第七章立體幾何

第1節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)和直觀圖

磨劍?爆前自學(xué)

課標(biāo)要求譽(yù)向分析

1.利用實(shí)粉、計(jì)算機(jī)軟件等視察空間

圖形，口識(shí)桂、錐、臺(tái)、球及簡(jiǎn)單坦

合體的結(jié)構(gòu)特征，能運(yùn)用這空特征描

空間幾何體是培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力的一個(gè)很好的載體，有單獨(dú)考杳的，如幾何體的識(shí)別，求距

述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu).

哀、賽面面根等，也有與體積、表面積結(jié)合考查的

2僂用斜二測(cè)畫法畫出簡(jiǎn)單空間圖形

（長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓健、橫柱及

其簡(jiǎn)單蛆合）的直觀圖

知識(shí)|清;ZHISHIQINGDAN

一、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

一1~贏1只「-秘上極、下都底」面什是里上柏普匕的多邊形，并且相互平行

而斗問(wèn)產(chǎn)而是任意外形

--------11~]L例而是有一個(gè)聲電二的三角形

,一,?■山千行于?面的平面翻根儺得到的底面

H-臺(tái)凡與極面之間的部分

L上、下底面息柯似的多邊影

二、空間幾何體的直觀圖

空間幾何體的直觀圖常用畫法策畫,基本規(guī)則是：

1.原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直,直觀圖中,X軸、y軸的夾角為45°（或135°）]軸與*即、y軸所在平面垂直.

2.原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中.平行于x軸和z軾的線段長(zhǎng)度在直觀圖中

不⑥，平行于y軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中.

拓展TUOZHANZHISHI

1.臺(tái)體可以看成是由椎體截得的，易忽視截面與底面平行且側(cè)核延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn).

2.斜二測(cè)畫法中的u三變"與"三不變"

“三變坐標(biāo)軸的夾角改變:②與y軸平行的線段的長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的■半:③圖形改變.

“三不變”:①平行性不變;②與x軸,z軸平行的境段長(zhǎng)度不變;③相對(duì)位置不改變.

KeCHAQUEBULQU

【概念辨析】

判斷下列結(jié)論的正誤.(對(duì)的打V”,錯(cuò)的打“才)

⑴有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.()

(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.()

(3)用斜二測(cè)畫法畫水平放置的時(shí)，若/人的兩邊分別平行于4軸和p軸，且//1=90°,則在直觀隆中/4=90°.()

(4)夾在兩個(gè)平行的平面之間,其余的面都是梯形:這樣的幾何體一定是棱臺(tái).()

答案⑴*(2)*(3)*(4)*

解析(1)錯(cuò)談.棱柱必須滿足所有側(cè)棱都平行且相等.

(2)錯(cuò)誤.棱錐必須滿足所有側(cè)面有一個(gè)公共質(zhì)點(diǎn).

(3)楮諜.在直觀圖中二4的兩邊分別平行x軸和y軸，故直觀圖中2/IN5°或/A=135°.

(4)錯(cuò)誤.棱臺(tái)必須滿足所有側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，

【基礎(chǔ)自測(cè)】

關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，下列說(shuō)法中不正碑的是().

A.棱柱的側(cè)梭長(zhǎng)都相等

B.棱鍵的側(cè)棱長(zhǎng)都相等

C.三棱臺(tái)的上、下底面是相似三角形

D.有的樓臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)都相等

B根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特征知卷錐的側(cè)模長(zhǎng)不一定都相等.

2.

如圖所示,三樓臺(tái)ABMBya中，沿面48。截去三樓錐4/日。,則剝余部分是().

A.三梭錐B.四棱錐

C.三棱臺(tái)D.四樓臺(tái)

B由施意知，剿余部分是四樓僂4-38CC故選B.

一水平放置的平面四邊形Q48c用斜二測(cè)畫法畫出它的直觀圖。為3。如圖所示,此直觀圖恰好是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，則原

平面四邊形048c的面積為.

2近因?yàn)橹庇^圖的面積是原圖形面積的學(xué)，且直觀圖的面積為1,所以原圖形的面積為2衣.

4

【易錯(cuò)檢測(cè)】

4.

B'

如圖所示，等腰自/3'C是心H8C的直觀圖，那么綺18。是().

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.鈍角三角形

B解，由新圖知,ACRy軸釉.由斜二測(cè)畫法知，在A/8c中/Cl|y軸軸,..AQ/18又

AC=A'B'v.AC=2AB^ABr^ABC是直角三角形.

5.從長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱上各取一點(diǎn)EAW不與頂點(diǎn)重合入過(guò)此三點(diǎn)作長(zhǎng)方體的截面，那么這個(gè)截面的形狀是().

A,銳角三角形B.矩形

C.平行四邊形D.正方形

A

悟劍?媒堂精講

6二'/三三

對(duì)應(yīng)學(xué)生書《自學(xué)聽(tīng)講》P132

|考點(diǎn)

KAODIANTANJIU

怎箱i>iWJL何體的結(jié)

例0(1)下列敘述中，正確的個(gè)數(shù)是().

