小學奧數—抽屜原理(一)

先了解一下抽屜原理的概念，然后結合一些較復雜的抽屜原理問題，討論如何構造抽屜。

抽屜原理1將多于n件物品任意放到n個抽屜中，那末至少有一個抽屜中的物品不少于2件。

抽屜原理2將多于mxn件物品任意放到到n個抽屜中，那末至少有一個抽屜中的物品不少于(m+1)

件。

理解抽屜原理要注意幾點：

(1)抽屜原理是討論物品與抽屜的關系，要求物品數比抽屜數或者抽雇數的倍數多，至于多多少，這倒無妨。

12)“任意放”的意思是不限制把物品放進抽屜里的方法，不規定每一個抽屜中都要放物品，即有些抽

屜可以是空的，也不限制每一個抽屜放物品的個數。

[3)抽屜原理只能用來解決存在性問題，“至少有一個"的意思就是存在，滿足要求的抽屜可能有多個，

但這里只需保證存在一個達到要求的抽屜就夠了。

(4)將a件物品放入n個抽屜中，如果a+n=m……b,其中b是自然數，那末由抽屜原理2就可得到，至

少有一個抽屜中的物品數不少于(m+1)件。

例1五年級有47名學生參加一次數學競賽，成績都是整數，滿分是100分。已知3名學生的成績在60分以

下，其余學生的成績均在75~95分之間.問：至少有幾名學生的成績相同？

分析與解：關鍵是構造合適的抽屜,既然是問“至少有幾名學生的成績相同"，說明應以成績為抽屜，學生為

物品。除3名成績在60分以下的學生外，其余成績均在75、95分之間，75、95共有21個不同分數，將這

21個分數作為21個抽屜，把47-3=44(個)學生作為物品。

例2夏令營組織2000名營員活動，其中有爬山、參觀博物館和到海灘游玩三個項目。規定每人必須參加一

項或者兩項活動。那末至少有幾名營員參加的活動項目徹底相同？

分析與解：本題的抽屜不是那末明顯，因為問的是“至少有幾名營員參加的活動項目徹底相同"，所以應該把

活動項目當成抽屜，營員當成物品。營員數已經有了，現在的問題是應當搞清有多少個抽屜。

例3把125本書分給五(2)班學生，如果其中至少有1人分到至少4本書，那末，這個班最多有多少人？

分析與解：這道題一下子不容易理解，我們將它變變形式。因為是把書分給學生，所以學生是抽屜，書是物

品。本題可以變為：125件物品放入若干個抽屜，無論怎樣放，至少有一個抽屜中放有4件物品，求最多有

幾個油屜。這個問題的條件與結論與抽屜原理2正好相反，所以反著用抽屜原理2即可。

例4五（1）班X老師在一次數學課上出了兩道題，規定每道題做對得2分，沒做得1分，做錯得0分。X

老師說：可以肯定全班同學中至少有6名學生各題的得分都相同。那末，這個班至少有多少人？

分析與解：由“至少有6名學生各題的得分都相同"看出，應該以各題得分情況為抽屜，學生為物品。

例3與例4盡管都是求學生人數，但因為問題不同，所以構造的油屜也不同，例3中將學生作為抽屜，例4

中則將學生作為物品。可見利用抽屜原理解題，應根據問題靈便構造抽屜。普通地，當問“至少有多少xx"時,

應將xx作為物品，如例1,2,4;當問“最多有多少XX時，應將XX作為抽屜，如例3o

例5任意將若干個小朋友分為五組。證明：一定有這樣的兩組，兩組中的男孩總數與女孩總數都是偶數。

分析與解：因為一組中的男孩人數與女孩人數的奇偶性惟獨下面四種情況：

（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），［偶，偶）。

練習

1.某單位購進92箱桔子，每箱至少110個，至多138個，現將桔子數相同的作為一組，箱子數最多的一

組至少有幾箱？

2.幼兒園小朋友分200塊餅干，無論怎樣分都有人至少分到8塊餅干，這群小朋友至多有多少名？

3.有若干堆分幣，每堆分幣中沒有幣值相同的分幣。任意挑選多少堆分幣，才干保證一定有兩堆分幣的

組成是相同的？

4.圖書館有甲、乙、丙、丁四類圖書，規定每一個同學最多可以借兩本不同類的圖書，至少有多少個同

學借書，才干保證有兩個人所借的圖書類別相同？

5.我國人口已超過12億，如果人均壽命不超過75歲，那末我國至少有兩個人出生的時間相差不會超過

2秒鐘。這個結論是否正確？

6.紅光小學五(2)班選兩名班長。投票時，每一個同學只能從4名候選人中挑選2名。這個班至少應有

多少個同學，才干保證有8個或者8個以上的同學投了相同的2名候選人的票？

7.把135塊餅干分給16個小朋友，若每一個小朋友至少要分到一塊餅干，那末不管怎樣分，一定會有兩

個小朋友得到的餅干數目相同。為什么？

小學奧數一抽屜原理(二)

