2025年考研數學（三）線性代數與概率綜合試卷：解題技巧與備考建議一、填空題1.設向量組$\boldsymbol{a}_1=(1,2,3)^T$，$\boldsymbol{a}_2=(4,5,6)^T$，$\boldsymbol{a}_3=(7,8,9)^T$，則該向量組的秩為______。2.設線性方程組$AX=0$的系數矩陣$A$的秩為$2$，增廣矩陣的秩為$3$，則方程組$AX=0$的解的個數為______。3.設矩陣$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}$，則矩陣$\boldsymbol{A}$的逆矩陣$\boldsymbol{A}^{-1}$為______。二、選擇題1.設向量組$\boldsymbol{a}_1=(1,1,1)^T$，$\boldsymbol{a}_2=(2,2,2)^T$，$\boldsymbol{a}_3=(3,3,3)^T$，則該向量組的秩為（）。（A）1（B）2（C）3（D）02.設線性方程組$AX=0$的系數矩陣$A$的秩為$3$，增廣矩陣的秩為$4$，則方程組$AX=0$的解的個數為（）。（A）0（B）1（C）2（D）33.設矩陣$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}$，則矩陣$\boldsymbol{A}$的逆矩陣$\boldsymbol{A}^{-1}$存在當且僅當（）。（A）$3\times3$（B）$2\times2$（C）$2\times3$（D）$3\times2$三、解答題1.已知線性方程組$\begin{cases}x+2y+3z=1\\2x+4y+6z=2\\3x+6y+9z=3\end{cases}$，求方程組的解。2.設矩陣$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}$，求矩陣$\boldsymbol{A}$的行列式$\left|\boldsymbol{A}\right|$。3.已知矩陣$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}$，求矩陣$\boldsymbol{A}$的特征值和特征向量。四、證明題證明：設$\boldsymbol{A}$是$n$階方陣，$\lambda$是$\boldsymbol{A}$的一個非零特征值，$\boldsymbol{\alpha}$是對應的特征向量，證明$\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}=\lambda\boldsymbol{\alpha}$。五、計算題1.設矩陣$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}2&1&3\\4&2&6\\6&3&9\end{bmatrix}$，求矩陣$\boldsymbol{A}$的伴隨矩陣$\boldsymbol{A}^*$。2.設線性方程組$AX=B$的系數矩陣$\boldsymbol{A}$和增廣矩陣$\boldsymbol{B}$分別為：$$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix},\quad\boldsymbol{B}=\begin{bmatrix}1&2&3&|&1\\4&5&6&|&2\\7&8&9&|&3\end{bmatrix}$$求解方程組$AX=B$。六、應用題已知某工廠生產三種產品A、B、C，其生產成本、利潤和市場需求如下表所示：|產品|生產成本（元/件）|利潤（元/件）|市場需求（件/月）||----|----------------|------------|----------------||A|10|20|100||B|15|25|80||C|20|30|60|假設工廠每月有固定生產成本2000元，求：1.每種產品的最優生產數量；2.該工廠每月的最大利潤。本次試卷答案如下：一、填空題1.設向量組$\boldsymbol{a}_1=(1,2,3)^T$，$\boldsymbol{a}_2=(4,5,6)^T$，$\boldsymbol{a}_3=(7,8,9)^T$，則該向量組的秩為1。解析：向量組$\boldsymbol{a}_1$，$\boldsymbol{a}_2$，$\boldsymbol{a}_3$線性相關，因為$\boldsymbol{a}_2=2\boldsymbol{a}_1$，$\boldsymbol{a}_3=3\boldsymbol{a}_1$，所以向量組的秩為1。2.設線性方程組$AX=0$的系數矩陣$A$的秩為$2$，增廣矩陣的秩為$3$，則方程組$AX=0$的解的個數為1。解析：由于系數矩陣$A$的秩小于增廣矩陣的秩，根據線性方程組的秩定理，方程組$AX=0$有非零解，解的個數為$n-r(A)=3-2=1$。3.設矩陣$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}$，則矩陣$\boldsymbol{A}$的逆矩陣$\boldsymbol{A}^{-1}$為$\begin{bmatrix}1/6&-1/6&1/6\\-2/3&1/3&-1/3\\1&-1&1\end{bmatrix}$。解析：首先計算矩陣$\boldsymbol{A}$的行列式$\left|\boldsymbol{A}\right|=1\cdot(5\cdot9-6\cdot8)-2\cdot(4\cdot9-6\cdot7)+3\cdot(4\cdot8-5\cdot7)=3$，由于行列式不為零，矩陣$\boldsymbol{A}$可逆。然后計算伴隨矩陣$\boldsymbol{A}^*$，最后求逆矩陣$\boldsymbol{A}^{-1}=\frac{1}{\left|\boldsymbol{A}\right|}\boldsymbol{A}^*$。二、選擇題1.設向量組$\boldsymbol{a}_1=(1,1,1)^T$，$\boldsymbol{a}_2=(2,2,2)^T$，$\boldsymbol{a}_3=(3,3,3)^T$，則該向量組的秩為（D）0。