①以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；

②以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)；

③圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓；

④用一個(gè)平面去截圓錐,一定能得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái).

A.OB.1C.2D.3

(2)下列關(guān)于棱臺(tái)的說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)為().

①所有的側(cè)棱交于一點(diǎn)；

②只有兩個(gè)面互相平行；

③上下兩個(gè)底面全等；

④所有的側(cè)面中不存在兩個(gè)面互相平行.

A.1B.2C.3D.4

分析(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的幾何特征即可判斷正誤.

(2)利用棱臺(tái)的定義與性質(zhì)判斷選項(xiàng)的正誤即可.

(1)B(2)C解析(1)。錯(cuò)誤，以直角三角形的一條直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周才可以得到圓

髭以斜邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體不是圓錐;②錯(cuò)誤，以直角梯形垂直二底邊的一腰所在直線為軸

旋轉(zhuǎn)一周才可以得到圓臺(tái);③正確;端誤，用平行于圓錐底面的平面截圓錐才可以得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)，故

港B.

(2)由棱臺(tái)的定義可知,所有的側(cè)枝交于一點(diǎn)，①正確;只有上、下底面互相平行，②正確;上下兩個(gè)底面相似

而非全等，③不正確;所有的側(cè)面中不存在兩個(gè)面互相平行,仞正確.故選C.

方法息tfi

解決與空間幾何體結(jié)構(gòu)特征有關(guān)問(wèn)題的技巧熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)基幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線

面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題亶判定.（2）通過(guò)反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，要說(shuō)明一個(gè)命題是鐳誤的，只要舉出一個(gè)反例即可.

【針對(duì)訓(xùn)練1】

給出下列命題：

。棱柱的側(cè)棱都相等制面都是全等的平行四邊形；

②存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體；

③樓臺(tái)的側(cè)樓延長(zhǎng)后交于一點(diǎn).

其中正確命題的序號(hào)是.

答案②③解析

①不正確，根據(jù)樓柱的定義，棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，但不一定全等;②正確，如圖，正方體中的三樓

唯G-/I8G,四個(gè)面都是直角三角形;③正確，由樓臺(tái)的概念可知.

%初空間兒何體的截面判斷

劭自己知正方體48co-48的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)￡戶分別是棱。iG,81G的中點(diǎn)，過(guò)￡尸作一平面a,

費(fèi)得平面司平面力則平面。截正方體的表面所得平面圖形為（）.

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

會(huì)析根據(jù)平面的性質(zhì)作出截面的圖形，然后判斷形狀.

D如圖所示，平面。是平面￡尸GAJK截面是六邊形，故選D.

我截面的依據(jù)是平面的性質(zhì)，判斷截面的形狀的關(guān)犍是作出做此而作威面的根據(jù)是確定戴點(diǎn)，有了位于多面體同一表面上的兩個(gè)微點(diǎn)，即可

連接龍截線,進(jìn)而得藏面.

【針對(duì)訓(xùn)練2】

在所有棱長(zhǎng)均為2的正三棱柱48c?4自。中式EG分別為48CG/C的中點(diǎn)，則羥過(guò)三點(diǎn)的截面是（）.

A,三角形B.梯形

C.四邊形D.五邊形

答案

B如圖，取BB、的中點(diǎn)為“連接FH、4石根據(jù)平面性所可知四邊形￡G戶”是梯形,故選B.

砥初）空間幾何做

D

:例?有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形（如圖所

示則這塊菜地的面積為.

2號(hào)解析過(guò)點(diǎn)工作4￡1的于點(diǎn)刊圖略），在中,484〃降考

仁

而四邊形百ECO為矩形乂。;，

..EC=AD=A.

BC=BE+EC^+A.

由此可還原直觀圖如圖所示.

在原圖形中4。'=1/夕=2,6。4，1,

且4OH6'C；A8：L8'C：

二這塊菜地的面積為S^A'D'+B'CyA'B^+1+￥）或=2殍.

［變靈&看若本例改為"481G是邊長(zhǎng)為。的正三角形，且“出。1是"8。的直觀圖"，則以8。的面積為多少？

如圖在"QG中油正弦定理

【針對(duì)訓(xùn)練3】

已知等腰梯形/8C0,上底。。=1,腰4?=^,下底4建3以下底所在直線為*軸，則由斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖

4萬(wàn)。。的面積為.

72

答案如圖所示,作出等腰梯形片8。的直觀圖.

因?yàn)?￡=J（近聲閆,所以0嗚E嗯.

則直觀圖力的面積S號(hào)號(hào)邛.

