2017全國卷1試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.集合\(A=\{x|x^2-x-2\lt0\}\)，\(B=\{x|1\ltx\lt3\}\)，則\(A\capB=\)（）A.\(\{x|-1\ltx\lt3\}\)B.\(\{x|-1\ltx\lt1\}\)C.\(\{x|1\ltx\lt2\}\)D.\(\{x|2\ltx\lt3\}\)2.復平面內表示復數\(z=i(-2+i)\)的點位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.設有下面四個命題\(p_1\)：若復數\(z\)滿足\(\frac{1}{z}\inR\)，則\(z\inR\)；\(p_2\)：若復數\(z\)滿足\(z^2\inR\)，則\(z\inR\)；\(p_3\)：若復數\(z_1,z_2\)滿足\(z_1z_2\inR\)，則\(z_1=\overline{z_2}\)；\(p_4\)：若復數\(z\inR\)，則\(\overline{z}\inR\)。其中的真命題為（）A.\(p_1,p_3\)B.\(p_1,p_4\)C.\(p_2,p_3\)D.\(p_2,p_4\)4.記\(S_n\)為等差數列\(\{a_n\}\)的前\(n\)項和。若\(a_4+a_5=24\)，\(S_6=48\)，則\(\{a_n\}\)的公差為（）A.1B.2C.4D.85.函數\(f(x)\)在\(x=x_0\)處導數存在。若\(p\)：\(f^\prime(x_0)=0\)；\(q\)：\(x=x_0\)是\(f(x)\)的極值點，則（）A.\(p\)是\(q\)的充分必要條件B.\(p\)是\(q\)的充分條件，但不是\(q\)的必要條件C.\(p\)是\(q\)的必要條件，但不是\(q\)的充分條件D.\(p\)既不是\(q\)的充分條件，也不是\(q\)的必要條件6.如圖，在下列四個正方體中，\(A,B\)為正方體的兩個頂點，\(M,N,Q\)為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線\(AB\)與平面\(MNQ\)不平行的是（）7.某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形。該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為（）A.10B.12C.14D.168.已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為（）A.\(\pi\)B.\(\frac{3\pi}{4}\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(\frac{\pi}{4}\)9.已知函數\(f(x)=\lnx+\ln(2-x)\)，則（）A.\(f(x)\)在\((0,2)\)單調遞增B.\(f(x)\)在\((0,2)\)單調遞減C.\(y=f(x)\)的圖象關于直線\(x=1\)對稱D.\(y=f(x)\)的圖象關于點\((1,0)\)對稱10.已知\(F\)為拋物線\(C\)：\(y^2=4x\)的焦點，過\(F\)作兩條互相垂直的直線\(l_1\)，\(l_2\)，直線\(l_1\)與\(C\)交于\(A,B\)兩點，直線\(l_2\)與\(C\)交于\(D,E\)兩點，則\(|AB|+|DE|\)的最小值為（）A.16B.14C.12D.10二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數中，在區間\((0,+\infty)\)上單調遞增的是（）A.\(y=x^{\frac{1}{2}}\)B.\(y=2^{-x}\)C.\(y=\log_{\frac{1}{2}}x\)D.\(y=\frac{1}{x-1}\)2.已知向量\(\vec{a}=(1,m)\)，\(\vec{b}=(3,-2)\)，且\((\vec{a}+\vec{b})\perp\vec{b}\)，則\(m\)的值可以是（）A.-8B.-6C.6D.83.下列函數中，既是偶函數又在\((0,+\infty)\)上單調遞增的是（）A.\(y=x^3\)B.\(y=|x|+1\)C.\(y=-x^2+1\)D.\(y=2^{|x|}\)4.一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示。在正方體中，設\(BC\)的中點為\(M\)，\(GH\)的中點為\(N\)，則下列結論正確的是（）A.\(MN\parallel\)平面\(ABE\)B.\(MN\parallel\)平面\(ADF\)C.\(MN\perp\)平面\(BCF\)D.\(MN\perp\)平面\(DCH\)5.設\(x,y\)滿足約束條件\(\begin{cases}x+y\geqslanta\\x-y\leqslant-1\end{cases}\)，且\(z=x+ay\)的最小值為7，則\(a\)的值可以為（）A.-5B.3C.-5或3D.56.已知函數\(f(x)=\sin(\omegax+\varphi)(\omega\gt0,|\varphi|\lt\frac{\pi}{2})\)，其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為\(\frac{\pi}{2}\)，且\(f(\frac{\pi}{12})=1\)，則（）A.\(\omega=2\)B.\(\varphi=\frac{\pi}{3}\)C.\(f(x)\)在\((-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6})\)上單調遞增D.\(f(x)\)的圖象關于點\((\frac{5\pi}{12},0)\)對稱7.若\(a\gtb\gt0\)，\(0\ltc\lt1\)，則（）A.\(\log_ca\lt\log_cb\)B.\(c^a\gtc^b\)C.\(a^c\gtb^c\)D.\(\log_ac\lt\log_bc\)8.已知橢圓\(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)的左、右焦點分別為\(F_1,F_2\)，離心率為\(\frac{1}{2}\)，過\(F_2\)的直線\(l\)交\(C\)于\(A,B\)兩點。