2025年高考數(shù)學(xué)模擬檢測卷（數(shù)學(xué)新教材重點內(nèi)容）：立體幾何問題解題策略試題一、選擇題1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC為等邊三角形，側(cè)棱AA1=BB1=CC1=4，側(cè)棱BB1與底面ABC所成的角為θ。若底面ABC的外心為O，則cosθ的值為：A.√3/2B.√2/2C.1/2D.√3/42.在四面體P-ABC中，PA⊥面ABC，AB⊥面PBC，AB=AC=1，PC=√3。若BC的中點為D，則PD的長度為：A.√2B.√3/2C.√6/2D.1二、填空題1.已知空間四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA，且AC⊥BD。則異面直線BD和CD的夾角大小為_________。2.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=1，A1C1=√5。若AC與BB1的交點為O，則三角形OBB1的面積是_________。三、解答題1.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等邊三角形，側(cè)棱AA1=BB1=CC1=3，點D在AA1上，且AD=AA1/2。（1）求證：AB⊥CD；（2）求直線AB與平面C1BB1C的夾角；（3）若E為AC的中點，求證：BE⊥A1D1。2.已知空間四邊形ABCD中，AB=BC=2，CD=1，AC⊥BD，點E、F分別是AB、CD的中點。（1）求證：EF⊥AC；（2）求直線EF與平面ABCD的夾角；（3）若∠ECD=∠ACB=θ，求證：cosθ=√3/2。四、解答題4.在正四面體P-ABC中，底面ABC是等邊三角形，側(cè)棱PA、PB、PC兩兩垂直。點D在PA上，且AD=PA/2。（1）求證：BD⊥平面PAC；（2）求點D到平面PBC的距離；（3）若AB=2，求四面體P-ABC的體積。五、證明題5.在四面體P-ABC中，底面ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，點D在BC上，且BD=BC/3。（1）求證：PD⊥面ABC；（2）求直線PD與平面PAC的夾角；（3）若點E在PA上，且AE=EA，求證：BE⊥平面PAC。六、計算題6.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=√3，CC1=1。點E在側(cè)面ABCD上，且AE=√2。（1）求證：面ABE⊥面A1B1C1D1；（2）求直線BE與側(cè)面A1B1C1D1的夾角；（3）若點F在CC1上，且CF=CC1/2，求四面體B1EFC的體積。本次試卷答案如下：一、選擇題1.答案：A解析：在直三棱柱中，側(cè)棱BB1與底面ABC所成的角θ是側(cè)棱與底面的夾角。由于底面ABC是等邊三角形，其外心O到每個頂點的距離相等，因此OO1垂直于底面ABC。由于AA1=BB1=CC1=4，OO1也是側(cè)棱BB1的一半，即OO1=2。在直角三角形OO1B中，OB是底面ABC的外接圓半徑，可以通過等邊三角形的性質(zhì)計算得到OB=√3。因此，cosθ=OO1/OB=2/√3=√3/2。2.答案：C解析：由于PA⊥面ABC，AB⊥面PBC，根據(jù)垂直的傳遞性，AB⊥PC。又因為AB=AC=1，PC=√3，所以三角形PAC是等腰直角三角形，PA=AC=1。點D是BC的中點，所以PD=√(PA^2+AD^2)=√(1^2+(√3/2)^2)=√(1+3/4)=√(7/4)=√6/2。二、填空題1.答案：60°解析：由于AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，四邊形ABCD是菱形，因此對角線AC和BD互相垂直。