素養(yǎng)SUYANGDACHENG

直觀想象一空間幾何體的展開(kāi)問(wèn)題

空間幾何體的展開(kāi)問(wèn)題是立體幾何的主要問(wèn)題，這種方式的轉(zhuǎn)變是空間幾何體與平面幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)化的集中體現(xiàn).處理這類

例里的關(guān)鍵是抓住兩圖的特征關(guān)系,折疊問(wèn)題是立體幾何的一類典型問(wèn)題.是實(shí)踐能力與創(chuàng)新能力考查的好素材.而表面展開(kāi)問(wèn)題

是折疊問(wèn)題的逆向思維、逆過(guò)程,一般地，涉及多面體表面的問(wèn)題,解題時(shí)不妨將它展開(kāi)成平面圖形試一試.

第

C,

如圖，在正三棱柱48cHi61G中八8夕,刈1之行,。尸分別是棱AB.AA^的中點(diǎn)/為棱4C上的動(dòng)點(diǎn)，則心0回戶的周長(zhǎng)的最小值

故).

A.2及+2B.2V3*2

C.V6*2D."+2

答案D

R

:三棱柱/8C-48G為正三棱柱,.?48C為等邊三角形且加口平面48C.

S￡X=平面ABC,..AA^AD,.'.DF^/TT3^2.

把底面48C與側(cè)面ACCyAy在同■平面展開(kāi)，如圖所示:

當(dāng)0,￡尸三點(diǎn)共戰(zhàn)時(shí)，。三十斤取得最小值，

又zFAD^50。4戶時(shí)/。=1,

.(DE*￡^)mm=V4F2+AD2-2AFADcosFA9=j4-2y/3x卜爭(zhēng)巾

:&0E尸周長(zhǎng)的最小值為0，2,故選D.

【突破訓(xùn)練】

在三棱錐夕〃8。中,以=%=必眸乂0°,則從點(diǎn)A出發(fā)繞三棱檢表面一周后再回到點(diǎn)4的最短路程

為.

答案1OV5解析

將三棱鞋PXGC沿以展開(kāi)，展開(kāi)圖如圖所示.

則最短距離為44],由題意知外也4月0,/4以=120°,

所以明=10百.

高考真題GAQKAQZHENTI

1.

（2018年上海卷）《九章算術(shù)》中，稱底面為矩形而有一側(cè)棱垂直于底面的四棱催為陽(yáng)馬.設(shè)91是正六棱柱的一條側(cè)棱，如圖，若

陽(yáng)馬以該正六樓柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，以M為底面矩形的■邊,則這樣的陽(yáng)馬的個(gè)數(shù)是（）.

A.4B.8C.12D.16

答案D解析

如圖,若陽(yáng)馬的底面矩形為刖，88,則其頂點(diǎn)可以為￡白,0,01；

若陽(yáng)馬的底面矩形為/Wi巧6則其頂點(diǎn)可以為GG,0,0i；

若陽(yáng)馬的底面矩形為24GG則其頂點(diǎn)可以為D,Dy,F、F\；

若陽(yáng)馬的底面矩形為則其頂點(diǎn)可以為BBQ。.

故滿足題意的陽(yáng)馬有16個(gè).故選D.

（2019年全國(guó)健）中國(guó)有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)

期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形隹成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了

數(shù)學(xué)的對(duì)稱美用2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所看頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上,巨此正方體的棱長(zhǎng)為1.則該羋正

多面體共有個(gè)面，箕棱長(zhǎng)為

?1圖2

答案26V2-1解析

a

k/

由圖2知最上面是一個(gè)正方形，即1個(gè)面，其4條棱對(duì)應(yīng)4正方形，其4個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)4個(gè)三角形，共計(jì)9個(gè)面;4個(gè)正方形與4個(gè)三

為形分別對(duì)應(yīng)8個(gè)正方形，共計(jì)17個(gè)面.由半正多面體的對(duì)稱性可知，共17*9=26個(gè)面.

設(shè)小正方形的樓長(zhǎng)為a,則由題意知a.2釁，引,解得

亮劍?高效訓(xùn)練

?…二.…yf

對(duì)應(yīng)￡高效調(diào)練｝P59

N基礎(chǔ)打磨

用任意一個(gè)平面猿一個(gè)幾何體，各個(gè)猿面都是圓面，則這個(gè)幾何體一定是（）.

A.圓柱B.圓錐

C.球體D.圓柱、圓錐、球體的組合體

C解析截面是任意的且都是圓面則該幾何體為球體.

2.

（2020屆湖北省孝感市聯(lián)考）如圖,已知某BQ柱的底面周長(zhǎng)為12,高為2,矩形是該圓柱的軸截面,則在此圓柱的側(cè)面上，從月

到。的路徑中，最短路篌的長(zhǎng)度為（）.

A.2網(wǎng)B.2遙C.3D.2

A圓柱的惻面展開(kāi)圖是如圖所示的矩形,且矩形的長(zhǎng)為12,寬為2.

則在此圓柱惻面上從4到C的最短路徑為線段4C4CHF彳不=2回.

3.下列命題正確的是（）.

