北京市建華實驗學校2020屆高三階段測試試題（數學含解析）一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）1.已知函數f(x)=x^3-3x+1，若f(x)在x=1處取得極值，則此極值為：A.0B.-1C.2D.-22.下列函數中，y=x^2+2x+1的圖像是：A.拋物線向上開口B.拋物線向下開口C.直線D.雙曲線3.已知等差數列{an}的首項為a1，公差為d，若a1+a2+a3=9，a4+a5+a6=27，則a1的值為：A.1B.3C.5D.74.下列不等式中，正確的是：A.|x|>0B.x^2>0C.x^3>0D.x^4>05.已知函數f(x)=(x-1)^2，若f(x)在x=2處取得極值，則此極值為：A.0B.1C.4D.-16.下列數列中，不是等比數列的是：A.1,2,4,8,...B.1,3,9,27,...C.1,-1,1,-1,...D.1,2,4,8,...7.已知函數f(x)=2x^3-3x^2+4x-1，若f(x)在x=1處取得極值，則此極值為：A.0B.1C.2D.-18.下列函數中，y=3x-2的圖像是：A.拋物線向上開口B.拋物線向下開口C.直線D.雙曲線9.已知等差數列{an}的首項為a1，公差為d，若a1+a2+a3=9，a4+a5+a6=27，則a1的值為：A.1B.3C.5D.710.下列不等式中，正確的是：A.|x|>0B.x^2>0C.x^3>0D.x^4>0二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）1.已知函數f(x)=x^2-4x+4，則f(x)的頂點坐標為________。2.已知等差數列{an}的首項為a1，公差為d，若a1+a2+a3=9，a4+a5+a6=27，則a1的值為________。3.已知函數f(x)=2x^3-3x^2+4x-1，若f(x)在x=1處取得極值，則此極值為________。4.下列函數中，y=3x-2的圖像是________。5.下列不等式中，正確的是________。三、解答題（本大題共2小題，共25分）1.已知函數f(x)=x^3-3x+1，求f(x)的導數f'(x)。2.已知等差數列{an}的首項為a1，公差為d，若a1+a2+a3=9，a4+a5+a6=27，求a1和d的值。四、證明題（本大題共1小題，共10分）要求：證明以下等式成立：已知等差數列{an}的首項為a1，公差為d，證明：a1^2+a2^2+a3^2+...+an^2=n(a1+a2+a3+...+an)。五、應用題（本大題共1小題，共15分）要求：一公司計劃投資總額為100萬元，投資兩種股票，甲股票的預期收益率為10%，乙股票的預期收益率為8%。為了使投資風險最小，請設計投資方案，使得預期收益率在6%至10%之間。六、綜合題（本大題共1小題，共20分）要求：已知函數f(x)=x^3-3x+1，求：（1）函數f(x)的極值點；（2）函數f(x)在區間[-1,2]上的最大值和最小值；（3）函數f(x)的圖像與x軸的交點坐標。本次試卷答案如下：一、選擇題1.D.-2解析：f(x)在x=1處取得極值，說明導數f'(x)在x=1處為0，即3x^2-3=0，解得x=±1，代入原函數得f(1)=-1，f(-1)=1，所以極值為-2。2.A.拋物線向上開口解析：函數y=x^2+2x+1可以寫成y=(x+1)^2，這是一個向上開口的拋物線。3.B.3解析：等差數列中，a2=a1+d，a3=a1+2d，所以a1+a2+a3=3a1+3d=9，同理a4+a5+a6=3a4+3d=27，解得a1=1，d=2。4.B.x^2>0解析：任何實數的平方都是非負的，所以x^2總是大于0。5.A.0解析：f(x)=(x-1)^2在x=2處取得極值，因為f'(x)=2(x-1)，在x=2時f'(x)=0，代入原函數得f(2)=(2-1)^2=1。6.C.1,-1,1,-1,...解析：這是一個等差數列，但是項的符號交替出現，不符合等比數列的定義。7.C.2解析：與第5題類似，f(x)=2x^3-3x^2+4x-1在x=1處取得極值，因為f'(x)=6x^2-6x+4，在x=1時f'(x)=0，代入原函數得f(1)=2。8.C.直線解析：函數y=3x-2是一次函數，其圖像是一條直線。9.B.3解析：與第3題類似，等差數列的首項a1和公差d可以通過等差數列的性質求得。10.B.x^2>0解析：任何實數的平方都是非負的，所以x^2總是大于0。二、填空題1.(2,-4)解析：函數y=x^2-4x+4可以寫成y=(x-2)^2-4，所以頂點坐標為(2,-4)。2.1解析：與第3題類似，等差數列的首項a1可以通過等差數列的性質求得。3.1解析：與第5題類似，函數f(x)在x=1處取得極值，極值為1。4.直線解析：函數y=3x-2是一次函數，其圖像是一條直線。5.x^2>0解析：任何實數的平方都是非負的，所以x^2總是大于0。三、解答題1.解析：f'(x)=3x^2-3。2.解析：a1=1，d=2。四、證明題解析：證明過程略。五、應用題解析：設甲股票投資x萬元，乙股票投資100-x萬元，根據題意列出不等式6%≤(0.1x+0.08(100-x))/100≤10%，解得x的取值范圍。六、綜合題解析：（1）f'(x)=3x^2-3，令