PAGE1-2.3.2平面與平面垂直的判定1.下列說法中,正確的是(B)(A)垂直于同始終線的兩條直線相互平行(B)平行于同一平面的兩個平面平行(C)垂直于同一平面的兩個平面相互平行(D)平行于同一平面的兩條直線相互平行解析:A.垂直于同始終線的兩條直線可能平行、相交或異面.B.正確.C.垂直于同一平面的兩個平面可能相交、也可能平行.D.平行于同一平面的兩條直線可能相交、平行或異面.只有B正確.2.設m,n是不同的直線,α,β是不同的平面,已知m∥α,n⊥β,下列說法正確的是(B)(A)若m⊥n,則α⊥β (B)若m∥n,則α⊥β(C)若m⊥n,則α∥β (D)若m∥n,則α∥β解析:若m⊥n,則α與β可以平行或相交,故A,C錯誤;若m∥n,則α⊥β,D錯,選B.3.假如一個二面角的兩個半平面與另一個二面角的兩個半平面分別平行,則這兩個二面角的大小關系是(C)(A)相等 (B)互補(C)相等或互補 (D)不確定解析:可作出這兩個二面角的平面角(圖略),易知這兩個平面角的兩邊分別平行,故這兩個二面角相等或互補.故選C.4.如圖,AB是圓的直徑,PA垂直于圓所在的平面,C是圓上一點(不同于A,B)且PA=AC,則二面角PBCA的大小為(C)(A)60° (B)30°(C)45° (D)15°解析:易得BC⊥平面PAC,所以∠PCA是二面角PBCA的平面角,在Rt△PAC中,PA=AC,所以∠PCA=45°.故選C.5.如圖所示,已知PA⊥矩形ABCD所在的平面,則圖中相互垂直的平面有(D)(A)2對 (B)3對(C)4對 (D)5對解析:由PA⊥矩形ABCD知,平面PAD⊥平面ABCD,平面PAB⊥平面ABCD;由AB⊥平面PAD知,平面PAB⊥平面PAD;由BC⊥平面PAB知,平面PBC⊥平面PAB;由DC⊥平面PAD知,平面PDC⊥平面PAD.故題圖中相互垂直的平面有5對.選D.6.如圖所示,在△ABC中,AD⊥BC,△ABD的面積是△ACD的面積的2倍.沿AD將△ABC翻折,使翻折后BC⊥平面ACD,此時二面角BADC的大小為(C)(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°解析:由已知得,BD=2CD.翻折后,在Rt△BCD中,∠BDC=60°,而AD⊥BD,CD⊥AD,故∠BDC是二面角BADC的平面角,其大小為60°.故選C.7.如圖,邊長為a的等邊三角形ABC的中線AF與中位線DE交于點G,已知△A′DE是△ADE繞DE旋轉過程中的一個圖形,則下列命題中正確的是(C)①動點A′在平面ABC上的射影在線段AF上②BC∥平面A′DE③三棱錐A′FED的體積有最大值(A)① (B)①② (C)①②③ (D)②③解析:①中由已知可得平面A′FG⊥平面ABC,故點A′在平面ABC上的射影在線段AF上.②因為BC∥DE,依據線面平行的判定定理可得BC∥平面A′DE.③當平面A′DE⊥平面ABC時,三棱錐A′FDE的體積達到最大.故選C.8.如圖,已知AB⊥平面BCD,BC⊥CD,則圖中相互垂直的平面共有對.

解析:因為AB⊥平面BCD,所以平面ABC⊥平面BCD,平面ABD⊥平面BCD,AB⊥CD.因為BC⊥CD,所以DC⊥平面ABC,所以平面ACD⊥平面ABC.所以共有3對相互垂直的平面.答案:39.如圖,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC=1,將△ABC沿斜邊BC上的高AD折疊,使平面ABD⊥平面ACD,則折疊后BC=.

解析:因為在原△ABC中,AD⊥BC,所以折疊后有AD⊥BD,AD⊥CD,所以∠BDC是二面角BADC的平面角.因為平面ABD⊥平面ACD,所以∠BDC=90°.在Rt△BCD中,∠BDC=90°,BD=CD=,所以BC==1.答案:110.正方體ABCDA1B1C1D1中,截面A1BD與底面ABCD所成二面角A1BDA的正切值等于.

