專題3.11代數式章末重難點突破

/匕注T三

i善康丁襁元鬲定反芨礪］

［例1］（2021春?松桃縣期末）在式子〃?3、M+SW2、戈、-ah、s=ab中代數式的

個數有（）

A.6個B.5個C.4個D.3個

【分析】根據代數式的定義：用簡單的運算符號把數字或字母連接而成的式子鑒別.

【解答】解：由代數式的定義可得〃-3、a2b.X,是代數式，而機+sW2、尸如是

等式或不等式.

故選：C.

【變式1-1］（2020秋?萬州區校級期中）下列代數式的書寫格式規范的是（）

23

A.1-^xyzB.〃X〃+5+lC.ab2D.-ab

【分析】根據代數式的書寫要求判斷各項即可.

25

【解答】解：4、lyyz書寫不規范，應寫為了小，故此選項不符合題意；

8、4X0+5+1書寫不規范，應寫為g+1,故此選項不符合題意；

C、,而2書寫不規范，應寫為2ab,故此選項不符合題意；

3

。、二山書寫規范，故此選項符合題意；

4

故選：D.

【變式1-2］（2020秋?灤州市期中）下列各式：ab*2>in-i-2n,-xy,\~a,巴上其中符合代

334

數式書寫規范的有2個.

【分析】根據代數式的書寫規則，數字應在字母前直，分數不能為帶分數，不能出現除

號即可得出答案.

51a—b5Q-b

【解答】解：在。加2,-xy,1-?,二一中，符合代數式書寫規范的有三外，?

共2個；

故答案為：2.

3

【變式1-3］（2020秋?射洪市期中）下列各式：（1）1-/〃：（2）〃?3；（3）20%x；（4）

4

a2—2b2

-b+c；（5）---；（6）m-3C,其中符合代數式書寫要求的有（）

A.5個B.4個C.3個D.2個

【分析】根據代數式的書寫規則，對各小題的代數式進行判斷，即可求出答案.

3

【解答】解：（1）I-//?中分數不能為帶分數，故原式書寫錯誤；

4

（2）。?3數與字母相乘要數在前，字母在后并省略乘號，故原式書寫錯誤；

（3）20%x書寫正確；

（4）除號應用分數線，故原式書寫錯誤；

Q22b2

（5）—;—書寫正確；

（6）m-3℃應該加括號，故原式書寫錯誤；

符合代數式書寫要求的有2個.

故選：D.

【考點2整式的相關概念】

112%—vx2+4v1

【例2】（2020秋?叢臺區校級期末）下列各式一5〃?〃，m,8,一，x2+2x+6,-------,---------，—

na5ny

中，整式有（）

A.3個B.4個C.6個D.7個

【分析】根據整式的定義，結合題意即可得出答案.

【解答】解：整式有一%〃〃，"］，8,/+2x+6,2",,----,

z57r

故選：C.

【變式2-1】（2019秋?冠縣期末）若1。2小-5/+1與-3R4"的和為單項式，則6+〃=￡.

【分析】直接利用合并同類項法則得出關于加，〃的等式進而求出答案.

【解答】解：??3。2m-5/+1與-3'的和為單項式，

2m-5=1,〃+1=3-〃，

解得:m=3,n=l.

故m+n=4.

故答案為:4.

【變式2?2】（2020秋?錦江區校級期中）多項式3/%2?（〃?+2）X+1是一個四次三項式，

那么m=2.

【分析】直接利用多項式的次數與項數的確定方法得出答案.

【解答】解：???多項式3戶口?（加+2）x+1是一個四次三項式，

/?|wz|+2—4,m+2W0?

解得：〃?=2.

故答案為：2.

【變式2-3］（2019秋?勃利縣期末）若關于x、y的多項式;r2,-7〃緲+3+6孫化簡后不

6

含二次項，則〃?一=-7——.

【分析】首先合并同類項，不含二次項，說明孫項的系數是U，由此進一步計算得出結

果即可.

【解答】解：-hnxy+^y3+6xy=（-7〃i+6）x_y+*/,

因為化簡后不含二次項，

所以-7m+6=0,

解得,n=y.

故答案為：

【考點3列代數式】

【例3】（2021秋?綠園區校級月考）如圖，表示這個圖形面積的代數式是（）

A.ab+bcB.c（b-J）+d（a-c）

C.ad+cb-cdD.act-cb

【分析】根據圖形中的數據，可以得到該圖形的面枳為4d+（…）C或A+d（4-C）,

然后化簡即可.

