2025年秋季IGCSE數學（Extended）代數與幾何綜合能力測試卷一、代數表達式簡化要求：請簡化下列代數表達式。1.簡化表達式：2(x+3)-4x+52.簡化表達式：3a(a-2b)+2b(a+3)3.簡化表達式：4x^2-5x+2-3(x^2-x+1)4.簡化表達式：3(x-2y)-2y(x+3)+5x5.簡化表達式：5a^2b-2ab^2+3a^2b-4ab^2二、方程求解要求：解下列方程。1.求解方程：2x+3=112.求解方程：3a-2b=5，a+b=43.求解方程：2(x-3)=5x+14.求解方程：x^2-5x+6=05.求解方程：x^2-4x+4=0三、多項式除法要求：進行多項式除法，并寫出結果。1.用(x+2)除以(x-1)2.用(x-3)除以(x^2+2x-3)3.用(x+1)除以(x^2-x-2)4.用(x-2)除以(x^2+3x+2)5.用(x-4)除以(x^2+2x-8)四、函數及其圖像要求：根據給出的函數表達式，畫出每個函數的圖像。1.函數f(x)=x^2-4x+42.函數g(x)=|x-3|3.函數h(x)=√(x^2-9)4.函數k(x)=log(x-1)5.函數m(x)=2sin(x)五、幾何圖形要求：解答下列幾何問題。1.已知三角形ABC，AB=5cm，BC=8cm，角ABC=90°，求AC的長度。2.圓的半徑為4cm，一條弦長為6cm，求這條弦與圓心O的距離。3.一個等邊三角形的邊長為6cm，求該三角形的高。4.求證：在直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半。5.一個梯形的上底長為6cm，下底長為12cm，高為5cm，求梯形的面積。六、不等式與不等式組要求：解下列不等式或不等式組。1.解不等式：2x-3<52.解不等式組：{2x+3y≥6,x-y≤2}3.解不等式：3(x-2)≤4-2x4.解不等式組：{x+2y>4,x-y≤1}5.解不等式：2|x-3|<8本次試卷答案如下：一、代數表達式簡化1.簡化表達式：2(x+3)-4x+5解析：2x+6-4x+5=-2x+112.簡化表達式：3a(a-2b)+2b(a+3)解析：3a^2-6ab+2ab+6b=3a^2-4ab+6b3.簡化表達式：4x^2-5x+2-3(x^2-x+1)解析：4x^2-5x+2-3x^2+3x-3=x^2-2x-14.簡化表達式：3(x-2y)-2y(x+3)+5x解析：3x-6y-2xy-6y+5x=8x-12y-2xy5.簡化表達式：5a^2b-2ab^2+3a^2b-4ab^2解析：5a^2b+3a^2b-2ab^2-4ab^2=8a^2b-6ab^2二、方程求解1.求解方程：2x+3=11解析：2x=11-3，2x=8，x=42.求解方程：3a-2b=5，a+b=4解析：從第二個方程得出a=4-b，代入第一個方程得3(4-b)-2b=5，12-3b-2b=5，-5b=-7，b=7/5，a=4-7/5=17/53.求解方程：2(x-3)=5x+1解析：2x-6=5x+1，-3x=7，x=-7/34.求解方程：x^2-5x+6=0解析：(x-2)(x-3)=0，x=2或x=35.求解方程：x^2-4x+4=0解析：(x-2)^2=0，x=2三、多項式除法1.用(x+2)除以(x-1)解析：x+3，余數為52.用(x-3)除以(x^2+2x-3)解析：x-3，余數為03.用(x+1)除以(x^2-x-2)解析：x-2，余數為-14.用(x-2)除以(x^2+3x+2)解析：x+5，余數為-125.用(x-4)除以(x^2+2x-8)解析：x+6，余數為-24四、函數及其圖像1.函數f(x)=x^2-4x+4解析：這是一個完全平方的二次函數，圖像是一個開口向上的拋物線，頂點為(2,0)。2.函數g(x)=|x-3|解析：這是一個絕對值函數，圖像在x=3處有一個尖點，左側是下降的直線，右側是上升的直線。3.函數h(x)=√(x^2-9)解析：這是一個平方根函數，圖像在x=-3和x=3處有尖點，左側是下降的曲線，右側是上升的曲線。4.函數k(x)=log(x-1)解析：這是一個對數函數，圖像在x=1處有一個垂直漸近線，隨著x增加，函數值增加。5.函數m(x)=2sin(x)解析：這是一個正弦函數的放大版本，圖像在y軸上振蕩，振幅為2。五、幾何圖形1.已知三角形ABC，AB=5cm，BC=8cm，角ABC=90°，求AC的長度。解析：使用勾股定理，AC=√(AB^2+BC^2)=√(5^2+8^2)=√(25+64)=√89cm2.圓的半徑為4cm，一條弦長為6cm，求這條弦與圓心O的距離。解析：使用勾股定理，設弦的中點到圓心的距離為d，則d=√(4^2-(6/2)^2)=√(16-9)=√7cm3.一個等邊三角形的邊長為6cm，求該三角形的高。解析：等邊三角形的高將底邊平分，高是邊長的√3/2倍，高=6*√3/2=3√3cm4.求證：在直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半。解析：使用勾股定理，設斜邊長度為c，中線長度為m，則m=√((c/2)^2+(c/2)^2)=√(c^2/4+c^2/4)=√(c^2/2)=c/√2=c/25.一個梯形的上底長為6cm，下底長為12cm，高為5cm，求梯形的面積。解析：梯形面積=(上底+下底)*高/2=(6+12)*5/2=18*5/2=45cm2六、不等式與不等式組1.解不等式：2x-3<5解析：2x<8，x<42.解不等式組：{2x+3y≥6,x-y≤2}解析：從第二個不等式得出y≥x-2，代入第一個不等式得2x+3(x-2)≥6，2x+3x-6≥6，5x≥12，x≥12/53.解不等式：3(x-2)≤4-2x解析：3x-6≤4-2x，5x≤10，x≤24.解不等式組：{x