理可得：，．，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為，②當(dāng)直線與直線相交時，如圖所示：此時點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離等于點(diǎn)B到對稱軸的距離．即．，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為．

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為，，．（3）解：設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為，∵，則，，∵，∴，∵，∴，∴，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，，∴，將點(diǎn)，代入得，，解得：或（舍去），∴．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象與性質(zhì)、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、三角形相似與平行四邊形的性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離公式，綜合運(yùn)用數(shù)形結(jié)合分類討論思想是解題的關(guān)鍵．7．(1)(2)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，，，(3)最大值為；【分析】（1）把，兩點(diǎn)代入解析式，計(jì)算即可．（2）根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式表示出BC、MB、MC的長度，再根據(jù)三個頂點(diǎn)分別為直角頂點(diǎn)進(jìn)行分類討論．（3）先求出，得到，進(jìn)而表示出，轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式求出最值即可．【詳解】（1）解：把，兩點(diǎn)代入解析式，得，解得，拋物線的解析式為．（2）解：由（1）知，拋物線對稱軸為故設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得，，，若C為直角頂點(diǎn)，則有則解得；若B為直角頂點(diǎn)，則解得；若M為直角頂點(diǎn)，則解得；綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，，，．（3）解：如圖，設(shè)PD與x軸的交點(diǎn)為F，點(diǎn)，，設(shè)直線BC的解析式為，，解得，直線BC的解析式為，，，連接AD，拋物線開口向下，m有最大值，且當(dāng)時，且為，此時，故點(diǎn)【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的解析式、兩點(diǎn)間距離公式及最值的求法，一次函數(shù)解析式的求法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解析式的求解與函數(shù)的性質(zhì)．8．(1)(2)①②點(diǎn)的坐標(biāo)為【分析】（1）由點(diǎn)坐標(biāo)可得，由可得，即,再運(yùn)用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可；（2）①求出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)根據(jù)勾股定理列出方程求出的值即可；②取的中點(diǎn)，作于點(diǎn)，連接過點(diǎn)作于過點(diǎn)作軸于點(diǎn)求得拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為求得由面積法可得故，即知得，，把點(diǎn)坐標(biāo)代入求出的值即可【詳解】（1）∵，∴，∵，∴，∴，把，代入，得：，解得，，∴拋物的解析式為：；（2）∴拋物線的對稱軸為直線，是第二象限內(nèi)拋物線上的一個點(diǎn)，，是直角三角形，且，解得，，，當(dāng)時，，；②取的中點(diǎn)，作于點(diǎn)，連接過點(diǎn)作于過點(diǎn)作軸于點(diǎn)如圖，∵∴拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為∵，∴為的中點(diǎn)，∴即設(shè)則，解得，（與點(diǎn)B重合，舍去）或∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，此題計(jì)算量較大，準(zhǔn)確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．9．(1)拋物線的解析式為(2)是直角三角形．理由見解析(3)點(diǎn)的坐標(biāo)或【分析】（1）將代入拋物線，通過待定系數(shù)法，即可解答；（2）寫出平移后的解析式，再求出三點(diǎn)的坐標(biāo)，求得，即可判斷；（3）求出直線的解析式，再求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)相似的性質(zhì)，進(jìn)行分類討論，即可解答．【詳解】（1）解：∵將點(diǎn)代入拋物線，可得方程，∴拋物線的解析式為；（2）是直角三角形．理由如下：將拋物線向左平移1個單位長度，得新拋物線，∴平移后的拋物線頂點(diǎn)為，令，得，∴，令，得，解得：，∴，如圖1，連接，∵，∴軸，，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴是直角三角形．

