第二章函數(shù)的概念與性質(zhì)第10課時(shí)函數(shù)模型的應(yīng)用[考試要求]

1．了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長(zhǎng)速度的差異．2．理解“指數(shù)爆炸”“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”“直線上升”等術(shù)語的含義．3．會(huì)選擇合適的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實(shí)問題的變化規(guī)律，了解函數(shù)模型在社會(huì)生活中的廣泛應(yīng)用．鏈接教材·夯基固本1．指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)的比較函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)______單調(diào)______單調(diào)遞增增長(zhǎng)速度越來______越來______相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與_____平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與_____平行隨n值變化而各有不同遞增遞增越快越慢y軸x軸2．幾種常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)與對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)的模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)與冪函數(shù)相關(guān)的模型f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數(shù)，a≠0)

一、易錯(cuò)易混辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)函數(shù)y＝2x的函數(shù)值比y＝x2的函數(shù)值大． (

)(2)在(0，＋∞)上，隨著x的增大，y＝ax(a＞1)的增長(zhǎng)速度會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y＝xa(a＞1)的增長(zhǎng)速度． (

)(3)“指數(shù)爆炸”是指數(shù)型函數(shù)y＝a·bx＋c(a≠0，b＞0且b≠1)增長(zhǎng)速度越來越快的形象比喻．

(

)×√×√二、教材經(jīng)典衍生1．(人教A版必修第一冊(cè)P138探究改編)當(dāng)x越來越大時(shí)，下列函數(shù)中增長(zhǎng)速度最快的是(

)A．y＝2x

B．y＝lgxC．y＝x2 D．y＝2xD

[結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可知，幾種函數(shù)模型中，指數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度最快．]2．(人教A版必修第一冊(cè)P148例3改編)根據(jù)一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)畫出的散點(diǎn)圖如圖所示．現(xiàn)有如下4個(gè)模擬函數(shù)：①y＝0.6x－0.12；②y＝2x－2.02；③y＝x2－5.4x＋6；④y＝log2x.請(qǐng)從中選擇一個(gè)模擬函數(shù)，使它能近似地反映這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，應(yīng)選________(填序號(hào))．④

④

[由題圖可知，上述點(diǎn)大體在函數(shù)y＝log2x的圖象上，故選擇y＝log2x可以近似地反映這些數(shù)據(jù)的規(guī)律．]

150690

4．(人教A版必修第一冊(cè)P72練習(xí)T2改編)某城市客運(yùn)公司確定客運(yùn)票價(jià)格的方法是：如果行程不超過100km，票價(jià)是0.5元/km，如果超過100km，超過100km的部分按0.4元/km定價(jià)，則客運(yùn)票價(jià)y(單位：元)與行駛千米數(shù)x(單位：km)之間的函數(shù)解析式是__________________________．

典例精研·核心考點(diǎn)A

BC

D√

√

名師點(diǎn)評(píng)

判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問題變化過程是否吻合的兩種方法(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意容易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖象．(2)驗(yàn)證法：根據(jù)實(shí)際問題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn)，結(jié)合圖象的變化趨勢(shì)，驗(yàn)證是否吻合，從中排除不符合實(shí)際的情況，選出符合實(shí)際的情況．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(2025·廣東佛山模擬)如圖，點(diǎn)P在邊長(zhǎng)為1的正方形邊上運(yùn)動(dòng)，M是CD的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P沿A-B-C-M運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P經(jīng)過的路程x與△APM的面積y的函數(shù)y＝f(x)的圖象的形狀大致是(

)A

BC

D√

考點(diǎn)二已知函數(shù)模型的實(shí)際問題[典例2]

(2025·河北滄州模擬)某企業(yè)的廢水治理小組積極探索改良工藝，致力于使排放的廢水中含有的污染物數(shù)量逐漸減少．已知改良工藝前排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為2.25g/m3，首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為2.21g/m3，第n次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量rn滿足函數(shù)模型rn＝r0＋(r1－r0)·30.25n＋t(t∈R，n∈N*)，其中r0為改良工藝前排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，r1為首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，n為改良工藝的次數(shù)．假設(shè)廢水中含有的污染物數(shù)量不超過0.65g/m3時(shí)符合廢水排放標(biāo)準(zhǔn)，若該企業(yè)排放的廢水符合排放標(biāo)準(zhǔn)，則改良工藝的次數(shù)最少為(

)(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.30，lg3≈0.48)A．12B．13C．14D．15√

名師點(diǎn)評(píng)

已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題的關(guān)鍵(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)．(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)．(3)利用該函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實(shí)際問題，并進(jìn)行檢驗(yàn)．

√

【教用·備選題】1．英國(guó)物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家牛頓曾提出物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型．如果物體的初始溫度是θ1，環(huán)境溫度是θ0，則經(jīng)過tmin物體的溫度θ將滿足θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt，其中k是一個(gè)隨著物體與空氣的接觸情況而定的正常數(shù)．現(xiàn)有90℃的物體，若放在10℃的空氣中冷卻，經(jīng)過10min物體的溫度為50℃，則若使物體的溫度為20℃，需要冷卻(

)A．17.5min

B．25.5minC．30min D．32.5min√

2．住房的許多建材都會(huì)釋放甲醛．甲醛是一種無色、有著刺激性氣味的氣體，對(duì)人體健康有著極大的危害．新房入住時(shí)，空氣中甲醛濃度不能超過0.08mg/m3，否則，該新房達(dá)不到安全入住的標(biāo)準(zhǔn)．若某套住房自裝修完成后，通風(fēng)x(x＝1，2，3，…，50)周與室內(nèi)甲醛濃度y(單位：mg/m3)之間近似滿足函數(shù)解析式y(tǒng)＝0.48－0.1f

