13/13《推理與證明》章末達標測評(滿分：150分；時間：120分鐘）一、選擇題（每小題5分，共60分）1.由得到用的是（）A.歸納推理B.演繹推理C.類比推理D.特殊推理2.在分別為的中點，則有這個推理的大前提為（）A.三角形的中位線平行于第三邊B.三角形的中位線等于第三邊的一半C.為中位線D.3.對大于或等于的自然數的正整數冪有如下分解方式：根據上述分解規律，若的分解式中最小的正整數是，則等于（）A.10B.llC.12D.134.用反證法證明命題“是無理數”時，假設正確的是()A.假設是有理數B.假設是有理數C.假設或是有理數D.假設是有理數5.已知是的導函數，即則()A.B.C.D.6.已知猜想的表達式為（）A.B.C.D.7.已知且則不能等于（）A.B.C.D.8.對“是不全相等的正數”，給出下列判斷：①；②與及中至少有一個成立；③不能同時成立.其中正確的個數為（）A.OB.lC.2D.39.若下列三個方程中至少有一個方程有實數解，則實數的取值范圍為（）A.B.C.D.10.數列滿足則等于（）A.B.C.D.11.黑白兩種顏色的正六邊形地板磚按如圖所示的規律拼成若干個圖案，則第個圖案中白色地板磚的塊數是（）A.B.C.D.12.定義在上的函數滿足且在上為增函數.已知且則的值（）A.恒小于0B.恒大于0C.可能等于0D.可正也可負二、填空題（每小題5分，共20分）13.經計算得推測當時，有_____.14.觀察下列等式：照此規律，第個等式為_____.15.在平面幾何中，的內角平分線分所成線段的比為，如圖(1).把這個結論類比到空間：在三棱錐中（如圖(2)所示），平面平分二面角且與相交于點，則得到的結論是_____.16.已知點在拋物線上,過點作兩條直線分別交拋物線于點，直線的斜率分別為，若直線過點，則.三、解答題（共70分）17.(10分)能否為同一等差數列中的三項？說明理由.18.(12分)已知中，.求證：19.(12分)已知是互不相等的非零實數.求證三個方程中至少有一個方程有兩個相異實根.20.(12分)設向量.(1)若與垂直，求的值；(2)求的最大值；(3)若,求證:.21.(12分)如圖，四棱錐中，四邊形為正方形，平面,,點分別為的中點.(1)證明:平面；(2)求點到平面的距離.22.(12分)已知拋物線的焦點為，過且傾斜角為的直線被截得的線段長為8.(1)求拋物線的方程；(2)已知點是拋物線上的動點，以為圓心的圓過,且圓與直線相交于兩點,求的取值范圍.

參考答案一、選擇題1.答案：A解析：結合歸納推理的概念易知選A.2.答案：A解析：這個推理的三段論的形式是：大前提：三角形的中位線平行于第三邊；小前提：為的中位線；結論:.3.答案：B的分解式中最小的正整數是21，.4.答案：D解析：應對結論進行否定，假設不是無理數，是有理數.5.答案：D解析：可知是以4為周期的函數，故選D.6.答案：B解析：當時，，當時，，當時故可猜想，故選B.7.答案：C解析：,令,令，A、D不符合題意；又B不符合題意，故選C.8.答案：B解析：若，則，與“是不全相等的正數”矛盾，故①正確.與及中最多只能有一個成立，故②不正確.由于“是不全相等的正數”，有兩種情形：至多有兩個數相等或三個數都互不相等，故③不正確.9.答案：D解析：三個方程都無實數解等價于解得.取集合的補集，得三個方程至少有一個方程有實數解的實數的取值范圍為.10.答案：B解析：11.答案：A解析：解法一（歸納猜想法）觀察可知:除第一個以外，每增加1個黑色地板磚，相應的白地板磚就增加4個，因此第個圖案中白色地板磚的塊數是“以6為首項，公差是4的等差數列的第項”.故第個圖案中白色地板磚的塊數是.解法二（特殊值代入排除法）由圖可知，當時，白色地板磚的塊數是6，可排除B選項；當時，白色地板磚的塊數是10，可排除C、D選項.故選A.12.答案：A解析：不妨設則，即，從而.二、填空題13.答案：見解析解析：觀測中的規律為不等式右側為14.答案：見解析解析：由已知的三個等式左邊的變化規律，得第個等式左邊為，由已知的三個等式右邊的變化規律，得第個等式右邊為與個奇數之積，即.15.答案：見解析解析：平分，而平面平分二面角.可類比成，故結論為16.答案:見解析解析：易知直線的斜率存在，設直線的斜率為，則過點的直線的方程為,由消去，整理得設，則三、解答題17.答案：見解析解析：不能，理由如下：假設能為同一等差數列中的三項，但不一定是連續的三項，設公差為，則為兩個正整數，消去得.為有理數，為無理數，假設不成立，即不可能為同一等差數列中的三項.18.答案：見解析解析：證明：要證只需證即證.由正弦定理，只需證.即證,即證，即證，即，顯然成立.成立.19.答案：見解析解析：證明（反證法）：假設三個方程都沒有兩個相異實根，則二式相加得即.①由題意互不相等，①式不能成立.假設不成立，即三個方程中至少有一個方程有兩個相異實根.20.答案：見解析解析：(1)與垂直，,即即，(2)，其最大值為32，所以的最大值為.(3)證明：由，得，即所以.21.答案：見解析解析：(1)證明：取的中點，連結，則，且，且且四邊形為平行四邊形，,又平面平面.(2)由(1)知平面點到平面的距離與點到平面的距離相等，故轉化為求點到平面的距離，設為.連結