專題簡析:

練習2：

1、布袋里有組都多的5種不同顏色的球。至少取出多少個球才干保證其中一定有3個顏色一樣的球？

2、一個容器里放有10塊紅木塊、10塊白木塊、10塊藍木塊，它們的形狀、大小都一樣。當你被蒙上

眼睛去容器中取出木塊時,為確俁取出的木塊中至少有4塊顏色相同，應至少取出多少塊木塊?

3、一副撲克牌共54X,其中1—13點各有4X,還有兩X王的撲克牌。至少要取出幾X牌，才干保證其

中必有4X牌的點數相同？

例題3：

某班共有46名學生，他們都參加了課外興趣小組?；顒觾热萦袛祵W、美術、書法和英語，每人可參加

1個、2個、3個或者4個興趣小組。問班級中至少有幾名學生參加的項目徹底相同？

參加課外興趣小組的學生共分四種情況，只參加一個組的有4種類型，只參加兩個小組的有6個類型，

只參加三個組的有4種類型，參加四個組的有1種類型。把4+6+4+1=15（種）類型看做15個抽屜，把46

個學生放入這些抽屜，因為46=3X15+1,所以班級中至少有4名學生參加的項目徹底相同。

練習3：

1、某班有37個學生，他們都定閱了《小主人報》、《少年文藝》、《小學生優秀作文》三種報刊中的一、

二、三種。其中至少有幾位同學訂的報刊相同？

2、學校開辦了繪畫、笛子、足球和電腦四個課外學習班，每一個學生最多可以參加兩個（可以不參加）.

某班有52名同學，問至少有幾名同學參加課外學習班的情況徹底相同？

3、庫房里有一批籃球、排球、足球和鉛球，每人任意搬運兩個，問：在31個搬運者中至少有幾人搬

運的球徹底相同？

例題4：

從1至30中，3的倍數有304-3=10個，不是3的倍數的數有30—10=20個，至少要取出20+1=21個不

同的數才干保證其中一定有一個數是3的倍數。

練習4：

1、在1,2,3,……49,50中，至少要取出多少個不同的數，才干保證其中一定有一個數能被5整除?

2、從1至120中，至少要取出幾個不同的數才干保證其中一定有一個數是4的倍數？

3、從1至36中，最多可以取出幾個數，使得這些數中沒有兩數的差是5的倍數？

例題5：

將400X卡片分給若干名同學，每人都能分到，但都不能超過11X,試證明：找少有七名同學得到的卡

片的X數相同。

這題需要靈便運用抽屜原理。將分得1,2,3,……，11X可片看做11個抽屜，把同學人數看做元素，

如果每一個抽屜都有一個元素，則需1+2+3+……+10+11=66(X)卡片。而400+66=6……4(X：,即每一個

周體都有6個元素，還余下4X卡片沒分掉。而這4X卡片無論怎么分，都會使得某一個抽屜至少有7個元

素，所以至少有7名同學得到的卡片的X數相同。

練習5：

1、把280個桃分給若干只猴子，每只猴子不超過10個。證明：無論怎樣分，至少有6只猴子得到的

桃一樣多。

2、把61顆棋子放在若干個格子里，每一個格子最多可以放5顆棋子。證明：至少有5個格子中的棋

子數目相同。

3、汽車8小時行了310千米，已知汽車第一小時行了25千米，最后一小時行了45千米。證明：一定

存在連續的兩小時，在這兩小時內汽車至少行了80千米。

習題

1.木箱里裝有紅色球3個、黃色球5個、藍色球7個，若蒙眼去摸，為保證取出的球中有兩個球的顏

色相同，則至少要取出多少個球？

2.一幅撲克牌有54X,至少要抽取幾X牌，方能保證其中至少有3X牌有相同的點數？

3.有11名學生到老師家借書，老師的書房中有A、B、C、D四類書，每名學生最多可借兩本不同

類的書，至少借一本。試證明：必有兩個學生所借的書的類型相同

4.有50名運動員進行某個項目的單循環賽，如果沒有平局，也沒有全勝。試證明：一定有兩個運動

員枳分相問。

5.體育用品倉庫里有許多足球、排球和籃球，某班50名同學來倉庫拿球，規定每一個人至少拿1個球,

至多拿2個球，問至少有幾名同學所拿的球種類是一致的？

6.某校有55個同學參加數學競賽，已知將參賽人任意分成四組，則必有一組的女生多于2人，又知

參賽者中任何10人