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PAGEPAGE1考點(diǎn)07二次函數(shù)與冪函數(shù)1.(2024·浙江卷)若函數(shù)f(x)=x2+ax+b在區(qū)間[0,1]上的最大值是M,最小值是m,則M-m()A.與a有關(guān),且與b有關(guān)B.與a有關(guān),但與b無關(guān)C.與a無關(guān),且與b無關(guān)D.與a無關(guān),但與b有關(guān)【答案】B【解析】設(shè)x1,x2分別是函數(shù)f(x)在[0,1]上的最小值點(diǎn)與最大值點(diǎn),則m=xeq\o\al(2,1)+ax1+b,M=xeq\o\al(2,2)+ax2+b.∴M-m=xeq\o\al(2,2)-xeq\o\al(2,1)+a(x2-x1),明顯此值與a有關(guān),與b無關(guān).故選B.2.函數(shù)在區(qū)間的最大值是()A.0B.C.D.1【答案】C【解析】y=log(x2﹣6x+10),可令t=x2﹣6x+10,對(duì)稱軸為x=3,函數(shù)t在[1,2]遞減,且y=logt在(0,+∞)遞減,可得y=log(x2﹣6x+10)在[1,2]遞增,可得x=2時(shí),函數(shù)y取得最大值log(22﹣12+10)=﹣log32,故選:C.3.已知函數(shù)在R上是減函數(shù),則的取值范圍是A.B.C.D.【答案】B【解析】由f(x)=ax3+3x2﹣x+2,得到=3ax2+6x﹣1,因?yàn)楹瘮?shù)在R上是減函數(shù),所以=3ax2+6x﹣1≤0恒成立,所以,由△=36+12a≤0,解得a≤﹣3,則a的取值范圍是(﹣∞,﹣3].故答案為:B.4.,若方程f(x)=x無實(shí)根,則方程f(f(x))=x()A.有四個(gè)相異實(shí)根B.有兩個(gè)相異實(shí)根C.有一個(gè)實(shí)根D.無實(shí)數(shù)根【答案】D【解析】∵f(x)=ax2+bx+c(a≠0)
方程f(x)=x即f(x)-x=ax2+(b-1)x+c=0無實(shí)根,f(x)-x仍是二次函數(shù),f(x)-x=0仍是二次方程,且無實(shí)根,∴△<0.
若a>0,則函數(shù)y=f(x)-x的圖象在x軸上方,∴y>0,即f(x)-x>0恒成立,即:f(x)>x對(duì)隨意實(shí)數(shù)x恒成立.
∴對(duì)f(x),有f(f(x))>f(x)>x恒成立,∴f(f(x))=x無實(shí)根.故選D.5.函數(shù)的值域?yàn)锳.B.C.D.【答案】D【解析】設(shè)μ=﹣x2﹣6x﹣5(μ≥0),則原函數(shù)可化為y=.又∵μ=﹣x2﹣6x﹣5=﹣(x+3)2+4≤4,∴0≤μ≤4,故∈[0,2],∴y=的值域?yàn)閇0,2].故選:D.6.平行四邊形中,點(diǎn)在邊上,則的最大值為A.2B.C.0D.【答案】A【解析】∵平行四邊形ABCD中,AB=2,AD=1,,點(diǎn)M在邊CD上,∴=﹣1,cos∠A=﹣1,∴cosA=﹣,∴A=120°,以A為原點(diǎn),以AB所在的直線為x軸,以AB的垂線為y軸,建立如圖所示的坐標(biāo)系,∴A(0,0),B(2,0),D(﹣,),設(shè)M(x,),則﹣≤x≤,∴=(﹣x,﹣),=(2﹣x,﹣),∴=x(x﹣2)+=x2﹣2x+=(x﹣1)2﹣,設(shè)f(x)=(x﹣1)2﹣,則f(x)在[﹣,1)上單調(diào)遞減,在[1,]上單調(diào)遞增,∴f(x)min=f(1)=﹣,f(x)max=f(﹣)=2,則的最大值是2,故答案為:A7.中國古代名詞“芻童”原來是草堆的意思,關(guān)于“芻童”體積計(jì)算的描述,《九章算術(shù)》注曰:“倍上袤,下袤從之。亦倍下袤,上袤從之。各以其廣乘之,并以高乘之,皆六而一。”其計(jì)算方法是:將上底面的長乘二,與下底面的長相加,再與上底面的寬相乘;將下底面的長乘二,與上底面的長相加,再與下底面的寬相乘;把這兩個(gè)數(shù)值相加,與高相乘,再取其六分之一。已知一個(gè)“芻童”的下底面是周長為18的矩形,上底面矩形的長為3,寬為2,“芻童”的高為3,則該“芻童”的體積的最大值為A.B.C.39D.【答案】D【解析】設(shè)下底面的長寬分別為,有則“芻童”的體積為,當(dāng)時(shí),“芻童”的體積取最大值,選D.8.在區(qū)間上任取一個(gè)數(shù),則函數(shù)在上的最大值是的概率為()A.B.C.D.【答案】A【解析】在區(qū)間[﹣2,2]上任取一個(gè)數(shù)a,基本領(lǐng)件空間對(duì)應(yīng)區(qū)間的長度是4,由y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,x∈[0,4],得y∈[﹣1,3],∴﹣1﹣a≤x2﹣4x+3﹣a≤3﹣a,∴|x2﹣4x+3﹣a|的最大值是|3﹣a|或|﹣1﹣a|,即最大值是|3﹣a|或|1+a|;令|3﹣a|≥|1+a|,得(3﹣a)2≥(1+a)2,解得a≤1;又a∈[﹣2,2],∴﹣2≤a≤1;∴當(dāng)a∈[﹣2,1]時(shí),|3﹣a|=3﹣a,∴f(x)=|x2﹣4x+3﹣a|+a在x∈[0,4]上的最大值是3﹣a+a=3,滿意題意;當(dāng)a∈(1,2]時(shí),|1+a|=a+1,函數(shù)f(x)=|x2﹣4x+3﹣a|+a在x∈[0,4]上的最大值是2a+1,由1<a≤2,得3<2a+1≤5,f(x)的最大值不是3.