廣東省惠州一中10-11學年度高一上學期期末考試（數學）一、選擇題要求：從下列各題給出的四個選項中，選擇一個正確的答案，并將所選答案的字母填入題后的括號內。1.已知等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，若$S_4=20$，$S_6=36$，則$a_3$的值為A.2B.4C.6D.82.在三角形ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，E是AD上的一點，且BE=CD，則三角形ADE與三角形ABC的面積比為A.1:2B.2:1C.1:1D.4:13.已知函數$f(x)=x^3-3x+2$，若$f(x)$的圖像與直線$y=0$相交于兩點，則$f(x)$的對稱中心為A.(0,0)B.(1,0)C.(2,0)D.(3,0)4.已知等比數列$\{a_n\}$的前三項分別為$1$，$2$，$4$，則$\{a_n\}$的公比$q$為A.$\frac{1}{2}$B.$2$C.$-1$D.$-2$5.在平面直角坐標系中，點A（2，3）關于直線$y=x$的對稱點為B，則點B的坐標為A.(2,3)B.(3,2)C.(3,3)D.(2,2)二、填空題要求：將正確答案填入題中的橫線上。6.已知函數$f(x)=ax^2+bx+c$在區間$[-1,1]$上的最大值為2，最小值為0，則$a+b+c=$7.在直角坐標系中，點A（1，1），B（-1，-1），C（2，0），則三角形ABC的面積是8.若等差數列$\{a_n\}$的前三項分別為$1$，$2$，$3$，則該數列的公差是9.已知等比數列$\{a_n\}$的前三項分別為$1$，$2$，$4$，則該數列的公比是10.在平面直角坐標系中，點A（1，1），B（-1，-1），C（2，0），則三角形ABC的周長是三、解答題要求：請將解答過程和答案填寫在答題紙上。11.（本小題滿分12分）已知等差數列$\{a_n\}$的前三項分別為$1$，$2$，$3$，求：（1）該數列的通項公式；（2）該數列的前$n$項和公式；（3）該數列的前$n$項和的最大值。12.（本小題滿分12分）已知函數$f(x)=x^3-3x+2$，求：（1）函數$f(x)$的圖像與直線$y=0$相交的兩點坐標；（2）函數$f(x)$的圖像的對稱中心；（3）函數$f(x)$在區間$[-2,2]$上的最大值和最小值。13.（本小題滿分12分）在平面直角坐標系中，已知點A（2，3），B（-1，-1），C（2，0），求：（1）三角形ABC的面積；（2）三角形ABC的周長；（3）三角形ABC的三條邊長。四、解答題要求：請將解答過程和答案填寫在答題紙上。14.（本小題滿分12分）已知函數$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}$，求：（1）函數$f(x)$的定義域；（2）函數$f(x)$的單調區間；（3）函數$f(x)$的極值。15.（本小題滿分12分）在平面直角坐標系中，已知點A（1，2），B（-2，1），C（3，0），求：（1）直線AB的方程；（2）直線AC的斜率；（3）三角形ABC的面積。五、解答題要求：請將解答過程和答案填寫在答題紙上。16.（本小題滿分12分）已知等比數列$\{a_n\}$的前四項分別為$2$，$4$，$8$，$16$，求：（1）該數列的公比；（2）該數列的前$n$項和公式；（3）該數列的前$n$項和的最大值。六、解答題要求：請將解答過程和答案填寫在答題紙上。17.（本小題滿分12分）已知函數$f(x)=x^2-4x+3$，求：（1）函數$f(x)$的圖像與x軸相交的兩點坐標；（2）函數$f(x)$的圖像的頂點坐標；（3）函數$f(x)$在區間$[1,3]$上的最大值和最小值。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B解析：由等差數列的性質知，$S_4=4a_1+6d=20$，$S_6=6a_1+15d=36$，解得$d=2$，$a_1=2$，所以$a_3=a_1+2d=6$。2.C解析：由于AD是BC邊上的中線，所以BD=CD，又因為BE=CD，所以BD=BE，因此三角形ABD和三角形CDE相似，面積比為1:1。3.B解析：函數$f(x)$的導數為$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$得$x=1$，所以$f(x)$在$x=1$處取得極小值，且對稱中心為$(1,0)$。4.B解析：等比數列的公比$q$為相鄰兩項之比，所以$q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{2}{1}=2$。5.B解析：點A（2，3）關于直線$y=x$的對稱點B的坐標可以通過交換x和y的值得到，即B（3，2）。二、填空題6.3解析：由函數$f(x)$在區間$[-1,1]$上的最大值和最小值，可知$a+b+c=f(-1)+f(1)=2+0=2$。7.3解析：三角形ABC的面積可以用行列式法計算，即$\frac{1}{2}\times|(1\times(-1)+(-1)\times2+2\times3)|=3$。8.1解析：等差數列的公差是相鄰兩項之差，所以$d=a_2-a_1=3-1=2$。9.2解析：等比數列的公比是相鄰兩項之比，所以$q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{2}{1}=2$。10.6解析：三角形ABC的周長是三邊之和，即$AB+BC+CA=\sqrt{(2-(-1))^2+(3-(-1))^2}+\sqrt{(2-2)^2+(0-3)^2}+\sqrt{(2-3)^2+(0-1)^2}=6$。三、解答題11.（本小題滿分12分）（1）$a_n=a_1+(n-1)d=1+(n-1)\times2=2n-1$；（2）$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(1+2n-1)}{2}=n^2$；（3）$S_n$的最大值為$S_3=3^2=9$。12.（本小題滿分12分）（1）令$f(x)=0$，解得$x=1$或$x=-1$，所以交點坐標為（1，0）和（-1，0）；（2）對稱中心為$(1,0)$；（3）在區間$[-2,2]$上，$f(x)$的最大值為$f(1)=0$，最小值為$f(-2)=-2$。13.（本小題滿分12分）（1）三角形ABC的面積可以用行列式法計算，即$\frac{1}{2}\times|(2\times(-1)+(-1)\times0+2\times3)|=3$；（2）三角形ABC的周長是三邊之和，即$AB+BC+CA=\sqrt{(2-(-1))^2+(3-(-1))^2}+\sqrt{(2-2)^2+(0-3)^2}+\sqrt{(2-3)^2+(0-1)^2}=6$；（3）三角形ABC的三條邊長分別為$AB=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，$BC=\sqrt{(-1-2)^2+(-1-0)^2}=\sqrt{10}$，$CA=\sqrt{(2-3)^2+(0-1)^2}=\sqrt{2}$。四、解答題14.（本小題滿分12分）（1）函數$f(x)$的定義域為$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$；（2）函數$f(x)$在$(-\infty,0)$和$(0,+\infty)$上單調遞增；（3）函數$f(x)$在$x=0$處取得極小值，極小值為$f(0)=0$。15.（本小題滿分12分）（1）直線AB的斜率為$\frac{1-2}{-1-2}=\frac{1}{3}$，所以直線AB的方程為$y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}$；（2）直線AC的斜率為$\frac{0-2}{3-1}=-1$；（3）三角形ABC的面積可以用行列式法計算，即$\frac{1}{2}\times|(1\times1+(-2)\times0+3\times2)|=3$。五、解答題16.（本小題滿分12分）（1）公比$q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{4}{2}=2$；（2）$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{2(1-2^n)}{1-2}=2^{n+1}-2$；（3）$S_n$的最大值為$S_4=2^{4+1}-2