高中數(shù)學(xué)：橢圓定義在解題中的應(yīng)用

定義是揭示事物的本質(zhì)屬性，對于某些數(shù)學(xué)問題，若能靈活運用定義

解題，往往事半功倍，本文舉例說明橢圓定義在解題中的應(yīng)用。

解方程_________

例1.Jx2_2x+2+Jx2+2x+2=4

分析：常規(guī)方法是經(jīng)過兩次平方去根號求解，但運算繁雜，難免不出

錯。如果聯(lián)想到橢圓的第一定義,將方程配方后令1=/,得

京-1)2+y2+依+1)2+y2=4,則點M(x,y)的軌跡是以Fl(-1,

0),F2(1,0)為焦點，長軸長為4的橢圓，從而原方程的解等價于已知

橢圓上點的縱坐標(biāo)去求它們的橫坐標(biāo)。

解：由原方程可得

+y2+#x+l)2+y2=4

x=±拽

解得3

二.判斷方程表示的曲線

例2.已知X、"R,且滿足)-4x+4+y2=/+y-2|,試判斷點乂

的軌跡是怎樣的曲線。

分析：若將原方程平方，化簡后并不能直接判斷出軌跡是什么曲線，

注意式子結(jié)構(gòu)的特點，左邊可看成點M到點(2,0)的距離，從而可聯(lián)想

22

7(x-2)+y_72

|x+y-2|F

右邊可化為點M到直線x+y-2=o的距離，即有收，由此

聯(lián)想到橢圓的第二定義，就很簡單地求出點M的軌跡是橢圓。

三.求參數(shù)的取值范圍

,2

--+y2=1

例3.設(shè)橢圓m+1的兩個焦點是Fi(-c,0)、F2(C,0)

(c>0),且橢圓上存在點P,使得直線PFi與直線PF2垂直，求m的取值

范圍。

解：由題意知m>0,a=Jm+1,b=l,c=赤，且

/|PFi|2+|PFj|2=|fi^|2=4c2①

[|PFik|PF^=2a②

②2-①得：

|PFJ眄|=2a2-2c2=2b2

嚴11匹2區(qū)(強警尸=22

乂幺

所以2b2幺2,即2Wm+l,所以m21

例4.若方程取/+/+2丫+1)=以-2丫+3)2表示的曲線為橢圓，則皿

的取值范圍是()

A.(0,1)B.(1,+8)

C.(0,5)D.(5,+8)

分析：由已知得利x2+(y+l)2]=(x-2y+3>

收+卬+以_布

|x-2y+曠-右

即而

e=J-€(0,1)

依題意，此方程表示橢圓，根據(jù)橢圓的第二定義，得1m,

解得m>5,選D。

四.求最值

例5.(1)給定A(-2,2),已知B是橢圓2516上動點，F(xiàn)是

左焦點，當(dāng)取最小值時,求B點坐標(biāo)。

蘭+-=1

(2)已知橢圓43內(nèi)有一點p(1,-1),F為橢圓右焦點，M

是橢圓上動點，求MP|+|MF|的最小值。

分析：此題如果按一般求最值的方法先建立目標(biāo)函數(shù)，再求最值，因

含有兩個根式的和，代入消元不易，難以求解，但如果我們注意數(shù)量特

征，利用橢圓定義合理轉(zhuǎn)化，則可得到如下簡解。

解：(1)顯然點A在橢圓內(nèi)部，由橢圓第二定義可得：B到橢圓左準

d=-IBFI|ABk--|BF|=|AB|+d

線/的距離31I所以?111,結(jié)合平面幾何知識，可

_573

知，當(dāng)AB_L/時，|AB%d最小，此時易求B點坐標(biāo)為2)

(2)設(shè)橢圓的左焦點為F”，由平面幾何知識，得IMP閆MFHPF|,

當(dāng)且僅當(dāng)M為線段F”P的延長線與橢圓交點時取等號。

所以|MP|+|MF閆MFHPFW|MF|=4-|PF|=4-有

所以|MPW|MF|的最小值為4-反

五.求軌跡方程

例6.已知橢圓的焦點是Fi、F2,P是橢圓上一個動點，如果延長BP

至UQ，使得IPQITPFzl,那么動點Q的軌跡是()

A.圓B.橢圓C.雙曲線一支D.拋物線

解：因為IPQHPFzl,所以IQFiHPQMPFiHPF#|PFii

由橢圓第一定義得|PFF|P，l=2a,故|QF1|=2a,即Q點軌跡是以R為

圓心，以2a為半徑的圓，選A。

六.求焦點三角形的面積

=l(a>b>0)

例7.已知點P是橢圓a?b2上的一點，F(xiàn)i、F2是兩個焦

點，且NFFF2=a,求△F1PF2的面積S。

解：△PFF2中，由余弦定理，得

IF同”|PF『+|P瑪p-2|PF；||PFj8sa=(|PFMPFjy-2|PFi||PFja+8sa)

2b,

IPFJIPF.H-------

所以1+COSdJ

2

c1inT7nnirI-bsina心.a

M$皿4&=3|PFj|PFjsina=------=btan—

故I"21+cosa2

七.求離心率

x2y2

:+\=l(a>b>0)

例8.已知P是橢圓a?b2上一點，F(xiàn)i、F2是橢圓的左、

右焦點若NPFF2=a,NPF2B=P,求橢圓離心率。

解：△PF1F2中，由正弦定理有

|PFJ|PF?|下同

sin/sinasin[4一(a+劫]

一IPFMPF/田同

■f"..—?.，

sina+sin尸sin(a+ff)

2a2c

=>------：—=-----

sina+sin/sin(a+0)

csin(a+吩

=e=—=------：--

asina+sin尸

A.求離心率取值范圍

x2y2

二+0=l(a>b>0)

例9.&、Fz是橢圓a?b2的兩個焦點，若橢圓上存在點

P使得/FFF2=120°,求橢圓離心率的取值范圍。

解：由同例8得