則所求的概率為P=.故答案為:A.9.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,且a>b>c,a+b+c=0,集合A={m|f(m)<0},則()A.?m∈A,都有f(m+3)>0B.?m∈A,都有f(m+3)<0C.?m0∈A,使得f(m0+3)=0D.?m0∈A,使得f(m0+3)<0【答案】A【解析】由a>b>c,a+b+c=0可知a>0,c<0,且f(1)=0,f(0)=c<0,即1是方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根,當(dāng)x>1時(shí),f(x)>0.由a>b,得1>eq\f(b,a),設(shè)方程ax2+bx+c=0的另一個(gè)根為x1,則x1+1=-eq\f(b,a)>-1,即x1>-2,由f(m)<0可得-2<m<1,所以1<m+3<4,由拋物線圖象可知,f(m+3)>0,選A.10.已知函數(shù),對(duì)隨意不等實(shí)數(shù),不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A.B.C.D.【答案】D【解析】對(duì)隨意兩個(gè)不等的實(shí)數(shù),都有不等式恒成立,
則當(dāng)時(shí),恒成立,即在上恒成立,
則故選D.11.二次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為,對(duì)一切,,又,則的最小值是()A.B.C.D.【答案】A【解析】∵f(x)=ax2+bx+c,∴f′(x)=2ax+b,f′(0)=b>0,∵對(duì)隨意實(shí)數(shù)x都有f(x)≥0,∴a>0,c>0,b2-4ac≤0即而,故答案為:A.12.已知函數(shù)f(x)=tx,g(x)=(2-t)x2-4x+1.若對(duì)于隨意實(shí)數(shù)x,f(x)與g(x)中至少有一個(gè)為正數(shù),則實(shí)數(shù)t的取值范圍是()A.(-∞,-2)∪(0,2] B.(-2,2]C.(-∞,-2) D.(0,+∞)【答案】A【解析】對(duì)于(2-t)x2-4x+1=0,Δ=16-4(2-t)×1=8+4t.當(dāng)t=0時(shí),f(x)=0,Δ>0,g(x)有正有負(fù),不符合題意,故解除B;當(dāng)t=2時(shí),f(x)=2x,g(x)=-4x+1,符合題意,故解除C;當(dāng)t>2時(shí),f(x)=tx,g(x)=(2-t)x2-4x+1,當(dāng)x趨近于-∞時(shí),f(x)與g(x)都為負(fù)值,不符合題意,故解除D,選A.13.已知拋物線的焦點(diǎn)為,點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn),,,且的最小值為,則等于A.4B.C.5D.【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn),則.∴,∴當(dāng)時(shí),有最小值,且最小值為.由題意得,整理得,解得或.又,∴,∴點(diǎn)B坐標(biāo)為.∴由拋物線的定義可得.故選B.14.已知a是實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=2ax2+2x-3在x∈[-1,1]上恒小于零,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-∞,\f(1,2)))【解析】由題意知2ax2+2x-3<0在[-1,1]上恒成立.當(dāng)x=0時(shí),-3<0,符合題意;當(dāng)x≠0時(shí),a<eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)-\f(1,3)))eq\s\up12(2)-eq\f(1,6),因?yàn)閑q\f(1,x)∈(-∞,-1]∪[1,+∞),所以當(dāng)x=1時(shí),右邊取最小值eq\f(1,2),所以a<eq\f(1,2).綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-∞,\f(1,2))).15.已知函數(shù),則該函數(shù)的最小值是________.【答案】2【解析】設(shè),則,此時(shí),當(dāng)時(shí),即,函數(shù)取得最小值,此時(shí)最小值為.16.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+2x+c(x∈R)的值域?yàn)閇0,+∞),則的最小值為_____.【答案】4【解析】由題意知,
則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).