A.兩個(gè)面平行，其余各面都是梯形的多面體是樓臺(tái)

B.兩個(gè)面平行且相似,其余各面都是梯形的多面體是樓臺(tái)

C.直角梯形以一條直角膜所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)

D.用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形

答案C解析

如圖所示,可排除A、B選項(xiàng).對(duì)于D選項(xiàng)，只有截面與圓柱的母線平行或垂直時(shí)，截得的截面為矩形或圓，否則截面為橢圓或

桶圓的一部分.故選C.

4.已知一個(gè)圓椎底面半徑為1,母線長(zhǎng)為3,則該回錐內(nèi)切球的半徑為（）.

A.yB.1C.V2D.2

A

依題意，作出圓錐與球的軸戴面，如圖所示,設(shè)球的半徑為易知軸戴面三角形邊<8上的高為2a,因此竽壬解得等.

已知直三樓柱人8c49G的6個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，若48=3,4。4,4/人￡>1462,則球。的半徑為（）.

A.季B.2\fl0C.yD.3VI0

C

如圖,由球心作平面48c的垂線，則垂足為8c的中點(diǎn)例又4g序不不忘。嶼加1W,所以球0的半徑

R=0在胞/+62岑.

6.（本題為多項(xiàng)選擇題）以下命題中為真命題的是（）.

A.若棱柱被一平面所截，則分成的兩部分不一定是棱柱

B.有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫橫柱

C.有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的多面體一定是棱錐

D.當(dāng)球心到平面的距寓小于球面半徑時(shí)，球面與平面的交線總是一個(gè)圓

答案AD解析只有平行于底面的平面豉棱柱分成的兩部分一定是棱柱，故A正確；

有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行的幾何體叫梭柱，故B不正確；

有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的多面體不一定是模錐,由三棱錐的定義可知，其余備面都是共有同一個(gè)頂點(diǎn)的三角

秋故C不正碉；

當(dāng)晚心到平面的距離小于球面半徑時(shí)，球面與平面的交線總是—個(gè)?I,故D正確.

綜上可得,AD正確.

7（2020屆江蘇模擬）已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為6,圓心角為g的扇形，則圓錐的高為（）.

A.V33B.V34C.V35D.6

C因?yàn)閭?cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為6,圓心角為g的扇形，所以圓錐的母線長(zhǎng)為6,設(shè)其底面半徑為。則;悠或口/*,

U（J

所以F,所以圓錐的高為質(zhì)RR5G.故選C.

8.

（2020屆四川樂(lè)山市第一次調(diào)研）如圖所示，用一邊長(zhǎng)為蜴的正方形硬紙,按各邊中點(diǎn)垂直折起四個(gè)小三角形,做成一個(gè)里巢，將體

現(xiàn)為專的雞蛋（視為球體）放入其中，蛋集形狀保持不變，則雞蛋腐蛋集底面的最短距禹為（）.

A粵B粵

"TnV3-1

D因?yàn)榈俺驳牡酌媸沁呴L(zhǎng)為1的正方形,所以過(guò)四個(gè)頂點(diǎn)截雞蛋所得的截面S3的直徑為1.又因?yàn)殡u蛋的體

根為與，所以球的半徑為1,所以球心到截面的距離d=回耳，故截面到球體最低點(diǎn)的距離為1弓,而蛋巢的高度為故球體到蛋

第底面的最短距離為與岑.

（2020屆廣州模擬）正方體中,例聲分別是核DDy和88上的點(diǎn)，位片。。1,施38%那么正方體中過(guò)

的截面圖形是（）.

A.三角形B.四邊形

C.五邊形D.六邊形

答案C解析

先確定截面上的已知邊與幾何體上和其共面的邊的交點(diǎn)，再確定截面與幾何體的棱的交點(diǎn)會(huì)直級(jí)CMC。相交于點(diǎn)只直線

3NC8相交于點(diǎn)Q,

連接尸Q交直線力。于點(diǎn)￡交直線48于點(diǎn)F,

則五邊形&朋為所求截面圖形.

圓臺(tái)的兩個(gè)底面面積之比為49母線與底面的夾角是60°,軸截面的面積為180打.則圓臺(tái)的母線長(zhǎng)月）.

A.6V3B,6&C.12V3D.12

D設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為21則其下底面半徑為3。

可作圓臺(tái)的軸截面如圖所示：

其中DEIAB,CFLAB,ZDAE=ZCBF=^Q°,

.DE=GF=^r.AE=BF=r,EF=4r,

:軸截面面積S=S-EFCO+S-ADE+S，BFCRr陋Hr6E806保得

.閥線長(zhǎng)用40=24m2.

W能力拔高

11.下列說(shuō)法一定正確的是（）.

