2025年加拿大數學競賽（CMO）模擬試卷：組合數學與數論進階題型解析與解答一、組合數學1.已知集合A={1,2,3,4,5}，集合B={a,b,c,d,e}，從集合A中取出兩個元素，從集合B中取出一個元素，求這兩個集合中元素組成的有序對的總數。2.有5個不同的球，放入3個不同的盒子中，每個盒子至少放一個球，求不同的放法數目。二、數論1.求解以下同余方程：2x≡5(mod7)。2.已知p和q是兩個互質的正整數，且p+q=23，求p^2+q^2的值。3.求解以下不定方程：ax+by=c，其中a=2，b=3，c=7，且x和y為正整數。三、組合數學1.從集合{1,2,3,4,5,6,7}中任取3個不同的數，求這三個數之和為11的不同取法數目。2.有4個不同的球，放入3個不同的盒子中，每個盒子至少放一個球，求不同的放法數目。四、數論1.求解以下同余方程：3x≡8(mod11)。2.已知p和q是兩個互質的正整數，且p*q=45，求p^2+q^2的值。3.求解以下不定方程：ax+by=c，其中a=4，b=5，c=9，且x和y為正整數。五、組合數學1.有5個不同的球，放入3個不同的盒子中，每個盒子至少放一個球，求不同的放法數目。2.從集合{1,2,3,4,5,6,7}中任取3個不同的數，求這三個數之和為12的不同取法數目。六、數論1.求解以下同余方程：5x≡6(mod13)。2.已知p和q是兩個互質的正整數，且p+q=31，求p^2+q^2的值。3.求解以下不定方程：ax+by=c，其中a=6，b=7，c=11，且x和y為正整數。四、組合數學1.有6個不同的球，放入3個不同的盒子中，每個盒子至少放一個球，求不同的放法數目。2.從集合{1,2,3,4,5,6,7,8}中任取4個不同的數，求這三個數之和為18的不同取法數目。五、數論1.求解以下同余方程：7x≡4(mod15)。2.已知p和q是兩個互質的正整數，且p*q=49，求p^2+q^2的值。3.求解以下不定方程：ax+by=c，其中a=8，b=9，c=13，且x和y為正整數。六、組合數學1.有7個不同的球，放入3個不同的盒子中，每個盒子至少放一個球，求不同的放法數目。2.從集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取5個不同的數，求這三個數之和為20的不同取法數目。本次試卷答案如下：一、組合數學1.解析：從集合A中取兩個元素有C(5,2)種取法，從集合B中取一個元素有C(5,1)種取法，所以有序對的總數為C(5,2)*C(5,1)=10*5=50。2.解析：將5個球放入3個盒子，每個盒子至少一個球，可以看作是將4個球放入3個盒子，有C(4,2)種放法，然后每個盒子再放一個球，所以總放法數為C(4,2)*3!=6*6=36。二、數論1.解析：通過試錯法或使用擴展歐幾里得算法，可以找到x=4是方程2x≡5(mod7)的解。2.解析：因為p和q互質，所以p^2和q^2互質，且p^2+q^2是奇數。由于p+q=23，p和q不可能都是偶數，所以p和q中必有一個是奇數，另一個是偶數。因此，p^2+q^2=(p+q)^2-2pq=23^2-2*45=529-90=439。3.解析：由于a和b互質，可以通過擴展歐幾里得算法找到整數x和y，使得ax+by=1。然后，將c乘以這個等式，得到ax+by=c。在這個例子中，a=2，b=3，c=7，通過擴展歐幾里得算法找到x=5，y=-3，所以ax+by=2*5+3*(-3)=10-9=1，因此7*5+3*(-3)=35-9=26。三、組合數學1.解析：從集合{1,2,3,4,5,6,7}中任取3個不同的數，且這三個數之和為11，可以通過枚舉法找到所有可能的組合：(1,2,8)，(1,3,7)，(1,4,6)，(2,3,6)，(2,4,5)，(3,4,4)。共有6種不同的取法。2.解析：將4個球放入3個盒子，每個盒子至少一個球，可以看作是將3個球放入3個盒子，有C(3,1)種放法，然后每個盒子再放一個球，所以總放法數為C(3,1)*3!=3*6=18。四、數論1.解析：通過試錯法或使用擴展歐幾里得算法，可以找到x=2是方程3x≡8(mod11)的解。2.解析：因為p和q互質，所以p^2和q^2互質，且p^2+q^2是奇數。由于p*q=45，p和q的可能值為(3,15)或(5,9)。計算這兩種情況的p^2+q^2，得到3^2+15^2=9+225=234和5^2+9^2=25+81=106，所以p^2+q^2的值為106。3.解析：由于a和b互質，可以通過擴展歐幾里得算法找到整數x和y，使得ax+by=1。然后，將c乘以這個等式，得到ax+by=c。在這個例子中，a=4，b=5，c=9，通過擴展歐幾里得算法找到x=1，y=-1，所以ax+by=4*1+5*(-1)=4-5=-1，因此9*1+5*(-1)=9-5=4。五、組合數學1.解析：將5個球放入3個盒子，每個盒子至少一個球，可以看作是將4個球放入3個盒子，有C(4,2)種放法，然后每個盒子再放一個球，所以總放法數為C(4,2)*3!=6*6=36。2.解析：從集合{1,2,3,4,5,6,7}中任取3個不同的數，且這三個數之和為12，可以通過枚舉法找到所有可能的組合：(1,2,9)，(1,3,8)，(1,4,7)，(1,5,6)，(2,3,7)，(2,4,6)，(3,4,5)。共有7種不同的取法。六、數論1.解析：通過試錯法或使用擴展歐幾里得算法，可以找到x=3是方程5x≡6(mod13)的解。2.解析：因為p和q互質，所以p^2和q^2互質，且p^2+q^2是奇數。由于p+q=31，p和q的可能值為(15,16)或(16,15)。計算這兩種情況的p^2+q^2，得到15^2+16^2=225+256=481和16^2+15^2=256+225=481，所以p^2+q^2的值為481。3.解析：由于a和b互質，可以通過擴展歐幾里得算法找到整數x和y，使得ax+b