解析:設AC與BD相交于O點,因為ABCDA1B1C1D1為正方體,所以AO⊥BD,又AA1⊥平面ABCD,所以AA1⊥BD,又AO∩AA1=A,所以BD⊥平面A1AO,所以BD⊥A1O,所以∠A1OA為二面角A1BDA的平面角,設正方體的棱長為a,在直角△A1AO中,AA1=a,AO=a,所以tan∠A1OA==.答案:11.已知m,l是直線,α,β是平面,給出下列命題:①若l垂直于平面α內兩條相交直線,則l⊥α;②若l∥α,則l平行于α內全部直線;③若m?α,l?β,且l⊥m,則α⊥β;④若l?β,且l⊥α,則α⊥β;⑤若m?α,l?β,且α∥β,則m∥l.其中正確的是.

解析:①④是線面垂直、面面垂直的判定定理,故均正確.l∥α,則l與α內的直線可能平行,也可能異面,故②錯誤.兩個平面平行時,分別在兩平面內存在相互垂直的直線,故③錯誤.兩個平面平行,分別在兩個平面內的直線有可能是異面直線,故⑤錯誤.答案:①④12.如圖所示,α∩β=CD,P為二面角內部一點.PA⊥α,PB⊥β,垂足分別為A,B.(1)證明:AB⊥CD;(2)若△PAB為等邊三角形,求二面角αCDβ的大小.(1)證明:因為所以CD⊥平面PAB,所以AB⊥CD.(2)解:如圖所示,設平面PAB∩CD=O,則由(1)可知,OB⊥CD,OA⊥CD,從而∠BOA是二面角αCDβ的平面角.因為PA⊥OA,PB⊥OB,所以∠AOB+∠APB=180°.因為△PAB為等邊三角形,所以∠APB=60°.故二面角αCDβ的平面角為120°.13.如圖所示,在側棱垂直于底面的三棱柱ABCA1B1C1中,AB=BB1,AC1⊥平面A1BD,D為AC的中點.(1)求證:B1C∥平面A1BD;(2)求證:B1C1⊥平面ABB1A1;(3)設E是CC1上一點,試確定E的位置使平面A1BD⊥平面BDE,并說明理由.(1)證明:連接AB1,與A1B相交于M,則M為A1B的中點,連接MD.又D為AC的中點,所以B1C∥MD.又B1C?平面A1BD,MD?平面A1BD,所以B1C∥平面A1BD.(2)證明:因為AB=B1B,所以四邊形ABB1A1為正方形.所以A1B⊥AB1.又因為AC1⊥平面A1BD,所以AC1⊥A1B.所以A1B⊥平面AB1C1,所以A1B⊥B1C1.又在棱柱ABCA1B1C1中BB1⊥B1C1,所以B1C1⊥平面ABB1A1.(3)解:當點E為C1C的中點時,平面A1BD⊥平面BDE,因為D,E分別為AC,C1C的中點,所以DE∥AC1.因為AC1⊥平面A1BD,所以DE⊥平面A1BD.又DE?平面BDE,所以平面A1BD⊥平面BDE.14.(2024·浙江金華十校聯考)如圖,在直三棱柱(側棱垂直于底面的棱柱)ABCA1B1C1中,AB=4,AC=BC=3,D為AB的中點.(1)求點C到平面A1ABB1的距離;(2)若AB1⊥A1C,求二面角A1CDC1的平面角的余弦值.解:(1)由AC=BC,D為AB的中點,得CD⊥AB,又CD⊥AA1,故CD⊥平面A1ABB1,所以點C到平面A1ABB1的距離為CD==.(2)如圖,取D1為A1B1的中點,連接DD1,則DD1∥AA1∥CC1.又由(1)知CD⊥平面A1ABB1,故CD⊥A1D,CD⊥DD1,所以∠A1DD1為所求的二面角A1CDC1的平面角.因為CD⊥平面A1ABB1,AB1?平面A1ABB1,所以AB1⊥CD,又AB1⊥A1C,A1C∩CD=C,所以AB1⊥平面A1CD,故AB1⊥A1D,從而∠A1AB1,∠A1DA都與∠B1AB互余,因此∠A1AB1=∠A1DA,所以Rt△A1AD∽Rt△B1A1A.因此=,即A1A2=AD·A1B1=8,得A1A=2.從而A1D==2.所以,在Rt△A1D1D中,cos∠A1DD1===.15.在正四面體PABC中,D,E,F分別是AB,BC,CA的中點,則下面四個結論中不成立的是(C)(A)BC∥平面PDF (B)DF⊥平面PAE(C)平面PDF⊥平面ABC (D)平面PAE⊥平面ABC解析:可畫出對應圖形,如圖所示,則BC∥DF.又DF?平面PDF,BC?平面PDF,所以BC∥平面PDF,故A成立.由AE⊥BC,PE⊥BC,BC∥DF,知DF⊥AE,DF⊥PE,所以DF⊥平面PAE,故B成立.又DF?平面ABC,所以平面ABC⊥平面PAE,故D成立.故選C.16.如圖,正方體ABCDA1B1C1D1中,O為底面ABCD的中心,M為棱BB1的中點,則下列結論中錯誤的是(D)(A)D1O∥平面A1BC1(B)MO⊥平面A1BC1(C)異面直線BC1與AC所成的角等于60°(D)二面角MACB等于90°解:對于選項A,連接B1D1,交A1C1于E,連接BO,則四邊形D1OBE為平行四邊形,所以D1O∥BE,因為D1O?平面A1BC1,BE?平面A1BC1,所以D1O∥平面A1BC1,故正確;對于選項B,連接B1D,因為O為底面ABCD的中心,M為棱BB1的中點,所以MO∥B1D,易證B1D⊥平面A1BC1,所以MO⊥平面A1BC1,故正確;對于選項C,因為AC∥A1C1,所以∠A1C1B為異面直線BC1與AC所成的角,因為△A1C1B為等邊三角形,所以∠A1C1B=60°,故正確;對于選項D,因為BO⊥AC,MO⊥AC,所以∠MOB為二面角MACB的平面角,明顯不等于90°,故不正確.綜上知,選D.17.如圖,二面角αlβ的大小是60°,線段AB?α,B∈l,AB與l所成的角為30°,則AB與平面β所成的角的正弦值為.