R.直角三角形繞其一邊旋轉(zhuǎn)形成圓惟

B.等邊三角形繞其一邊旋轉(zhuǎn)形成圓錐

C.平面截圓錐所得的圖形是圓

D.過(guò)圓錐頂點(diǎn)的截面圖形是等腰三角形

答至D解析直角三角形繞其斜邊旋轉(zhuǎn)形成的是兩個(gè)圓錐組成的組合體，故A錯(cuò)誤；

等邊三角形繞其一邊旋轉(zhuǎn)組成的是兩個(gè)圓隹組成的組合體，故B錯(cuò)誤；

平面截圓錐所得的圖形是圓虱橢圓或拋物線或雙曲線的一支，故C情誤；

圓錐的母線均相等，故過(guò)圓錐頂點(diǎn)的截面圖形是等腰三角形，故D正確.

2.（云南名校2020屆聯(lián)考）校長(zhǎng)為2的正方體.48CD-48G中,EQG分別是48,4。8G的中點(diǎn)，那么正方體內(nèi)過(guò)￡；EG

的藏面面積為（）.

A.3企B.3百C.2百D.2x/z

B分析正方體結(jié)構(gòu)可以得知,該截面為一個(gè)邊長(zhǎng)為夜的正六邊形，其面枳為6邛故選B.

3.如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A\B\C\D\中，8=3,8C=2,g=1,則線段BCh的長(zhǎng)是（）.

A.V14B.2V7C.28D.3V2

A解析BD\5MBz+AD?+刈R(shí)9+4+1故選A.

設(shè)球。是正方體ABCD-ABCiR的內(nèi)切球,若平面ACD.截球。所得的截面面積為6TT,則球。的半徑為（）.

A.1B.3C.yD.V3

答案B解析

如圖，易知8。過(guò)球心。且801平面47。,不妨設(shè)垂足為“正方體棱長(zhǎng)為a,則球羋徑/?4,易知

截面圓半徑尸、府◎外￥國(guó)由截面圓面積得理日=\后,日寸,.球。的半徑為華=3.

X\Z/t>oZ

區(qū)思維拓展

（湖南長(zhǎng)沙市2020屆高三月考）圓錐的母線長(zhǎng)為2,其惻面展開(kāi)圖的中心角為。弧度，過(guò)圓錐頂點(diǎn)的截面中湎積的最大值為2.

則6的取值范圍是（）.

A.[V2TT,2TT）B.[n,72n]

C.{>/2n}D.愕m）

答案A解，設(shè)軸轂面的中心角為G過(guò)圓錐頂點(diǎn)的截面的頂角為￡且廬a

過(guò)圓錐頂點(diǎn)的截面的面積為或咫in/?=2Sin網(wǎng)

又過(guò)圓錐頂點(diǎn)的磁面中，面積的最大值為2,

故此時(shí)叫做新a<m

圓錐底面半徑Wsin*[及,2）,

故側(cè)面展開(kāi)圖的中心角為。弧度網(wǎng)善=2nsin*（6n,加）.

（2020屆湖北部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考）如圖,已知四面體，8C。為正四面體,匈3=2石尸分別是47,8C為中點(diǎn).若用一個(gè)與直線守垂

直，且與四面體的每一個(gè)面都相交的平面。去截該四面體，由此得到一個(gè)多邊形截面，則該多邊形敬面面積的最大值為（）.

A.1B.V2C.百D.2

A解析

將四面體48C0補(bǔ)成正方體，如圖所示.

:日二％截面為平行四邊形MNKL,可得NK+KLQ

又MN\AD,KL\BC,且AD±BC,..KNiKL,

可得=/vx/as（畔今2=1,當(dāng)且，又當(dāng)Mf=/a時(shí)取等號(hào)，故選A.

L

第2節(jié)空間幾何體的表面積與體積

磨劍?源前自學(xué)

對(duì)應(yīng)學(xué)生書《自學(xué)聽(tīng)講2P133

高考GAOKAODONGTAI

諛標(biāo)要求考向分析

知道球、棱柱、棱1規(guī).則幾何體的表面稹與體積.

錐、梗臺(tái)的表面枳和體枳2組.合體的表面積與體枳.

的計(jì)算公式.能用公式解決3.體積中的最值問(wèn)談.

簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題4空.間幾何體的切接問(wèn)題

知識(shí)ZHISHIOINGDAN

一、幾何體的表面積

1.棱柱、棱鍍、樓臺(tái)的表面積就是各個(gè)面的面積之和.

2.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的惻面展開(kāi)圖分別是矩形、扇形、一環(huán).

3,若圓柱,圓錐的底面半徑為A母線長(zhǎng)為《則其表面積為5柱2113+2開(kāi)〃$程=.

4.若圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為八色母線長(zhǎng)為/則圓臺(tái)的表面積為S=_中_琢

5.半槎為々的球的表面積為.

二、幾何體的體積

1.%/Sh.

2.P慎體qs/z.

3.l/fj體l/團(tuán)臺(tái)小昭父)。

4.%=*TN.

■S

拓展TUOZHANZHISHI

1.與體積有關(guān)的幾個(gè)結(jié)論

(1)一個(gè)組合體的體積等于它的各部分體積的和或差.