【解答】解：由圖可得.

6月份的銷售利潤總額-5月份的銷售利潤總額

X100%,即可求出結論.

5月份的銷售利潤總額

【解答】解：設5月份每杯飲品的售價為x元，銷售數量為），杯，則6月份每杯飲品的

售價為（1-5%）x元，銷售數量為（1+30%）），杯，每杯飲品的成本為（1-25%）x元,

???5月份的銷售利潤總額為比-（1-25%）出?），=25%V），元，6月份的銷售利潤總額為［（1

-5%）x-（1-25%）川?（1+30%）y=26%x?y元，

A6月份銷存這種飲品的銷售利潤總額比5月份的銷W利潤總額增長

26%xy-25%xy

-----------------------XI00%=4%.

25%xy

故選：A.

【考點4整式加減的應用】

【例4】（2020秋?恩施市月考）“冏”是近時期網絡流行語，像一個人臉郁悶的神情，如

圖所示，一張邊長為20的正方形的紙片，剪去兩個一樣的小直角三角形和一個長方形得

到一個“冏”字圖案（陰影部分）.設剪去的小長方形長和寬分別為x、y,剪去的兩個

小直角三角形的兩直角邊長也分別為X、），.

（1）用含有X、），的代數式表示右圖中“冏”的面積；

（2）當戈=8,），=5時，求此時“冏”的面積.

20

【分析】（I）先求出剪去部分的面積為2AA再求“冏”的面積為400-2D；

（2）將x=8,y=5代入代數式400-的，即可求解.

【解答】解?：（1）由題意可知，剪去的兩個直角三角形和一個長方形的面積和=2小

???“冏”的面積=20X20-2盯=400-2xy；

(2)當x=8,y=5時，400-2^=400-2X8X5=320,

???“冏”的面積為320.

【變式4-1］（202（）秋?寧波期末）某中學某班在一次數學興趣活動中要分為四個組，已知

第二組人數比第一組人數的|少5人，第三組人數比第一組與第二組人數的總和少15人,

第四組人數與第一組人數的2倍的和是34.若設第一組有x人.

（1）用含x的式子表示第二、三、四組的人數，把答案填在如表相應的位置.

第一組第二組第三組第四組

X3534-2/

-x-5-V-20

22

（2）該班的總人數是否可以為47人？若可以，請寫出每組的具體人數；若不可以.，請

說明由.

【分析】（1）根據題意求出第二組、第三組、第四組的人數即可；

35

（2）根據題意列出方程（-X-5）+（-v-20）+（34-2v）=47,求出方程的解，再

22

進行判斷即可.

3Q

【解答】解：（1）第二組的人數是（孑-5）人，第三組的人數是（葉永-575）=

5

（-X-20）人，第四組的人數是（34-Zi）人，

35

故答案為：-x-5,-x-20,34-2r；

22

（2）該班的總人數不可以為47人，

35

理由是：x+（-v-5）+（-X-20）+（34-2v）=47,

22

35

x+2X~^+2X~2°+34-2x=47,

3x=38,

2

x=12-,

3

x表示人數，不能為分數，

所以％=12：不符合題意，舍去，

即該班的總人數不可以為47人.

【變式4-2]（2021春?未央區校級期中）已知：B=-inx-3x+m.

（1）化簡：3A-2Bi

（2）若3A?28的值與字母機的取值無關，求x的值.

（3）請利用上述問題中的數學方法解決下面問題：某醫藥器材經銷商計劃同時購進一批

甲、乙兩種型號的口罩.已知甲型號口罩每箱進價為700元，乙型號口罩每箱進價為500

元.該醫藥公司根據疫情情況，決定購進兩種型號的口罩共30箱，有多種購進方案.現

銷售一箱甲型號口罩，利潤率為40%,乙型號口罩的售價為每箱800元，而且為了及時

控制疫情，公司決定每售出一箱乙型號口罩，返還顧客現金。元，甲型號口罩售價不變，

要使不同方案所購進的口罩全部售市后經箱商最終獲利相同，求。的值.

【分析】（1）把A,8看做整體，代入3A-25中化簡即可：

（2）根據3A-28的值與字母機的取值無關，就合并同類項后讓，〃的系數等于0；

（3）設甲型口罩進x箱，則乙型口罩進（30-x）箱，表示出利潤，根據利潤與x無關,

求得〃的值.