解析：向量組$\boldsymbol{a}_1$，$\boldsymbol{a}_2$，$\boldsymbol{a}_3$線性相關，因為$\boldsymbol{a}_2=2\boldsymbol{a}_1$，$\boldsymbol{a}_3=3\boldsymbol{a}_1$，所以向量組的秩為0。2.設線性方程組$AX=0$的系數矩陣$A$的秩為$3$，增廣矩陣的秩為$4$，則方程組$AX=0$的解的個數為（A）0。解析：由于系數矩陣$A$的秩等于增廣矩陣的秩，方程組$AX=0$只有零解，解的個數為0。3.設矩陣$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}$，則矩陣$\boldsymbol{A}$的逆矩陣$\boldsymbol{A}^{-1}$存在當且僅當（A）$3\times3$。解析：矩陣$\boldsymbol{A}$是$3\times3$的方陣，只有當它是可逆的，即行列式不為零時，逆矩陣才存在。三、解答題1.已知線性方程組$\begin{cases}x+2y+3z=1\\2x+4y+6z=2\\3x+6y+9z=3\end{cases}$，求方程組的解。解析：將方程組化為增廣矩陣，進行行簡化操作，得到$\begin{bmatrix}1&2&3&|&1\\0&0&0&|&0\\0&0&0&|&0\end{bmatrix}$，解得$x=1$，$y=0$，$z=0$。2.設矩陣$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}$，求矩陣$\boldsymbol{A}$的行列式$\left|\boldsymbol{A}\right|$。解析：計算矩陣$\boldsymbol{A}$的行列式，使用第一行展開，得到$\left|\boldsymbol{A}\right|=1\cdot(5\cdot9-6\cdot8)-2\cdot(4\cdot9-6\cdot7)+3\cdot(4\cdot8-5\cdot7)=3$。3.已知矩陣$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}$，求矩陣$\boldsymbol{A}$的特征值和特征向量。解析：計算特征多項式$\det(\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})=\det\begin{bmatrix}\lambda-1&-2&-3\\-4&\lambda-5&-6\\-7&-8&\lambda-9\end{bmatrix}$，求解得到特征值$\lambda_1=3$，$\lambda_2=2$，$\lambda_3=1$。對應特征向量分別為$\boldsymbol{\alpha}_1=(1,1,1)^T$，$\boldsymbol{\alpha}_2=(1,2,3)^T$，$\boldsymbol{\alpha}_3=(1,3,5)^T$。四、證明題證明：設$\boldsymbol{A}$是$n$階方陣，$\lambda$是$\boldsymbol{A}$的一個非零特征值，$\boldsymbol{\alpha}$是對應的特征向量，證明$\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}=\lambda\boldsymbol{\alpha}$。解析：由特征值和特征向量的定義，有$\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}=\lambda\boldsymbol{\alpha}$，兩邊同時左乘$\boldsymbol{\alpha}^T$，得到$\boldsymbol{\alpha}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}=\lambda\boldsymbol{\alpha}^T\boldsymbol{\alpha}$，由于$\boldsymbol{\alpha}^T\boldsymbol{\alpha}\neq0$，所以$\lambda=\frac{\boldsymbol{\alpha}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}}{\boldsymbol{\alpha}^T\boldsymbol{\alpha}}$，即$\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}=\lambda\boldsymbol{\alpha}$。五、計算題1.設矩陣$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}2&1&3\\4&2&6\\6&3&9\end{bmatrix}$，求矩陣$\boldsymbol{A}$的伴隨矩陣$\boldsymbol{A}^*$。解析：計算矩陣$\boldsymbol{A}$的行列式$\left|\boldsymbol{A}\right|=2\cdot(2\cdot9-6\cdot3)-1\cdot(4\cdot9-6\cdot6)+3\cdot(4\cdot3-2\cdot6)=0$，由于行列式為零，矩陣$\boldsymbol{A}$不可逆，因此沒有伴隨矩陣。2.設線性方程組$AX=B$的系數矩陣$\boldsymbol{A}$和增廣矩陣$\boldsymbol{B}$分別為：$$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix},\quad\boldsymbol{B}=\begin{bmatrix}1&2&3&|&1\\4&5&6&|&2\\7&8&9&|&3\end{bmatrix}$$求解方程組$AX=B$。解析：將方程組化為增廣矩陣，進行行簡化操作，得到$\begin{bmatrix}1&2&3&|&1\\0&0&0&|&0\\0&0&0&|&0\end{bmatrix}$，解得$x=1$，$y=0$，$z=0$。六、應用題已知某工廠生產三