（3）

解：存在，理由如下：，，是等腰直角三角形，直線的斜率為1，直線的解析式為，聯(lián)立方程，解得，，，①當(dāng)時，，，根據(jù)圖形可得，是等腰直角三角形，設(shè)直線的解析式為，將代入解析式可得，解得，直線的解析式為，設(shè)直線的解析式為，將代入解析式得，解得，直線的解析式為，當(dāng)時，解得，；，，，②當(dāng)時，，，，，．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，拋物線的平移，直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握數(shù)形結(jié)合技巧，分類討論是解題的關(guān)鍵．10．(1)(2)見解析(3)存在，N點(diǎn)，其坐標(biāo)為或或或【分析】（1）可設(shè)頂點(diǎn)式，把原點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得拋物線解析式，聯(lián)立直線與拋物線解析式，可求得C點(diǎn)坐標(biāo)；（2）分別過A、C兩點(diǎn)作x軸的垂線，交x軸于D、E兩點(diǎn)，得出和為等腰直角三角形,進(jìn)而可得出,即可得到答案；（3）設(shè)出N點(diǎn)坐標(biāo)，可表示出M點(diǎn)坐標(biāo)，從而可表示出的長度，當(dāng)和相似時，利用三角形相似的性質(zhì)可得或，可求得N點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）∵頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為，∴設(shè)拋物線的解析式為，又∵拋物線過原點(diǎn)，∴，解得，∴拋物線的解析式為，即，聯(lián)立拋物線和直線解析式可得，解得或，∴，；（2）如圖，分別過A、C兩點(diǎn)作x軸的垂線，交x軸于D、E兩點(diǎn)，則，，，∴和為等腰直角三角形，∴，即，∴是直角三角形；（3）存在，點(diǎn)N的坐標(biāo)為或或或，理由如下：假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)N，設(shè)，則，∴，，由（2）在和中，可分別求得，，∵軸于點(diǎn)N，∴，∴當(dāng)和相似時有或，①當(dāng)時，則有，即，∵當(dāng)時，M、O、N不能構(gòu)成三角形，∴，∴，即，解得或，此時N點(diǎn)坐標(biāo)為或；②當(dāng)時，則有，即．∴，即，解得或，此時N點(diǎn)坐標(biāo)為或．綜上可知存在滿足條件的N點(diǎn)，其坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及知識點(diǎn)有待定系數(shù)法、圖象的交點(diǎn)問題、直角三角形的判定、勾股定理及逆定理、相似三角形的性質(zhì)及分類討論等．在（1）中注意頂點(diǎn)式的運(yùn)用，在（3）中設(shè)出N、M的坐標(biāo)，利用相似三角形的性質(zhì)得到關(guān)于坐標(biāo)的方程是解題的關(guān)鍵，注意相似三角形點(diǎn)的對應(yīng)．本題考查知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度稍大．11．(1)，，，；(2)(3)或或或．【分析】（1）待定系數(shù)法求k，m，a，b的值；（2）由求出Q點(diǎn)坐標(biāo)，再利用將軍飲馬模型求線段的最小值；（3）不確定直角三角形的直角頂點(diǎn)，所以分三類討論，利用勾股定理建立方程求出P點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）∵直線過點(diǎn)和點(diǎn)，∴，∴，∴，∵拋物線過點(diǎn)和點(diǎn)，對稱軸為直線，∴，∴，∴，∴，，，；（2）過點(diǎn)Q作軸，垂足為N，作關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，

∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴的最小值為．（3）存在點(diǎn)P，使是直角三角形，P點(diǎn)坐標(biāo)為或或或．理由如下：∵拋物線的對稱軸為直線，∴設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，∵，，∴，∴，∴，∴當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，解得，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)睛】本題考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的表達(dá)式，將軍飲馬模型，直角坐標(biāo)系中的直角三角形問題，滲透了數(shù)形結(jié)合和分類思想，題型常規(guī)，難度不大．12．(1)①；②4(2)①Q(mào)點(diǎn)坐標(biāo)為；②是為定值，定值為8【分析】（1）①利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；②結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求得頂點(diǎn)，，然后利用割補(bǔ)法求圖形面積；（2）①分或兩種情況結(jié)合一次函數(shù)圖象的性質(zhì)分析求解；②設(shè)，結(jié)合一次函數(shù)圖象的性質(zhì)分析求解【詳解】（1）①∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，∴，解得∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：；②∵，∴頂點(diǎn)，∵，，∴，且∥x軸，∵，∴；（2）①∵點(diǎn)P在線段EB上，∴不可能為直角，∴當(dāng)為直角三角形時，有或，ⅰ．當(dāng)時，則，∵，，∴直線AQ解析式為，∴設(shè)直線DA解析式為，把代入可求得，∴直線DQ解析式為，聯(lián)立直線DQ和拋物線解析式可得，解得或∴（舍）或（舍）∴此種情況不存在ⅱ．當(dāng)時，設(shè)，設(shè)直線AD的解析式為，把A、D坐標(biāo)代入可得，解得，設(shè)直線DQ解析式為，同理可求得，∵，∴，即，解得當(dāng)時，∵，∴（舍）當(dāng)時，∵，D點(diǎn)橫坐標(biāo)為綜上可知：D點(diǎn)橫坐標(biāo)②設(shè)，由A、D的坐標(biāo)得，直線的表達(dá)式為：，當(dāng)時，；由點(diǎn)B、D的坐標(biāo)得，直線的表達(dá)式為：，當(dāng)時，，則是為定值，定值為8．【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等知識點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合以及熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．13．(1)，頂點(diǎn)(2)(3)或或【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，通過相似三角形的性質(zhì)和方程思想解決問題．（1）將，代入拋物線解析式，通過解方程組求出解析式中的系數(shù)，進(jìn)而得到拋物線表達(dá)式和頂點(diǎn)坐標(biāo)．（2）過點(diǎn)P作x軸的平行線l，交y軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作垂直于l，垂足為F，證明，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)建立等式，再結(jié)合點(diǎn)在拋物線上這一條件求解．（3）先聯(lián)立兩個拋物線的方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)或，再通過構(gòu)建圖形，利用三角形面積公式列出方程求解．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)∴，解得，∴拋物線，∴頂點(diǎn)；（2）解：如圖，過點(diǎn)P作x軸的平行線l，交y軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作垂直于l，垂足為F；可得，，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，，∴，將，代入拋物線，解得；（3）解：由拋物線，可得頂點(diǎn)，聯(lián)立拋物線與：，解得或，∴點(diǎn)，∵頂點(diǎn)，，所以直線，過點(diǎn)P作x軸平行線交的延長線于點(diǎn)M，可得，∴，∴，當(dāng)時，，∴或，解得或或．14．(1)(2)四邊形的面積最大為16；點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3)，(4)點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或【分析】本題主要考查