【解答】解：（1）3A?28

=3（3〃a-x）-2（-mx-3x+m）

=9inx-3x+2"zx+6x-2JH

=11/m+3x-2mi

（2）3A-2B=3x+（llx-2）rn,

,?，3A-28的值與字母:n的取值無關，

Ilx-2=0,

.2

??k1r

（3）設甲型口罩進x箱，則乙型口罩進（30-x）箱，利潤為：

700X40%?.什（800-500-a）（30-x）

=280.v+（300-a）（30-x）

=280.v+9000-300.V-30a+ax

=（a-20）x+9000-30a,

???要使不同方案最終獲利相同，

???利潤與%無關，

.*.67-20=0,

???a=20.

答：〃的值為20.

【變式4-3］（2020秋?衛輝市期末）疫情期間，為了滿足市場上對口罩的需求，某廠家決

定生產4、B兩種款式的口罩.每天兩種口罩的生產量共500個，兩種口罩的成本和售價

如下表：

成本（元/個）售價（元/個）

458

B79

若設每天生產A種口.累x個，則每天生產8種口罩（500-工）個:

（1）用含x的代數式表示該工廠每天的生產成本，并進行化簡；

（2）用含x的代數式表示該工廠每天獲得的利潤，并將所列代數式進行化簡;

（3）當x=300時，求每天獲得的利潤.（利潤=售價?成本）

【分析】根據每天兩種口罩的生產量共500個，即可得出答案；

（1）由題意A種口罩成本為5元/個，B種口罩的成本為7元/個，列代數式即可得出答

案；

(2)由題意A種口罩利潤為5元/個，3種M罩的利潤為7元/個，列代數式即可得出答

案；

(3)根據(2)所得結果即可得出答案.

【解答】解:若設每天生產A種口罩x個，則每天生產8種口罩(500-%)個.

故答案為：(500-x).

(I)根據題意可得，

該工廠每天的生產成本為5x+7(500-x)=(3500-2。(元)；

(2)根據題意可得，人種I」罩的利潤為每個3元，8種LI罩的利潤為每個2元，

該工廠每天獲得的利潤為3盧2(500-x)=(1000+.r)(元)；

(3)把x=300,代入1000+K中，

原式=1000+300=1300(元).

所以當x=3()()時，每天獲得的利潤為130()元.

【考點5整式的化簡求值】

[例5](2021春?蕭山區月考)已知多項式6?-2〃州?2)2+4孫-5x+2化簡后的結果中不

含外項.

(1)求〃？的值；

(2)求代數式-//-2m2-m+\-/n3-/w+2m2+5的值.

【分析】合并后不含個項，則可得項外的系數為0,從而可得出〃?的值，將代數式化為

最簡，然后代入〃?的值即可.

【解答】解：⑴由題意得-2〃汁4=0,解得機=2.

(2)--2ni2-m+1-m3-m+2nr+5

=--2〃?+6,

將〃?=2代入，則原式=-2X8-2X2+6=-14.

【變式5-1](2020秋?宣化區期中)已知代數式-3?+2y-nix+5-3—+6x-20v的值與字

母X的取值無關，求導!?-的值.

【分析】代數式合并得到最簡結果，令x的二次項與x的一次項系數為0,求出m與〃

的值，代入所求式子中計算即可得到結果.

【解答】解：原式=-3.d+2y--3/+64-20y

=-(3+3/7)/+(6-/??)x-ISy+5,

:代數式-3f+2)，-〃?上+5-3〃f+6x-20y的值與字母x的取值無關，

.*.6-in=0,3+3/2=0,

.*./??=6?n=-1,

2，

-tn-2mn+n'

3

=1x6-2X6X(-1-+(-I)3

=4+12-1

=15.

【變式5-2](2021?錦江區校級開學)已知A=3.￥2-x+2y-4xy,B=2p-3x-

(1)化簡2A-3(

(2)當x+尸；,盯=7,求24-3B的值.

【分析】(1)利用整式;加減運算法則化簡即可.

(2)把(x+y),刈看做一個整體，代入求值可得.

【解答】解：(1)24-38

=2-x+2y-4.。')-3(Zv2-3x-y+孫)

=6/-2x+4y-8.v),-6.r+9x+3y-3xy

=lx+ly-1

(2)\'x+y=y,xy=-1,

：.2A-3B=7x+ly-\\xy=l(x+y)-1Lvy=7xy--11X(-1)=6+11=17.