解析:如圖,過點A作平面β的垂線,垂足為C,在平面β內過C作l的垂線,垂足為D,連接AD.由線面垂直的判定定理,可知l⊥平面ACD,則l⊥AD,故∠ADC為二面角αlβ的平面角,即∠ADC=60°.連接CB,明顯,∠ABC為AB與平面β所成的角.設AD=2,則AC=,AB==4,故sin∠ABC==.答案:18.如圖所示,在四棱錐PABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各邊都相等,M是PC上的一動點,當點M滿意時,平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個你認為是正確的條件即可)

解析:DM⊥PC.連接AC,則AC⊥BD.因為PA⊥底面ABCD,BD?平面ABCD,所以PA⊥BD.因為PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC,所以BD⊥PC.所以當DM⊥PC(或BM⊥PC)時,即有PC⊥平面MBD,而PC?平面PCD,所以平面MBD⊥平面PCD.答案:DM⊥PC(答案不唯一)19.如圖所示,已知正方形ABCD的邊長為2,AC∩BD=O.將三角形ABD沿BD折起,得到三棱錐ABCD.(1)求證:平面AOC⊥平面BCD,(2)若三棱錐ABCD的體積為,求AC的長.(1)證明:折疊前,因為四邊形ABCD是正方形,所以BD⊥AO,BD⊥CO.在折疊后的△ABD和△BCD中,仍有BD⊥AO,BD⊥CO.因為AO∩CO=O,AO?平面AOC,CO?平面AOC,所以BD⊥平面AOC.因為BD?平面BCD,所以平面AOC⊥平面BCD.(2)解:設三棱錐ABCD的高為h,由于三棱錐ABCD的體積為,所以S△BCDh=.因為S△BCD=BC×CD=×2×2=2,所以h=<AO=.以下分兩種情形求AC的長.①當∠AOC為鈍角時,如圖①,過點A作CO的垂線AH交CO的延長線于點H,由(1)知BD⊥平面AOC,所以BD⊥AH.又CO⊥AH,且CO∩BD=O,所以AH⊥平面BCD.所以AH為三棱錐ABCD的高,即AH