若\(\triangleAF_1B\)的周長為8，則橢圓\(C\)的方程可以為（）A.\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)B.\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1\)C.\(\frac{x^2}{2}+y^2=1\)D.\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\)9.已知函數\(f(x)=2\cos^2x-\sin^2x+2\)，則（）A.\(f(x)\)的最小正周期為\(\pi\)B.\(f(x)\)的最大值為3C.\(f(x)\)的最小值為-1D.\(f(x)\)在\([0,\frac{\pi}{2}]\)上單調遞增10.已知\(a,b\inR\)，且\(a-3b+6=0\)，則\(2^a+\frac{1}{8^b}\)的值可以為（）A.\(\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{8}\)C.\(\frac{1}{16}\)D.\(\frac{1}{32}\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.若\(a\gtb\)，則\(a^2\gtb^2\)。（）2.函數\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期是\(\pi\)。（）3.直線\(l\)垂直于平面\(\alpha\)內的無數條直線，則\(l\perp\alpha\)。（）4.若\(a,b\)為實數，則\(z=a+bi\)一定是虛數。（）5.若\(a,b,c\)成等比數列，則\(b^2=ac\)。（）6.命題“\(\forallx\inR\)，\(x^2\geqslant0\)”的否定是“\(\existsx\inR\)，\(x^2\lt0\)”。（）7.若\(f(x)\)是奇函數，則\(f(0)=0\)。（）8.若\(x\gt0\)，\(y\gt0\)且\(x+y=1\)，則\(xy\)的最大值為\(\frac{1}{4}\)。（）9.橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)的離心率\(e=\frac{c}{a}\)，其中\(c^2=a^2-b^2\)。（）10.若\(a\parallelb\)，\(b\parallelc\)，則\(a\parallelc\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數\(y=\log_2(x^2-2x-3)\)的定義域。-答案：要使函數有意義，則\(x^2-2x-3\gt0\)，即\((x-3)(x+1)\gt0\)，解得\(x\lt-1\)或\(x\gt3\)，所以定義域為\((-\infty,-1)\cup(3,+\infty)\)。2.已知等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_3=5\)，\(a_5=9\)，求\(a_n\)的通項公式。-答案：設等差數列公差為\(d\)，\(d=\frac{a_5-a_3}{5-3}=\frac{9-5}{2}=2\)，\(a_1=a_3-2d=5-2\times2=1\)，所以\(a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1\)。3.求曲線\(y=x^3\)在點\((1,1)\)處的切線方程。-答案：對\(y=x^3\)求導得\(y^\prime=3x^2\)，當\(x=1\)時，\(y^\prime=3\)，即切線斜率為3。由點斜式得切線方程為\(y-1=3(x-1)\)，即\(3x-y-2=0\)。4.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(3,4)\)，求\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)。-答案：根據向量數量積坐標運算公式，若\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec{b}=(x_2,y_2)\)，則\(\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2\)。所以\(\vec{a}\cdot\vec{b}=1\times3+2\times4=3+8=11\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數\(y=\frac{1}{x}\)在定義域內的單調性。-答案：\(y=\frac{1}{x}\)定義域為\((-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)。在\((-\infty,0)\)上，任取\(x_1\ltx_2\lt0\)，\(f(x_1)-f(x_2)=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}=\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}\gt0\)，即\(f(x_1)\gtf(x_2)\)，所以在\((-\infty,0)\)單調遞減；同理在\((0,+\infty)\)也單調遞減。2.討論直線與圓的位置關系有哪些判斷方法。-答案：一是幾何法，計算圓心到直線的距離\(d\)，與圓半徑\(r\)比較，\(d\gtr\)時相離，\(d=r\)時相切，\(d\ltr\)時相交；二是代數法，聯立直線與圓的方程，消元得一元二次方程，根據判別式\(\Delta\)判斷，\(\Delta\lt0\)相離，\(\Delta=0\)相切，\(\Delta\gt0\)相交。3.討論在解析幾何中如何求三角形面積。-答案：常見方法有，若已知三角形頂點坐標，可利用行列式或割補法求面積；若已知底和高，直接用\(S=\frac{1}{2}\times底\times高\)；若在圓錐曲線中，常結合弦長公式求底邊長，再根據點到直線距離公式求高來計算面積。4.討論如何利用導數研究函數的極值。-答案：先求函數\(f(x)\)的導數\(f^\prime(x)\)，令\(f^\prime(x