江蘇省泰州市靖江高級中學20232024學年高二上學期期中數學試卷一、選擇題（每題1分，共5分）1.已知函數\(f(x)=2x^23x+1\)，其對稱軸為\(x=\)（）A.1B.1C.\(\frac{3}{4}\)D.\(\frac{1}{2}\)2.在直角坐標系中，點\(P(2,3)\)關于直線\(y=x\)的對稱點坐標為（）A.(3,2)B.(2,3)C.(3,2)D.(2,3)3.已知復數\(z=3+4i\)，則其共軛復數\(\overline{z}\)為（）A.34iB.3+4iC.34iD.3+4i4.設\(\alpha\)是銳角，若\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，則\(\cos\alpha\)的值為（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(\frac{3}{4}\)5.已知向量\(\vec{a}=(2,3)\)，\(\vec{b}=(4,1)\)，則\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)的值為（）A.5B.5C.10D.10二、判斷題（每題1分，共5分）1.函數\(y=x^3\)在\(x>0\)時單調遞增。（）2.平行四邊形的對角線互相垂直，則該平行四邊形一定是菱形。（）3.當\(a>b\)時，\(\log_2a>\log_2b\)。（）4.對于任意實數\(x\)，函數\(y=\sqrt{x^2}\)的值域為\([0,+\infty)\)。（）5.若\(\tan\alpha=1\)，則\(\alpha\)的值為\(45^\circ\)。（）三、填空題（每題1分，共5分）1.函數\(y=2x1\)的圖像是經過點\((0,1)\)的______直線。2.已知\(\cos\theta=\frac{1}{2}\)，且\(\theta\)在第二象限，則\(\sin\theta=\)______。3.若\(a^2+b^2=25\)且\(ab=10\)，則\(ab\)的值為______。4.向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(2,1)\)，則\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的夾角余弦值為______。5.已知等差數列\(\{a_n\}\)的前\(n\)項和為\(S_n=\frac{n(2n+1)}{2}\)，則該數列的通項公式為______。四、簡答題（每題2分，共10分）1.已知\(f(x)=x^24x+3\)，求\(f(x)\)的極值。2.已知直線\(l:2x3y+1=0\)和圓\(C:(x1)^2+(y+2)^2=25\)，求直線\(l\)與圓\(C\)的交點坐標。3.設\(\vec{a}=(3,2)\)，\(\vec{b}=(1,4)\)，求向量\(\vec{a}+\vec{b}\)的坐標。4.已知\(\log_28=3\)，求\(\log_216\)的值。5.已知等差數列\(\{a_n\}\)的首項為2，公差為3，求該數列的前5項和。五、應用題（每題2分，共10分）1.某工廠生產某種產品，每件成本為20元，售價為50元。若每天生產\(x\)件，則利潤為\(y\)元。求\(y\)關于\(x\)的函數關系式。2.已知\(\cos\theta=\frac{1}{2}\)，求\(\sin2\theta\)的值。3.某商店銷售兩種商品，甲商品每件利潤為5元，乙商品每件利潤為10元。若商店每天銷售甲商品\(x\)件，乙商品\(y\)件，則總利潤為\(z\)元。求\(z\)關于\(x\)和\(y\)的函數關系式。4.已知等差數列\(\{a_n\}\)的前\(n\)項和為\(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\)，求該數列的通項公式。5.已知向量\(\vec{a}=(2,3)\)，\(\vec{b}=(4,1)\)，求向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的夾角。六、分析題（每題5分，共10分）1.已知函數\(f(x)=x^33x^2+2x\)，分析該函數的單調性。2.已知圓\(C:(x2)^2+(y3)^2=16\)，直線\(l:y=mx+1\)與圓\(C\)相切，求實數\(m\)的值。七、實踐操作題（每題5分，共10分）1.在平面直角坐標系中，已知點\(A(1,2)\)，\(B(3,4)\)，\(C(5,2)\)。求證：三角形\(ABC\)是等腰三角形。2.已知向量\(\vec{a}=(2,3)\)，\(\vec{b}=(4,1)\)，求向量\(\vec{a}\)在\(\vec{b}\)上的投影長度。答案解析1.選擇題1.C2.A3.A4.A5.B2.判斷題1.正確2.錯誤3.正確4.正確5.錯誤3.填空題1.下降2.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)3.\(\pm5\)4.\(\frac{4}{5}\)5.\(a_n=2n1\)4.簡答題1.極小值\(f(1)=0\)，極大值\(f(2)=2\)。2.解方程組\(\begin{cases}2x3y+1=0\\(x1)^2+(y+2)^2=25\end{cases}\)得交點坐標。3.\(\vec{a}+\vec{b}=(4,2)\)。4.\(\log_216=4\)。5.\(S_5=35\)。5.應用題1.\(y=30x20x\)。2.\(\sin2\theta=\frac{3}{4}\)。3.\(z=5x+10y\)。4.\(a_n=n\)。5.夾角為\(60^\circ\)。6.分析題1.\(f(x)\)在\(x<1\)時單調遞增，在\(x>1\)時單調遞減。2.\(m=\pm\frac{4}{3}\)。7.實踐操作題1.證明\(AB=BC\)。2.投影長度為\(\frac{6}{5}\)。八、專業設計題（每題2分，共10分）1.設計題1：已知二次函數\(f(x)=ax^2+bx+c\)的頂點坐標為\((1,4)\)，且\(f(0)=3\)。請寫出該函數的解析式，并繪制其圖像。2.設計題2：設計一個關于等差數列的數學實驗，通過實驗探究等差數列前\(n\)項和公式\(S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)\)的正確性。3.設計題3：給定函數\(g(x)=\frac{1}{x^24}\)，請設計一個程序（不使用代碼），用于計算當\(x\)從10到10時，函數值的變化情況，并繪制其圖像。4.設計題4：設計一個數學游戲，利用概率論的基本知識，讓玩家通過投擲骰子決定勝負。請詳細描述游戲規則及計算勝負概率的公式。5.設計題5：設計一個關于空間幾何的模型，通過模型展示三棱錐的表面積和體積的計算過程。九、概念解釋題（每題2分，共10分）1.解釋題1：請解釋“等差數列”的定義及其通項公式。2.解釋題2：請解釋“三角函數”的定義，并舉例說明正弦函數和余弦函數的基本性質。3.解釋題3：請解釋“函數的單調性”的定義，并舉例說明單調遞增和單調遞減的函數。4.解釋題4：請解釋“排列組合”的定義，并舉例說明排列與組合的區別。5.解釋題5：請解釋“概率”的定義，并舉例說明古典概型中的概率計算方法。十、思考題（每題2分，共10分）1.思考題1：已知函數\(f(x)=x^33x+2\)，請思考如何通過導數判斷其單調性。2.思考題2：請思考如何利用三角函數公式證明\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)。3.思考題3：請思考如何利用數列的性質解決實際問題，例如計算貸款的等額本息還款計劃。4.思考題4：請思考如何通過數學建模解決生活中的優化問題，例如最短路徑問題。5.思考題5：請思考如何利用概率論解釋天氣預報中“降水概率”的含義。十一、社會擴展題（每題3分，共15