(x)(x∈N*)，其中f(x)＝loga[k(x2＋2x＋1)](k>0，x＝1，2，3，…，50)，且f(2)＝2，f(8)＝3，則該住房裝修完成后要達(dá)到安全入住的標(biāo)準(zhǔn)，至少需要通風(fēng)(

)A．17周B．24周C．28周D．26周√

√

名師點(diǎn)評(píng)

構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題時(shí)需注意以下四個(gè)步驟

根據(jù)如圖所示的標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)視力表中的數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是(

)(參考數(shù)據(jù)：10-0.2≈0.6，10-0.15≈0.7，10-0.1≈0.8，10-0.05≈0.9)A．選擇函數(shù)模型①B．選擇函數(shù)模型②C．小明去檢查視力，醫(yī)生告訴他視力為5.0，則小明視力的小數(shù)記錄數(shù)據(jù)為0.9D．小明去檢查視力，醫(yī)生告訴他視力為4.9，則小明視力的小數(shù)記錄數(shù)據(jù)為0.8√√

一、單項(xiàng)選擇題1．在某種新型材料的研制中，實(shí)驗(yàn)人員獲得了下列一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個(gè)函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是(

)1題號(hào)234567891011課后作業(yè)(十六)函數(shù)模型的應(yīng)用x1.992345.156.126y1.5174.04187.51218.01

1題號(hào)234567891011√B

[由題表可知函數(shù)單調(diào)遞增，且y的變化隨x的增大而增大得越來越快，分析選項(xiàng)可知B符合．故選B.]2．(2024·湖南長(zhǎng)沙三模)地震震級(jí)通常是用來衡量地震釋放能量大小的數(shù)值，里氏震級(jí)最早是由查爾斯·里克特提出的，其計(jì)算基于地震波的振幅，計(jì)算公式為M＝lgA－lgA0，其中M表示某地地震的里氏震級(jí)，A表示該地地震臺(tái)測(cè)振儀記錄的地震波的最大振幅，A0表示這次地震中的標(biāo)準(zhǔn)地震振幅．假設(shè)在一次地震中，某地地震臺(tái)測(cè)振儀記錄的地震波的最大振幅為5000，且這次地震的標(biāo)準(zhǔn)地震振幅為0.002，則該地這次地震的里氏震級(jí)約為(

)(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3)A．6.3級(jí) B．6.4級(jí)C．7.4級(jí) D．7.6級(jí)√1題號(hào)234567891011

1題號(hào)2345678910113．酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為．為了保障交通安全，根據(jù)國(guó)家有關(guān)規(guī)定：100mL血液中酒精含量達(dá)到20～79mg的駕駛員即為酒后駕車，80mg及以上認(rèn)定為醉酒駕車．假設(shè)某駕駛員喝了一定量酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量會(huì)以每小時(shí)20%的速度減少，那他至少經(jīng)過幾小時(shí)后才能駕駛汽車？(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.301)(

)A．5B．6C．7D．8√1題號(hào)234567891011

1題號(hào)234567891011

√1題號(hào)234567891011

1題號(hào)234567891011

√1題號(hào)234567891011

1題號(hào)234567891011

√1題號(hào)234567891011

1題號(hào)234567891011

√1題號(hào)234567891011√

1題號(hào)234567891011

1題號(hào)234567891011聲源與聲源的距離/m聲壓級(jí)/dB燃油汽車1060～90混合動(dòng)力汽車1050～60電動(dòng)汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動(dòng)力汽車、電動(dòng)汽車10m處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為p1，p2，p3，則(

)A．p1≥p2 B．p2>10p3C．p3＝100p0 D．p1≤100p2√1題號(hào)234567891011√√

1題號(hào)234567891011三、填空題9．為了保護(hù)水資源，提倡節(jié)約用水，某城市對(duì)居民實(shí)行“階梯水價(jià)”，計(jì)費(fèi)方法如表所示．1題號(hào)234567891011每戶每月用水量水價(jià)不超過12m3的部分3元/m3超過12m3但不超過18m3的部分6元/m3超過18m3的部分9元/m3若某戶居民本月繳納的水費(fèi)為54元，則此戶居民的用水量為________m3.1515

[設(shè)此戶居民本月用水量為xm3，繳納的水費(fèi)為y元，則當(dāng)x∈[0，12]時(shí)，y＝3x≤36元，不符合題意；當(dāng)x∈(12，18]時(shí)，y＝12×3＋(x－12)×6＝6x－36，令6x－36＝54，解得x＝15，符合題意；當(dāng)x∈(18，＋∞)時(shí)，y＝12×3＋6×6＋(x－18)×9＝9x－90>72，不符合題意．綜上所述，此戶居民本月用水量為15m3.]1題號(hào)23456789101110．當(dāng)生物死亡后，其體內(nèi)原有的碳14的含量大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”．當(dāng)死亡生物體內(nèi)的碳14含量不足死亡前的千分之一時(shí)，用一般的放射性探測(cè)器就測(cè)不到了．若某死亡生物體內(nèi)的碳14用一般的放射性探測(cè)器探測(cè)不到，則它至少要經(jīng)過________個(gè)“半衰期”．1題號(hào)23456789