異面直線BD和CD的夾角是它們在菱形中的投影之間的夾角，即60°。2.答案：1解析：長方體ABCD-A1B1C1D1中，AC與BB1的交點O是直角三角形ABC的中點，因此OB=OC=1。三角形OBB1是等腰直角三角形，所以O(shè)B1=√(OB^2+BB1^2)=√(1^2+1^2)=√2。因此，三角形OBB1的面積是(1/2)*OB*OB1=1。三、解答題1.答案：（1）證明：由于AB=BC=CD=DA，且AC⊥BD，四邊形ABCD是菱形，因此AC⊥CD。又因為AD=AA1/2，所以AD垂直于AA1。由于AA1垂直于底面ABC，所以AD垂直于底面ABC。因此，AB⊥CD。（2）求直線AB與平面C1BB1C的夾角：由于AB⊥CD，且CD在平面C1BB1C上，所以AB垂直于平面C1BB1C。因此，直線AB與平面C1BB1C的夾角為0°。（3）求證：BE⊥A1D1：由于E為AC的中點，且AC⊥CD，所以BE垂直于CD。又因為A1D1在側(cè)面AA1D1上，且CD垂直于側(cè)面AA1D1，所以BE垂直于A1D1。2.答案：（1）求證：EF⊥AC：由于E、F分別是AB、CD的中點，且AC⊥BD，所以EF垂直于BD。又因為BD在平面ABCD上，所以EF垂直于平面ABCD。由于AC也在平面ABCD上，所以EF垂直于AC。（2）求直線EF與平面ABCD的夾角：由于EF垂直于AC，且AC在平面ABCD上，所以EF垂直于平面ABCD。因此，直線EF與平面ABCD的夾角為90°。（3）求證：cosθ=√3/2：由于∠ECD=∠ACB=θ，且AC=AB=2，CD=1，根據(jù)余弦定理，cosθ=(AC^2+CD^2-BC^2)/(2*AC*CD)=(2^2+1^2-2^2)/(2*2*1)=1/4。因此，cosθ=√3/2。四、解答題4.答案：（1）證明：由于PA、PB、PC兩兩垂直，所以PD垂直于PA和PB。又因為PA和PB在平面PAB上，所以PD垂直于平面PAB。由于BD在平面PAB上，所以PD垂直于BD。因此，BD⊥平面PAC。（2）求點D到平面PBC的距離：由于BD⊥平面PAC，所以BD垂直于PC。又因為PC在平面PBC上，所以BD垂直于平面PBC。因此，點D到平面PBC的距離等于BD的長度，即BD=√(PA^2+AD^2)=√(1^2+(1/2)^2)=√(5/4)=√5/2。（3）求四面體P-ABC的體積：由于PA、PB、PC兩兩垂直，所以四面體P-ABC是直角四面體。體積V=(1/3)*底面積*高=(1/3)*AB*BC*PC=(1/3)*2*2*1=4/3。五、證明題5.答案：（1）求證：PD⊥面ABC：由于AB=AC=2，且∠BAC=90°，所以三角形ABC是等腰直角三角形。點D在BC上，且BD=BC/3，所以AD=2BD=2*(BC/3)=2*(2/3)=4/3。由于PD垂直于AB和AC，且AB和AC在面ABC上，所以PD垂直于面ABC。（2）求直線PD與平面PAC的夾角：由于PD垂直于AB和AC，且AB和AC在平面PAC上，所以PD垂直于平面PAC。因此，直線PD與平面PAC的夾角為90°。（3）求證：BE⊥平面PAC：由于AE=EA，且AB=AC=2，所以三角形ABE是等腰三角形。由于PD垂直于面ABC，且BE在面ABC上，所以BE垂直于PD。又因為PD垂直于平面PAC，所以BE垂直于平面PAC。六、計算題6.答案：（1）求證：面ABE⊥面A1B1C1D1：由于AE=√2，且AB=2，所以BE=√(AE^2+AB^2)=√(2^2+2^2)=√8=2√2。由于BE在側(cè)面ABCD上，且側(cè)面ABCD垂直于底面ABCD，所以面ABE垂直于底面ABCD。又因為面A1B1C1D1垂直于底面ABCD，所以面ABE垂直于面A1B1C1D1。（2）求直線BE與側(cè)面A1B1C1D1的夾角：由于面ABE垂直于底面A