熱點9三角恒等變換與解三角形年份202220232024角度題號角度題號角度題號新高考Ⅰ卷——簡單的三角恒等變換8簡單的三角恒等變換4新高考Ⅱ卷簡單的三角恒等變換6簡單的三角恒等變換7簡單的三角恒等變換13【考向一】簡單的三角恒等變換【典例1】(2024·新高考Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m①,tanαtanβ=2②,則cos(α-β)③=(A)A.-3m B.-m3 C.m3 D.【審題思維】①根據兩角和的余弦公式將①式展開②將②式進行切化弦,結合①的展開式分別求得cosαcosβ=-m,sinαsinβ=-2m③利用兩角差的余弦公式將③式展開,進而得解【題后反思】三角函數求值的類型及方法(1)“給角求值”:一般給出的角都是非特殊角,從表面來看較難,但非特殊角與特殊角總有一定關系.解題時,要利用觀察得到的關系,結合三角函數公式轉化為特殊角的三角函數,有時,雖不能轉化為特殊角,但可通過分子分母的約分、正負項的相互抵消等達到化簡求值的目的.(2)“給值求值”:給出某些角的三角函數值,求另外一些角的三角函數值,解題關鍵在于“變角”,使其角相同或具有某種關系.(3)“給值求角”:將其轉化為“給值求值”,關鍵也是變角,把所求角用含已知角的式子表示,由所得的函數值結合該函數的單調區間求得角,有時要壓縮角的取值范圍.【典例2】(2023·新高考Ⅰ卷)已知sin(α-β)=13,cosαsinβ=16①,則cos(2α+2β)②=A.79 B.19 C.-19 D【審題思維】①根據給定條件,利用和角、差角的正弦公式求出sin(α+β)②利用二倍角的余弦公式計算即可【題后反思】1.恒等變換常用結論(1)sin2α=1-cos2α2,cos2(2)1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α.(3)tanα±tanβ=tan(α±β)(1?tanαtanβ).2.恒等變換中的“三變”(1)變角:對角的拆分要盡可能化成同角、特殊角;(2)變名:盡可能減少函數名稱;(3)變式:對式子的變形一般要盡可能有理化、整式化、降低次數等.3.常見的“變角”技巧(1)單角變為和(差)角,如α=(α-β)+β,β=α+β2-(2)倍角變為和(差)角,如2α=(α+β)+(α-β)等.【提醒】(1)根據某一三角函數值求角時應注意角的范圍;(2)已知θ的某個三角函數值,求θ2的相應三角函數值時,常借助于半角公式sin2θ2=1-cosθ2,cos2θ2=1+cosθ2,tanθ2=sin【考向二】解三角形【典例1】(2024·全國甲卷)在△ABC中,內角A,B,C所對邊分別為a,b,c,若B=π3,b2=94ac,則sinA+sinC=(A.32 B.2 C.72 D【審題思維】由正弦定理將b2=94ac轉化為sinAsinC=49sin2B=13→由余弦定理得b2=a2+2ac·cosB→a2+c2=134ac→由正弦定理轉化為sin2A+sin2C=134sinAsinC=(sinA+sinC)2=sin2A+sin2C+2sinAsinC→最后開平方求得結果.【題后反思】1.利用余弦定理的變形判定角在△ABC中,c2=a2+b2?C為直角;c2>a2+b2?C為鈍角;c2<a2+b2?C為銳角.2.判斷角的范圍常用到的結論(1)a+b>c,a+c>b,b+c>a(兩邊之和大于第三邊);(2)大邊對大角;(3)在△ABC中,A+B+C=π,sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tan(A+B)=-tanC.3.解三角形的常見題型及求解方法(1)已知兩角A,B與一邊a,由A+B+C=π及asinA=bsinB=csinC,可先求出角(2)已知兩邊b,c及其夾角A,由a2=b2+c2-2bccosA,先求出a,再求出角B,C.(3)已知三邊a,b,c,由余弦定理可求出角A,B,C.(4)已知兩邊a,b及其中一邊的對角A,由正弦定理asinA=bsinB可求出另一邊b的對角B,由C=π-(A+B),可求出角C,再由asinA=csinC可求出c,而通過a【提醒】(1)邊角互化易出錯,如等式asinA-bsinB=csinC,有時將左邊化為角,而未兼顧到右邊.(2)角的范圍判斷是難點,有時不能根據條件求出角的范圍而致錯.【典例2】(2022·全國甲卷)已知△ABC中,點D在邊BC上,∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD①.當ACAB取得最小值②時,BD=

