2025年廈門大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計本科期末考試試題（含答案）一、選擇題要求：從下列各題的四個選項中，選出正確的一個。1.若隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)={0，x≤0；x/2，0<x≤2；1，x>2}，則X的數(shù)學(xué)期望E(X)為：A.1B.1.5C.2D.2.52.設(shè)隨機變量X～N(μ，σ^2)，其中μ=0，σ=1，則P(0≤X≤1)的值約為：A.0.3413B.0.6826C.0.9545D.0.99733.若隨機變量X服從二項分布，X～B(n，p)，其中n=10，p=0.3，則P(X=6)的值約為：A.0.0875B.0.125C.0.2D.0.254.設(shè)隨機變量X～U(a，b)，其中a=1，b=3，則E(X)的值為：A.1B.1.5C.2D.2.55.若隨機變量X～P(λ)，其中λ=2，則P(X=3)的值約為：A.0.1B.0.2C.0.3D.0.46.設(shè)隨機變量X～E(λ)，其中λ=1，則E(X^2)的值為：A.2B.4C.6D.87.若隨機變量X～N(μ，σ^2)，其中μ=10，σ=3，則P(X≤12)的值約為：A.0.5B.0.6826C.0.9545D.0.99738.設(shè)隨機變量X～B(n，p)，其中n=5，p=0.5，則P(X≥3)的值約為：A.0.125B.0.25C.0.375D.0.59.若隨機變量X～U(a，b)，其中a=1，b=4，則P(X≤2)的值約為：A.0.5B.0.75C.0.875D.110.設(shè)隨機變量X～P(λ)，其中λ=3，則P(X=5)的值約為：A.0.1B.0.3C.0.5D.0.7二、填空題要求：將下列各題的空格填上合適的數(shù)字。11.若隨機變量X～N(μ，σ^2)，其中μ=0，σ=1，則E(X^2)的值為______。12.設(shè)隨機變量X～U(a，b)，其中a=1，b=3，則P(X>2)的值約為______。13.若隨機變量X～B(n，p)，其中n=6，p=0.2，則E(X)的值為______。14.設(shè)隨機變量X～E(λ)，其中λ=2，則Var(X)的值為______。15.若隨機變量X～N(μ，σ^2)，其中μ=5，σ=2，則P(4≤X≤6)的值約為______。16.設(shè)隨機變量X～U(a，b)，其中a=2，b=5，則P(X≥4)的值約為______。17.若隨機變量X～P(λ)，其中λ=4，則P(X≤3)的值約為______。18.設(shè)隨機變量X～N(μ，σ^2)，其中μ=3，σ=1，則P(X≤4)的值約為______。19.若隨機變量X～B(n，p)，其中n=8，p=0.3，則Var(X)的值為______。20.設(shè)隨機變量X～U(a，b)，其中a=3，b=6，則P(3≤X≤5)的值約為______。三、解答題要求：寫出解題過程。21.某批產(chǎn)品的合格率為0.9，從中隨機抽取10件產(chǎn)品，求其中至少有1件不合格產(chǎn)品的概率。22.某城市某日氣溫X～N(μ，σ^2)，其中μ=30，σ=5，求該城市某日氣溫高于35℃的概率。23.某廠生產(chǎn)的電子元件壽命X～E(λ)，其中λ=0.001，求該電子元件壽命超過1000小時的概率。24.某工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品每件產(chǎn)品重量X～N(μ，σ^2)，其中μ=100，σ=10，求該產(chǎn)品重量超過110克的概率。25.某城市某日降雨量Y～U(a，b)，其中a=10，b=20，求該城市某日降雨量不超過15毫米的概率。四、計算題要求：根據(jù)所給隨機變量的分布情況，計算下列概率值。26.設(shè)隨機變量X～B(5，0.4)，求P(X=3)的值。27.設(shè)隨機變量X～P(λ)，其中λ=3，求P(X≥2)的值。28.設(shè)隨機變量X～N(μ，σ^2)，其中μ=50，σ=10，求P(45≤X≤55)的值。29.設(shè)隨機變量X～U(a，b)，其中a=2，b=6，求P(X<4)的值。30.設(shè)隨機變量X～E(λ)，其中λ=0.5，求P(X≤2)的值。五、證明題要求：證明所給命題的正確性。31.證明：若隨機變量X～N(μ，σ^2)，則P(X≤μ)=0.5。32.證明：若隨機變量X～U(a，b)，則E(X)=(a+b)/2。33.證明：若隨機變量X～B(n，p)，則Var(X)=np(1-p)。34.證明：若隨機變量X～P(λ)，則E(X)=1/λ。35.證明：若隨機變量X～E(λ)，則Var(X)=1/λ^2。六、應(yīng)用題要求：根據(jù)所給條件，解決實際問題。36.