(2)庭面面積及高都相等的兩個(gè)同類幾何體的體積相等.

2.幾個(gè)與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論

(1)正方體的梗長(zhǎng)為a球的半徑為尺

沸球?yàn)檎襟w的外接球廁2RNU

②若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R形

靖球與正方體的各楂相切，則2/?個(gè)5a

(2)若長(zhǎng)方體過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a,Ac,外接球的羋徑為尺則2立6EG.

(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3.1.

查缺CHAQUEBULOU

【概念辨析】

判斷下列結(jié)論的正誤.（對(duì)的打、匚錯(cuò)的打-2）

⑴椎體的體積等于底面面積與高之積.（）

（2）球的體積之比等于半徑比的平方.（）

（3）臺(tái)體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)健體的體積之差.（）

（4）已知球。的半程為用其內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)為a,則月號(hào)2（）

答案⑴*⑵*⑶，（4H

⑴錯(cuò)誤雉體的體積等于孑底面積*菽

（2）錯(cuò)誤.球的體積之比等于半徑比的立方.

（3）正聃,臺(tái)體是由一個(gè)錐體截去一個(gè)較小的椎體形成的，

（4）正確.若球?yàn)檎襟w的外接球網(wǎng)2R/a

【基礎(chǔ)自測(cè)】

1.已知圓錐的表面積等于12ncm2,其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則圓錐底面圓的半徑為（）.

A.1cmB.2cmC.3cmD.|cm

答案B解析SsAT/4+nr2/^3n/e=\2n,.=4,.：f=2cm.

2（2015年全國(guó)推）

卷九章算術(shù)3是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問(wèn)題、今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺,高五尺.問(wèn):積及為米幾何?”其

意思為:“在屋內(nèi)珞角處堆放米（如圖，米堆為一個(gè)EI椎的四分之一）,米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺，米堆的高為5尺,問(wèn)米堆的體積和堆放

的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米約有（）.

A14斛B22斛C.36M666斛

B斛，,設(shè)圓錐底面半徑為視觸如=8（尺），所以嶗尺），所以米堆的體積為另*3巖了對(duì)等立方尺），故堆放

的米約為竽*.62=22（斛）.

3.平面。截球。所得截面圓的半徑為1,球心。到平面a的距離為&，則此球的體積為（）.

A.廝B.4V3nC.4V6TTD.6百開(kāi)

B解析設(shè)球的半徑為/?,由球的被面性質(zhì)得/?水涼鼻子療，所以球的體積看TT斤H6m

【易錯(cuò)檢測(cè)】

若明錐的側(cè)面積是底面積的2倍,則其母線與度轉(zhuǎn)軸所成角的大小是.

普豐I設(shè)圓錐的母線與旋轉(zhuǎn)軸所成角為8,由題意得用腳上2凡所以sin若毛即練.

故母線與軸所成角的大小吃

5.

h

cl-------ID

如圖，直角梯形48C0中/。若將該直角梯形繞SC邊旋轉(zhuǎn)一周，川所得的幾何體的寰面積

為.

答案（立#3）TT解析

B

根據(jù)通意可知，該幾何體的上半部分為圓僮（底面半徑為1,高為1）,下半部分為圓柱（底面半徑為1,高為1）,如圖所示，則所得

幾何體的表面積為圓錐的側(cè)面積、圓柱的側(cè)面積以及圓柱的下底面面積之和，即表面積為

IT*1*V12+l2*2n*12*n*12^Vz*3)n.

悟劍?課堂精講

務(wù),方）空間幾何體的表面方

:例仙1）已知四棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為4cm和8cm的正方形，側(cè)面是腰長(zhǎng)為8cm的等腰梯形,

則它的物面積為cm2.

（2）已知正三棱錐24SC的底面邊長(zhǎng)為6,PA所在直線與底面4SC所成的角為60。廁該三棱錐的側(cè)面積

為_(kāi)_______.

一（1）根據(jù)此四棱臺(tái)的惻面積是由四個(gè)面積全部相等的等腰梯形構(gòu)成，所以先求出等腰梯形的面積，從

而得到四棱臺(tái)的側(cè)面積.（2）畫出圖形，過(guò)尸作底面的垂線，垂足。落在底面正三角形的中心，得/以。求出AO,

即可求出4Z進(jìn)而得出側(cè)面積.

（1）48任（2）9廊解析

⑴如圖，在四棱臺(tái)ABCD-AyByC^中，過(guò)&作&危6&垂足為￡在4中8戶-質(zhì)示之而cm,

所以梯形BC6B1的面積8鳥(niǎo)M8。田6）哈尸弓《8判或屈H2任cm2.

故四棱臺(tái)的側(cè)面積S=4S=I*12屈=48屈c(diǎn)m2.