【變式5-3](2020秋?新邵縣期末)一位同學做一道題：已知兩個多項式4、B,計算A-

38他誤將“A?38”看成“3A-8”，求得的結果為f?14盯?4/，其中B=2.x1+2x：^,

(1)請你計算出多項式A.

(2)若x=-3,y=2.計算A-36的正確結果.

【分析】(1)根據3A-4=/-14,q-4)2,先求出3A,然后再求多項式4；

(2)先化簡A-3B,然后代入求值.

【解答】解：(1)由題意：3A-B=*-14xy-4)2,

???3A=f-14盯-4)2+B,

=』-14x)^-4)?+2/+21)葉)2

=3^-\2xy-3)2,

?\A=i(3.P-\2xy-3y2)-4盯-y2,

即多項式A為/-4孫-y2；

(2)A?38=/-4xy-y2-3(Ix1+lxy+y1)

=，-4xy-)2-6X2-6xy-3『

=-5X2-lOxy-4.V2,

當x=-3,y=2時，

原式=-5X（-3）2-10X（-3）X2-4X22

=-5X9+60-4X4

=-45+60-16

=-1.

即A-36的正確結果為-1.

【考點6整式加減中的整體思想】

【例6J（2021?金平區模擬）如果代數式4〃/-2〃?+5的值為7,那么代數式2〃?2-〃?-3的

值為（）

A.-3B.3C.2D.-2

【分析】根據4/-2m+5的值是7得到2m2-m=l,然后利用整體代入思想計算即可.

【解答】解：???4〃?2-2〃】+5=7,

4/n2-2m=2,

In?-m=L

，2"產-〃？-3=l-3=-2.

故選：D.

【變式6-1]（2021?遼寧模擬）已知x=4-y,沖=5,則3x+3y-4.訃，的值為-8.

【分析】由x=4-y得x+y=4,再把3.1+3廠4何適當變形，將已知條件整體代入即可求

出結果.

【解答】解：Vx=4-y,

.*.x+y=4,

：孫=5,

:.3x+3y-4xy

=3（x+y）-4xy

=3X4-4X5

=12-20

=-8,

故答案為：-8.

9

-

【變式6-2]（2021春?渝北區期末）已知，a-b=3,a?c=1,則（A?c）24

值為（）

【分析】根據整式的加減運算求出〃-c的值，然后代入原式即可求出答案.

【解答】解：??Z-匕=3,a-c=\,

（a-b）=1-3,

：.b-c=-2,

9

2\

*2J+-

，原式=(-2)-2X(X4

9

=4+4+彳，

4

41

二不

故選：D.

【變式6-3](2020秋?順德區期中)閱讀材料:在合并同類項中,5。?3。+。=(5-3+1)?

=3小類似地，我們把(x+y)看成一個整體，則5(x+y)-3(x+y)+(x+y)=(5-

3+1)(x+y)=3(x+v).“整體思想”是中學教學解題中的一種重要的思想，它在多

項式的化簡與求值中應用極為廣泛.

嘗試應用：

(1)把(x-y)2看成一個整體，合并3(x-j)2-6(x-y)2+2(x-y)2的結果是

(x-V)2.

(2)已知『-2〃=1,求3-2/i4〃的值；

拓展探索：

(3)已知2b-c=-\,c-d=2,求a-68+5c-3d的值.

【分析】(1)把(％-丁)看做一個整體，合并即可得到結果：

(2)原式后兩項提取2變形后，將已知等式代入計算即可求出值；

(3)原式整理后，將已知等式代入計算即可求出值.

【解答】解?：(1)把(x->-)2看成--個整體，合并3(x-y)2-6(x-y)2+2(i-y)

2的結果是-(廣)，)2,

故答案為：-(X->02；

(2)

，原式=3-2(a2-2b)=3-2=1；

(3)?.?a-2b=l,2Z?-c=-1,c-d=2,

；?原式=。-2方-4從2c+3c-3d=(a-2h)-2(2b-c)+3(c-J)=l+2+6=9.

【考點7整式加減(數字的變化類)】

【例7】(2021?濰城區二模)將從1開始的連續自然數按圖表所示規律排列：規定位于第。

行，第〃列的自然數記為(a,h).例如，自然數10記為(3,2),自然數14記為(4,

3)…按此規律，自然數2021記為()

【分析1根據表格可知，每一行有4個數，其中奇數行的數字從左往右是由小到大排列：

偶數行的數字從左往右是由大到小排列.用2021除以4,根據除數與余數確定2021所在

的行數，以及是此行的第幾個數，進而求解即可.