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品重量X～N(μ，σ^2)，已知μ=100克，σ=2克。若要求產(chǎn)品的重量在98克到102克之間，求該范圍內(nèi)的產(chǎn)品占總產(chǎn)品的比例。37.某城市一年的降雨量Y～U(a，b)，已知a=500毫米，b=1000毫米。求該城市一年的降雨量在600毫米到800毫米之間的概率。38.某批電子元件的壽命X～E(λ)，已知λ=0.001。求該批電子元件壽命超過1500小時的概率。39.某商店每天顧客流量X～P(λ)，已知λ=3。求該商店每天顧客流量在2到5之間的概率。40.某批產(chǎn)品的合格率P(A)為0.95，不合格的產(chǎn)品為B類。若從該批產(chǎn)品中隨機抽取10件，求其中恰好有2件B類產(chǎn)品的概率。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B解析：由于F(x)是分布函數(shù)，F(xiàn)(0)=0，F(xiàn)(2)=1，因此P(X≤2)=F(2)=1，P(X>2)=1-P(X≤2)=0。由分布函數(shù)的性質(zhì)，P(X=2)=P(X≤2)-P(X<2)=1-1/2=1/2。E(X)=∫[0,2]x*dF(x)=∫[0,2]x*(1/2)dx=[x^2/4]from0to2=1/2*4=2。2.B解析：P(0≤X≤1)=Φ(1)-Φ(0)，其中Φ是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布函數(shù)。查表得Φ(1)≈0.8413，Φ(0)=0.5，因此P(0≤X≤1)≈0.8413-0.5=0.3413。3.A解析：P(X=6)=C(10,6)*(0.3)^6*(0.7)^(10-6)≈0.0875。4.B解析：對于均勻分布U(a，b)，期望E(X)=(a+b)/2。5.B解析：P(X=3)=(λ^3)/(3!*λ^3)=1/6，λ=2。6.A解析：對于指數(shù)分布E(X^2)=2/λ^2。7.C解析：P(X≤12)=Φ((12-10)/3)≈Φ(0.6667)，查表得Φ(0.6667)≈0.9545。8.B解析：P(X≥3)=1-P(X<3)=1-(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2))，使用二項分布公式計算。9.A解析：P(X≤2)=(2-1)/(3-1)=1/2。10.A解析：P(X=5)=(λ^5)/(5!*λ^5)=1/120，λ=3。二、填空題11.1解析：對于正態(tài)分布E(X^2)=Var(X)+[E(X)]^2=σ^2+μ^2。12.1/2解析：P(X>2)=1-P(X≤2)=1-(2-1)/(3-1)=1/2。13.1.2解析：E(X)=np=6*0.2=1.2。14.4解析：Var(X)=λ^2。15.0.6826解析：P(4≤X≤6)=Φ((6-5)/2)-Φ((4-5)/2)≈0.6826。16.3/4解析：P(X≥4)=1-P(X<4)=1-(4-2)/(5-2)=3/4。17.1/2解析：P(X≤3)=1-P(X>3)=1-(λ^4)/(4!*λ^4)=1/2。18.0.5解析：P(X≤4)=Φ((4-3)/1)≈0.5。19.0.36解析：Var(X)=np(1-p)=8*0.3*(1-0.3)=0.36。20.1/2解析：P(3≤X≤5)=(5-3)/(6-3)=1/2。三、解答題21.解析：P(至少有1件不合格)=1-P(全部合格)=1-(0.9)^10。22.解析：P(X>35)=1-Φ((35-30)/5)。23.解析：P(X>1000)=1-e^(-1000/λ)。24.解析：P(X>110)=1-Φ((110-100)/10)。25.解析：P(Y≤15)=Φ((15-10)/10)。四、計算題26.解析：P(X=3)=C(5,3)*(0.4)^3*(0.6)^2≈0.2304。27.解析：P(X≥2)=1-P(X<2)=1-(P(X=0)+P(X=1))。28.解析：P(45≤X≤55)=Φ((55-50)/10)-Φ((45-50)/10)。29.解析：P(X<4)=(4-2)/(6-2)=1/2。30.解析：P(X≤2)=1-e^(-2/λ)。五、證明題31.解析：由正態(tài)分布的性質(zhì)，P(X≤μ)=Φ(0)=0.5。32.解析：由均勻分布的性質(zhì)，E(X)=∫[a,b]x*(1/(b-a))dx=(a+b)/2。33.解析：由二項分布的性質(zhì)，Var(X)=np(1-p)。34.解析：由泊松分布的性質(zhì)，E(X)=1/λ。35.解析：由指數(shù)分布的性質(zhì)，Var(X)=1/λ^2。六、應(yīng)用題36.解析：P(9