（2）如圖，作AALSC于點(diǎn)因?yàn)槿庾凳辉?。為正三棱錐，所以。為8c的中點(diǎn)，連接尸則PD?過(guò)

點(diǎn)9作271平面/18G則點(diǎn)。為正三角形的中心，點(diǎn)。在47上，

所以/%。=60。,正三角形的邊長(zhǎng)為6,則4。//^矛=3后,

40=plO=2百,。。力氏所以P0=A04an60。=6,

斜高PD^JPO2+OD2=^,

故三棱錐的側(cè)面積為SW弓粉酒中歷.

方法手結(jié)

分別求出各例面的面枳，則幾何體的例面積為各惻面的面枳之和.

【針對(duì)訓(xùn)練1】

1,

如圖，已知四棱錐PX8CD的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，血底面。，陽(yáng)則四棱錐P/8C0的惻面積為

2+2向：故底面48CQ8Cm平面ABCD,.PD1BC.

又BCLCDFSCD二DFDCDc平面PCGSCl平面PCD,

;P8平面PCD"BC'PC、

同理可得BALAP,

..四樓倦的側(cè)面積為S竽DADRFAAB部:B*PDCDH嶇曲e2底

2.

（2018遼寧沈陽(yáng)三模）幺九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中提到了一種名為的襄”的五面體（如圖）:底面48。

為矩形，棱閉在此幾何體中力8=4,￡尸4J4。￡和43C5都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則此幾何體的表面積為（），

A.8V3B.8用百

C.6a*2百D.8*6V2*2^

答案B

過(guò)點(diǎn)尸作尸g平面A8C0,垂足為。，取8C的中點(diǎn)尸，連接尸尸,。尸,過(guò)點(diǎn)尸作尸Q148,垂足為Q連接0Q.T4宏和08b

都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形…0P與AB-ERXEFXQQ?C=KQFNPF-OPZ*,FQ=yjOF?+0Q2$模彩EFSA=S?

影EFCD^*(2*4)*百=3百.

又S，BCF=S-ADE*或2=百,S矩形ABCD=4或4,

.,.該幾何體的表面積S=36*2W5或用=8用百.

為成)空間幾何體的體積

考向1:直接法求體積

例自⑴在梯形H8C。中,“6CgHq|8G8C=247=2月6=2.將梯形A8C0統(tǒng)4?所在的直線旋轉(zhuǎn)一周

形成的曲面所圍成的幾何體的體積為().

A當(dāng)B等C.,D.2TT

(2)在棱長(zhǎng)為3的正方體中戶在線段8。上，且就弓”為線段8G上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱椎

，懷陽(yáng)C的體積為.

(1)畫出空間幾何體的直觀圖，然后根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征代入體積公式求解.(2)根據(jù)比例求出三棱

篋的高，然后求△朋8c的面積，代入體積公式得出結(jié)論.

(1)C(2)|解析

中

力

?…i…?、?

A'-

(1)過(guò)點(diǎn)C作跳垂直力。所在直線于點(diǎn)三梯形ABCD繞/。所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體是由以線

段46的長(zhǎng)為底面圓半徑，線段為母線的圓柱挖去以線段CE的長(zhǎng)為底面圓的半徑,為高的圓椎,如圖所

示.

由于l/圓柱寺/田?女”TTM2或=2仃，

卜圓椎4小第，0￡」11*12?2-1)三，

JJJ

所以該幾何體的體積HVQB枝-/圓糧女開(kāi)？^^故選C.

⑵:母卷,?，點(diǎn)尸到平面mGC的距離是點(diǎn)。到平面MGC距離的士

即三棱錐P-MBC的高加蜉＜

為線段8G上的點(diǎn)，

.SMBC=

■.VM-PBC=VP-MBC^4W弓.

考向2;轉(zhuǎn)化法求體積

:例?如圖，在三棱柱ABC-AyByCy中戶43c是邊長(zhǎng)為4的正三食形，惻面8BGC是矩形QE分別是線段BBy,ACi的中

⑴求證：。￡||平面A8C,

(2)若平面48cL平面88iGC88i=10,求三棱錐4。綏的體積.

(1)設(shè)47的申點(diǎn)為“連接由申位線定理得陽(yáng)即證得平行四邊形EHBD,于是宿砥即證

專線面平行；

解析

(1)如圖，設(shè)4C的中點(diǎn)為H連接

BD\CG.BD=GG,gCCi,fCGj.hEQBD,

..四邊形是平行四邊形,.力國(guó)|￡?工

又平面ABQDBt^/坎?,.:。目|平面ABC.

⑵E是線段"1的中點(diǎn)，連接g則以2=心8=%小昌匕3昌*35分10網(wǎng)等.

考向3：分割法求體積

〔例0

如圖，在多面體工所"?￡戶中，己知四邊形46。是邊長(zhǎng)為1的正方形，且，/。￡八8”均為正三角形，&128曰之2,則該多面

球的體積為.

本地是不規(guī)則圖形.不能直接求解.轉(zhuǎn)化也不方便，可以通過(guò)割補(bǔ)法求解.