∴的最小值為4.17.已知關(guān)于x的不等式>0在[1,2]上恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為___________【答案】【解析】①當(dāng)時(shí),函數(shù)外層單調(diào)遞減,內(nèi)層二次函數(shù):當(dāng),即時(shí),二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,函數(shù)單調(diào)遞減,,解得:;當(dāng),即時(shí),無意義;當(dāng),,即時(shí),二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)先遞減后遞增,函數(shù)先遞增后遞減,則需,無解;當(dāng),即時(shí),二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,函數(shù)單調(diào)遞增,,無解.②當(dāng)時(shí),函數(shù)外層單調(diào)遞增,,二次函數(shù)單調(diào)遞增,函數(shù)單調(diào)遞增,所以,解得:.綜上所述:或.18.設(shè)函數(shù),若,,則對(duì)隨意的實(shí)數(shù),的最小值為_________________.【答案】10【解析】作出的圖象,如圖,由且得,即,其中,如圖圓,易知點(diǎn)在劣弧上,記,則表示點(diǎn)到射線上點(diǎn)的距離的平方,從圖中可知最小值為點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方,即.19.已知實(shí)數(shù),且滿意,則的取值范圍是__________.【答案】【解析】又,,設(shè),a,b是方程的兩個(gè)實(shí)根.,①存在時(shí),使,,,即.②存在時(shí),使,,,即..故答案為:.20.已知函數(shù)f(x)=x2-2tx+1,在區(qū)間[2,5]上單調(diào)且有最大值為8,則實(shí)數(shù)t的值為________.【答案】eq\f(9,5)【解析】函數(shù)f(x)=x2-2tx+1圖象的對(duì)稱軸是x=t,函數(shù)在區(qū)間[2,5]上單調(diào),故t≤2或t≥5.若t≤2,則函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,5]上是增函數(shù),故f(x)max=f(5)=25-10t+1=8,解得t=eq\f(9,5);若t≥5,函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,5]上是減函數(shù),此時(shí)f(x)max=f(2)=4-4t+1=8,解得t=-eq\f(3,4),與t≥5沖突.綜上所述,t=eq\f(9,5).21.已知函數(shù)f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a>0),對(duì)隨意的x1∈[-1,2]都存在x0∈[-1,2],使得g(x1)=f(x0),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.【答案】eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(1,2)))【解析】當(dāng)x0∈[-1,2]時(shí),由f(x)=x2-2x得f(x0)∈[-1,3],又對(duì)隨意的x1∈[-1,2]都存在x0∈[-1,2],使得g(x1)=f(x0),所以當(dāng)x1∈[-1,2]時(shí),g(x1)∈[-1,3].當(dāng)a>0時(shí),eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(-a+2≥-1,,2a+2≤3,))解得a≤eq\f(1,2).綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(1,2))).22.設(shè)正實(shí)數(shù)滿意,則的最小值是__________.【答案】【解析】正實(shí)數(shù)滿意,化為,由于關(guān)于的方程有正實(shí)數(shù)根,,解得因此實(shí)數(shù)y的最小值為.故答案為:.23.已知函數(shù)的最小值為,則實(shí)數(shù)的取值集合為__________.【答案】.【解析】①若,即時(shí),則,∴在上單調(diào)遞減,最小值為;在上的最小值為.∵函數(shù)最小值為,∴.②當(dāng),即時(shí),則,∴在上上先減后增,最小值為;在上的最小值為.∵函數(shù)最小值為,∴,解得,不合題意,舍去.③當(dāng),即時(shí),則,∴在上上先減后增,最小值為;在上的最小值為.∵函數(shù)最小值為,∴,解得或(舍去).綜上可得或,∴實(shí)數(shù)的取值集合為.24.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0,b∈R,c∈R).(1)若函數(shù)f(x)的最小值是f(-1)=0,且c=1,F(xiàn)(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f(x),x>0,,-f(x),x<0,))求F(2)+F(-2)的值;(2)若a=1,c=0,且|f(x)|≤1在區(qū)間(0,1]上恒成立,試求b的取值范圍.【答案】(1)8(2)[-2,0]【解析】(1)由已知c=1,a-b+c=0,且-eq\f(b,2a)=-1,解得a=1,b=2,∴f(x)=(x+1)2.∴F(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1((x+1)2,x>0,,-(x+1)2,x<0.))
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