3-1【審題思維】①分別在兩個不同的三角形中利用余弦定理求相應邊長②將AC2AB2【題后反思】1.在△ABC中,已知a,b和A時,解的情況項目A為銳角A為鈍角或直角圖形關系式a=bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b解的個數一解兩解一解一解無解2.解三角形中的最值或范圍問題的五種解題技巧(1)利用基本不等式求范圍或最值;(2)利用三角函數求范圍或最值;(3)利用三角形中的不等關系求范圍或最值;(4)根據三角形解的個數求范圍或最值;(5)利用二次函數求范圍或最值.先建立所求量(式子)與已知角或邊的關系,然后把角或邊作為自變量,所求量(式子)的值作為函數值,將原問題轉化為求函數的值域問題.這里要利用條件中的范圍限制以及三角形自身的范圍限制,要盡量把角或邊的范圍(也就是函數的定義域)找完善,避免結果的范圍過大.【真題再現】1.★☆☆☆☆(2024·全國甲卷)已知cosαcosα-sinα=3,則tan(αA.23+1 B.23-1 C.32 D.1-2.★☆☆☆☆(2023·新高考Ⅱ卷)已知α為銳角,cosα=1+54,則sinα2=A.3-58 B.-1+58 3.★☆☆☆☆(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α+β)+cos(α+β)=22cosα+π4sinβ,則A.tan(α-β)=1 B.tan(α+β)=1C.tan(α-β)=-1 D.tan(α+β)=-14.★★☆☆☆(2024·新高考Ⅱ卷)已知α為第一象限角,β為第三象限角,tanα+tanβ=4,tanαtanβ=2+1,則sin(α+β)=-223【模擬精選】1.★☆☆☆☆(2024·揚州模擬)已知tanα=3,則sin2α+sin2α=(B)A.-32 B.32 C.14 D2.★★☆☆☆(2024·泉州模擬)已知sin(α-β)=2cos(α+β),tan(α-β)=12,則tanα-tan=(C)A.35 B.53 C.45 3.★★☆☆☆(2024·九江三模)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知2c-a=2bcosA,則B=(B)A.π6 B.π3 C.2π34.★★☆☆☆(2024·貴州模擬)如圖,甲秀樓位于貴州省貴陽市南明區甲秀路,是該市的標志性建筑之一.甲秀樓始建于明朝,后樓毀重建,改名“來鳳閣”,清代甲秀樓多次重修,并恢復原名,現存建筑是宣統元年(1909年)重建.甲秀樓上下三層,白石為欄,層層收進.某研究小組將測量甲秀樓最高點離地面的高度,選取了與該樓底B在同一水平面內的兩個測量基點C與D,現測得∠BCD=23°,∠CDB=30°,CD=11.2m,在C點測得甲秀樓頂端A的仰角為72.4°,則甲秀樓的高度約為(參考數據:tan72.4°≈3.15,sin53°≈0.8)(C)A.20m B.21m C.22m D.23m5.★★★☆☆(2024·太原三模)若sin2α=33,sin(β-α)=66,且α∈[π4,π],β∈[π,3π2],則cos(α+β)=(A.5+26 B.306 C.636.★★★☆☆(2024·西安模擬)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,c(sinA-sinC)=(a-b)(sinA+sinB),若△ABC的面積為34,周長為3b,則AC邊上的高為(BA.33 B.32 C.3 D.7.★★★☆☆(一題多解)(2024·重慶三模)已知函數f(x)滿足f(tanx)=1sin2x.若x1,x2是方程2024x2+x-2024=0的兩根,則f(x1)+f(x2)=0【創新演練】1.★★☆☆☆(2024·綿陽模擬)已知tan(α+β),tan(α-β)是函數f(x)=x2-6x+4的零點,則cos(3π2+2A.-25 B.-35 C.-710 D2.★★★☆☆(2024·昆明一模)早期天文學家常采用“三角法”測量行星的軌道半徑.假設一