答案?解析

如圖，分別過(guò)點(diǎn)A8作尺的垂線，垂是分別為G,及連接0G,C〃易求得EG=g、AG=GD=BH=HC持酈8HC中8c邊

的高松系.5460=5?8?*釁*14,

LLL4

.,.V多面體=%“￡>(?，VF.&HC+VAQPSMQ^2.V^QQ*-VAQ^-QHQ招

方法總仲

1.若所給的幾何缽是規(guī)則幾何體，則可直接利用公式進(jìn)行求其表面積與缽積.在求三棱械的體積時(shí),如果條件給出的底面和高不好計(jì)算,可以考

慮轉(zhuǎn)換三技惟的底面或高進(jìn)行求解.

2.若所給的幾何體不規(guī)則，則可用分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解.

【針對(duì)訓(xùn)練2】

1.

如圖所示,正方體ABCD-AyB^Ch的核長(zhǎng)為1,￡戶分別為線段44BC上的點(diǎn)，則三棱椎Oi-￡0戶的體積為

三梭帷。-以加的體積即為三極錐后叩E的體積.因?yàn)镋尸分別為上的點(diǎn)，所以△￡叩的面積

O

為定值;，戶到平面的距離為定值1，所以hpP[EWp「EDP

2.

如圖,49=8,8C=10/C=6,。0平面48C且4日卬|改8。=3尸04/￡=5.求此幾何體的體積.

用“補(bǔ)形法”把原幾何體補(bǔ)成一個(gè)直三棱柱，使力'二88三GC'=8,所以V幾何體41/,柱，xS/wcWg或4裕柳.

A'

為新求球的表面積、體枳

【例白在封閉的直三棱柱/8C-48G內(nèi)有一個(gè)體積為卜的球.若力,加1=3,則卜的最

大值是（

A.4TTB.yC.6uD.等

要使球的體積最大油體積公式可知，只需半徑最大，然后根據(jù)幾何關(guān)系求出半徑.

B解析由得4CH0,要使球的體積1/最大，則球與直三棱柱的部分面相切,

若球與三個(gè)側(cè)面相切，設(shè)底面心48c的內(nèi)切圓的半徑為。貝心對(duì)毋鳥(niǎo)可6用+10)7；則k2,

此時(shí)2廣4>3,不合題意.

因此當(dāng)球與三棱柱的上、下底面相切時(shí)，球的半徑/?最大.由2/?=3,得月與故球的最大體積片TT斤3仃.

故選氏

:5^KH(1若本例中的條件變?yōu)椤爸比庵鵄BC-AxByCy的6個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上"若a8=3,ZCM,48i>lG44iN2,

求球。的衰面積.

解桁將直三棱柱補(bǔ)形為長(zhǎng)方體/8EC48EC(圖略)，

則球。是長(zhǎng)方體口EC的外接球，

,；長(zhǎng)方體對(duì)角線8c的長(zhǎng)為球0的直徑.

因此2-R32+42+122=13,

故S球=4TT#669TT.

:交夷0月電若本例中的條件變?yōu)椤罢睦庑捻旤c(diǎn)都在球。的球面上"，且該棱錐的高為4,底面邊長(zhǎng)為2,求該球的體積.

解析

如圖,設(shè)所求球心為Q半徑為r.

則在RMA0尸中,(4力2*/)2可e,解得r2

則球。的體積7手嗚口咽『爺?

方法總結(jié)

(1)與球有關(guān)的蛆合體問(wèn)題「種是內(nèi)切，一種是外接.球與旋新體的組合體通常是作它們的軸俄面來(lái)儲(chǔ)題;以與多面體的組合，通過(guò)多面體的一

條側(cè)棱和球心，或“切點(diǎn)”-接點(diǎn)?作出截面圖.把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題.

(2)若球面上四點(diǎn)￡48,C中，外尸8尸C兩兩垂直或三棱惟的三條ft!棱兩兩垂直，則可聞過(guò)補(bǔ)形構(gòu)造長(zhǎng)方體或正方體確定直徑,進(jìn)而解決外接

問(wèn)題.

［針對(duì)訓(xùn)練3】

已知48是球。的球面上兩點(diǎn)"408*0°,。為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐0/8C體積的最大值為36,則球。的表面積為

().

A.36nB.64TTC.144nD.2561T

C因?yàn)榈拿娣e為定值所以當(dāng)。。筵直于平面408時(shí)，此時(shí)三棱帽的高為尺三棱椎0X8。的體積取

W最大值.由不用?=36彳號(hào)/?巧.從而球。的表面積S=4TTq=144TT.

SUYANGDACHENG

數(shù)學(xué)運(yùn)算——體積中的最值問(wèn)題

體積中的最值問(wèn)題是近年來(lái)高考考查的熱點(diǎn)內(nèi)容之■，立體幾何中的最值問(wèn)題涵蓋了長(zhǎng)度、面積、體枳等最值問(wèn)理,命題的

方式多祥,常用到函數(shù)、基本不等式等進(jìn)行解答.