熱點12直線與平面的位置關系年份202220232024角度題號角度題號角度題號新高考Ⅰ卷線線角與線面角的求解9————新高考Ⅱ卷————直線與平面所成的角7考向一空間線面位置關系的判斷【典例1】(2024·天津高考)若m,n為兩條直線,α為一個平面,則下列結論中正確的是(C)A.若m∥α,n?α,則m∥nB.若m∥α,n∥α,則m∥nC.若m∥α,n⊥α,則m⊥nD.若m∥α,n⊥α,則m與n相交【審題思維】將數學符號語言轉化為圖形語言,結合空間中直線與平面的位置關系及相應的定理進行判斷.【題后反思】1.空間兩直線位置關系的判定方法2.異面直線判定的一個定理過平面外一點和平面內一點的直線,與平面內不過該點的直線是異面直線.用符號可以表示為:若l?α,A?α,B∈α,B?l,則直線AB與l是異面直線(如圖).【提醒】(1)利用空間位置關系的判定和性質定理時,忽視條件導致錯用定理;(2)不熟悉特殊幾何體的結構特征,不能靈活利用幾何體中的平行與垂直關系.【典例2】(一題多解)(2022·全國乙卷)在正方體①ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為AB,BC的中點②,則(A)A.平面B1EF⊥平面BDD1 B.平面B1EF⊥平面A1BDC.平面B1EF∥平面A1AC D.平面B1EF∥平面A1C1D【審題思維】①靈活利用正方體的結構特征,也可以建立空間直角坐標系檢驗兩個平面的平行與垂直②EF∥AC,四個選項都是判斷平面B1EF與各個平面的平行、垂直,故應抓住幾何體中的平行、垂直關系,逐個判斷【題后反思】判斷空間位置關系命題真假的三種方法(1)定理法:借助空間線面平行、面面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理和性質定理進行判斷.(2)模型法:借助空間幾何模型,如從長方體、四面體等模型中觀察線面位置關系,結合有關定理,進行判斷.(3)向量法:通過建立空間直角坐標系,求出直線的方向向量和平面的法向量,將空間線面位置關系的判斷轉化為向量共線、垂直的判斷.考向二線線角與線面角的求解【典例1】(2024·新高考Ⅱ卷)已知正三棱臺ABC-A1B1C1的體積為523①,AB=6,A1B1=2,則A1A與平面ABC所成角②的正切值為(A.12 B.1 C.2 D.【審題思維】①根據臺體的體積公式計算正三棱臺的高②作出直線與平面所成的角,然后通過解直角三角形求其正切值【題后反思】求斜線與平面所成角的基本步驟(1)尋找過斜線上一點與平面垂直的直線,或過斜線上一點作平面的垂線,確定垂足的位置;(2)連接垂足和斜足得到斜線在平面內的射影,斜線與其射影所成的銳角即為所求的角;(3)將該角歸結為某個三角形的內角(一般是直角三角形),通過解三角形(可能需要解多個三角形)求得該角或其三角函數值.【典例2】(多選題)(2022·新高考Ⅰ卷)已知正方體ABCD-A1B1C1D1,則(ABD)A.直線BC1與DA1所成的角為90°B.直線BC1與CA1所成的角為90°C.直線BC1與平面BB1D1D所成的角為45°D.直線BC1與平面ABCD所成的角為45°【審題思維】選項AB通過證明線線垂直求得兩直線的夾角為90°選項CD作出相應直線與平面所成的角,解三角形即可【題后反思】求解線線角和線面角的常用結論(1)異面直線所成的角的取值范圍為(0,π2];(2)直線和平面所成角的取值范圍為[0,π2](3)直線l1,l2的夾角θ有cosθ=|cosl1,l2|(其中l1,l2分別是直線l1,l2的方向向量);(4)直線l與平面α的夾角θ有sinθ=|cosl,n|(其中l是直線l的方向向量,n是平面α的法向量).【真題再現】1.★★☆☆☆(2024·全國甲卷)已知α,β是兩個平面,m,n是兩條直線,α∩β=m.下列四個命題:①若m∥n,則n∥α或n∥β②若m⊥n,則n⊥α,n⊥β③若n∥α,且n∥β,則m∥n④若n與α和β所成的角相等,則m⊥n其中,所有真命題的編號是(A)A.①③ B.②③ C.①②③ D.①③④2.★★★☆☆(2023·全國乙卷)已知△ABC為等腰直角三角形,AB為斜邊,△ABD為等邊三角形,若二面角C-AB-D為150°,則直線CD與平面ABC所成角的正切值為(C)A.15 B.25 C.35 D3.★★★☆☆(2022·全國甲卷)在長方體ABCD-A1B1C1D1中,已知B1D與平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均為30°,則(D)A.AB=2ADB.AB與平面AB1C1D所成的角為30°C.AC=CB1D.B1D與平面BB1C1C所成的角為45°【模擬精選】1.★★☆☆☆(2024·杭州模擬)下列命題中錯誤的是(D)A.如果平面α⊥平面β,那么平面α內一定存在直線平行于平面βB.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α內一定不存在直線垂直于平面βC.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γD.如果平面α⊥平面β,那么平面α內所有直線都垂直于平面β2.★★★☆☆(2024·安慶三模)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點E,F分別為棱AB,AD的中點,過E,F,C1三點作該正方體的截面,則(B)A.該截面多邊形是四邊形B.該截面多邊形與棱BB1的交點是棱BB1的一個三等分點C.A1C⊥平面C1EFD.平面AB1D1∥平面C1EF3.★★★☆☆(2024·武漢模擬)如圖所示是一個以AB為直徑,點S為圓心的半圓,其半徑為4,F為線段AS的中點,其中C,D,E是半圓圓周上的三個點,且把半圓的圓周分成了弧長相等的四段,若將該半圓圍成一個以S為頂點的圓錐的側面,則在該圓錐中,下列結論正確的是(C)A.△CEF為正三角形B.SA⊥平面CEFC.SD∥平面CEFD.點D到平面CEF的距離為234.★★★☆☆(2024·商洛模擬)如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長是2,側棱長是23,M為A1C1的中點,N是側面BCC1B1內的動點,且MN∥平面ABC1,則點N的軌跡的長度為(B)A.6 B.2 C.2 D.45.★★★☆☆(2024·商洛模擬)如圖,四邊形ABCD是圓柱的軸截面,E是底面圓周上異于A,B的一點,則下面結論中錯誤的是(D)A.AE⊥CE B.BC∥平面ADEC.平面ADE⊥平面BCE D.DE⊥平面BCE6.★★★★☆(多選題)(2024·晉中模擬)如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,G為BB1的中點,則下列結論正確的有(ABC)A.CG與A1C1所成角的余弦值為10B.DB1與平面A1BC1的交點H是△A1BC1的重心C.三棱錐D1-BB1C1的外接球的體積為43πD.BB1與平面A1BC1所成角的正弦值為67.★★★☆☆(2024·滄州模擬)在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=3,點P為A1D1的中點,點M為四邊形ABCD內一點,且PM=MC,則直線PM與平面ABCD所成角的正切值的最大值為

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【創新演練】1.★★★☆☆(2024·遂寧二模)如圖,菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O,EF是△BCD的中位線,AC與EF交于點G,已知△PEF是△CEF繞EF旋轉過程中的一個圖形,且P?平面ABCD.給出下列結論:①BD∥平面PEF;②平面PAC⊥平面ABCD;③二面角P-EF-C的平面角是直線OP與平面AB