【解答】解：由題意可得，每一行有4個數，其中奇數行的數字從左往右是由小到大排

歹偶數行的數字從左往右是由大到小排列.

720214-4=505........1,

505+1=506,

A2021在第506行,

???偶數行的數字從左往右是由大到小排列，

???自然數2021記為（506,4）.

故選：D.

【變式7-1]（2021?十堰一模）將從I開始的自然數按規律排列，例如位于第3行、第4

列的數是12,則位于第45行、第4列的數是（）

A.2025B.2023C.2022D.2021

【分析】根據數字的變化關系發現規律第n行的第一個數為即可得第45行第一個數

為2025,第4歹IJ用2025-3即可得結論.

【解答】解：觀察數字的變化，

發現規律：

第〃行的第一個數為"，

所以第45行第一個數為452—2025,

再依次減1,到第4列,

即452-3=2022.

故選：C.

3Q69Q12

【變式7-2】（2。21?昭陽區校級模擬）按一定規律排列的單項式「3不-9-

則第〃個單項式是（）

a3n

A.(?1)”-dR.(-1)n—

2八一12n

.a3na3(n-l)

C?(7)/D-

【分析】由所給的單項式可看出，分母為2〃，分子為奇數項為負，偶數項為正，據

此即可作答.

[Q3X1

【解答】解：??,一周=(-1)

21

Cl',Q3X2

--(-1)2K

4、22，

一*=(7)3'雪,

82

12

a4Q3X4

——=(-])4x^-i-,

1624

???第〃個單項式為：（-1）

2n

故選：B.

【變式7-3]（2021?廣漢市模擬）右邊是一個按某種規律排列的數陣：根據規律，自然數

2021應該排在從上向下數的第m行,是該行中的從左向右數的第〃個數，那么的

值是（）

234

56789

10111213141516

A.131B.130C.129D.128

【分析】每行的最后一個數是這個行的行數〃，的平方，第〃?行的數字的個數是2〃LI,

所以2021在第45行，45行最后一個數字是2025,從2025往前數4個數據得到2021,

進而得出2021是第85個數據，從而得出答案.

【解答】解：???每行的最后一個數是這個行的行數，〃的平方，

第機行的數字的個數是2m-1,

V442=1936,

所以2021在第45行,

V452=2025,

???45行最后一個數字是2025,

第45行有2X45-1=89個數字，從2025往前數4個數據得到2021,從而得出2021是

第85個數據，

??in—45,fi—85?

/??+/?—45+85—130.

故選：B.

【考點8整式加減（圖形的變化類）】

【例8】（2021?廣東一模）按照圖中圖形變化的規律，則第2021個圖形中黑色正方形的數

量是（）

”■■心■■■”■■■■心■■■■■(ZZ>—

A.1010B.1012C.3030D.3032

【分析】根據圖形的變化規律歸納出第〃個圖形中黑色正方形的數量即可.

【解答】解：根據圖形變化規律可知：

第1個圖形中黑色正方形的數量為2,

第2個圖形中黑色正方形的數量為3,

第3個圖形中黑色F方形的數量為5.

第4個圖形中黑色正方形的數最為6,

當〃為奇數時，黑色正方形的個數為[3x±（〃+1）-I],

當〃為偶數時，黑色正方形的個數為（3xi/f）,

，第2021個圖形中黑色正方形的數量是[3xJ（2021+1）-1J,

故選；D.

【變式8-1]（2021秋?沙坪壩區校級月考）觀察圖形，第1個圖形中有2個圓點，第2個

圖形中有6個圓點，第3個圖形中有11個圓點，第4個圖形中有17個圓點，…以此規

律，第8個圖形圓點的個數為（）

第一個圖形第二個圖形第三個圖形第四個圖形

A.32B.41C.51D.62

【分析】據已知圖形得到第1個圖形中棋子數2,第2個圖形中棋子數6=2+4,第3個

圖形中棋子數11=21(415),第4個圖形中棋子數17=2i(41516),……依此找到

規律得到第8個圖形中棋子的顆數.

【解答】解：???第1個圖形中棋子數2,

第2個圖形中棋子數6=2+4,

第3個圖形中棋子數11=2+(4+5),

第4個圖形中棋子數17=2+(4+5+6)，

???第8個圖形中棋子數2+(4+5+6+7+8+9+10+11)=62.

故選：D.

【變式8-2](2020秋?寧波期末)如圖，用火柴棍分別搭一