江蘇省淮安市高中校協作體2024?2025學年高二下學期期中聯考數學試題一、單選題1．如圖，在空間四邊形中，，，，且，，則等于（

）

A． B．C． D．2．設，則（）A．-2 B．-1 C．0 D．13．已知隨機變量，若，則（）A． B． C． D．4．已知空間向量，，，若向量共面，則實數的值為（

）.A．9 B．10 C．11 D．125．在某次無人機燈光表演秀中，有8架無人機排布成如下圖形式，已知每架無人機均可以發出紅、黃、藍3種顏色的光，編號1至5號的無人機顏色必須相同，編號7、8號的無人機顏色必須相同，編號6號的無人機與其他無人機顏色均不相同，則這8架無人機同時發光時，一共可以有（

）種燈光組合.A．18 B．15 C．12 D．96．關于空間向量，以下說法正確的是（

）A．若空間向量，則在的投影向量為B．若空間向量，滿足，則與夾角為銳角C．若直線l的方向向量為，平面的一個法向量為，則D．若對空間中任意一點O，有，則P，A，B，C四點共面7．某學校安排甲、乙、丙、丁、戊五人一周7天的值班工作，每天只有1人值班，甲要求星期一、星期日不值班，且連續3天值班，其他人員每人值班1天，則不同的安排方法種數為（

）A．72 B．96 C．108 D．1568．已知一個盒子里有5個大小形狀完全相同的小球，其中2個紅球，3個黑球，現從中任取兩球，若已知一個是紅球，則另一個也是紅球的概率是（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知A，B，C，D是空間直角坐標系中的四點，P是空間中任意一點，則（

）A．若與關于平面對稱，則B．若，則A，B，C，D共面C．若，則A，B，C，D共面D．若三點共線，則10．下列等式正確的是（

）A． B．C． D．11．若小明坐公交上班的用時（單位：分鐘）和騎自行車上班的用時（單位：分鐘）分別滿足，且同一坐標系中的密度曲線與的密度曲線在分鐘時相交，則下列說法正確的是（

）A．B．C．若的密度曲線與的密度曲線相交所對應的另一個時間為，則D．若要在34分鐘內上班不遲到，小明最好選擇坐公交三、填空題12．在正四面體中，點M在上，且，則異面直線與所成角的余弦值為13．甲、乙、丙、丁、戊、戌6名同學坐一排照相，若甲不坐在6個人的兩端，乙和丙相鄰，則不同的排列方式種數為14．已知兩個隨機事件，若，，，則.四、解答題15．2025年春節期間，全國各大影院熱映《哪吒之魔童鬧?！?、《唐探1900》、《封神2》、《射雕英雄傳》4部優秀的影片．現有4名同學，每人選擇這4部影片中的1部現看．（1）如果這4名同學選擇觀看的影片均不相同，那么共有多少種不同的選擇方法？（2）如果這4名同學中的甲、乙2名同學分別選擇觀看影片《哪吒之魔童鬧?！贰ⅰ斗馍?》，那么共有多少種不同的選擇方法？（3）如果這4名同學中恰有2名同學選擇觀看同一部影片，那么共有多少種不同的選擇方法？16．如圖，圓柱中，是底面圓上的一條直徑，，分別是底面，圓周上的一點，，，且點不與，兩點重合.

（1）證明：平面平面；（2）若二面角為，求直線與平面所成角的正弦值.17．二項式展開式前三項的二項式系數和為22.（1）求的值；（2）求展開式中各項的二項式系數和；（3）求展開式中的常數項及二項式系數最大的項.18．為促進山區扶貧事業的持續發展，某研究所為深入研究當地海拔因素對某種古茶樹產茶量的影響，在山上和山下的試驗田中分別種植了株和株古茶樹進行對比試驗.現在從山上和山下的試驗田中各隨機選取了4株作為樣本，每株采摘的茶葉量（單位：）如下表所示：編號位置①②③④山上5443山下4221（1）根據樣本數據，試估計山上試驗田古茶樹產茶的總產量；（2）記山上與山下試驗田古茶樹產茶量的方差分別為，根據樣本數據，估計與的大小關系（只需寫出結論）；（3）從樣本中的山上與山下古茶樹中各隨機選取1株，記這2株產茶量的總和為，求隨機變量的分布列和數學期望.19．如圖，在四棱錐中，底面，，，，，，為棱的中點．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）求點P到平面的距離．

參考答案1．【答案】C【詳解】因為，即為的中點，所以，因為，所以，.故選C.2．【答案】A【詳解】令易知，令可得，，所以.故選A.3．【答案】B【詳解】，解得，所以.故選B.4．【答案】B【詳解】因為向量，，共面，所以存在實數，使得.則可得.由，可列出方程組.由可得，將其代入中，得到.去括號得，移項合并同類項得，解得.將代入，可得.將，代入，可得.故選B.5．【答案】C【詳解】若發出2種光，則有種；若發出3種光，則有種，則共有種.故選C6．【答案】D【詳解】對于A，在的投影向量與共線，則投影向量的橫坐標為0，A錯誤；對于B，當夾角為0時，也滿足，B錯誤；對于C，，則，C錯誤；對于D，在中，，則P，A，B，C四點共面，D正確.故選D7．【答案】A【詳解】甲要求星期一、星期日不值班，且連續3天值班，則可以安排在（周二、周三、周四），（周三、周四、周五），（周四、周五、周六），共3種情況，剩下四個人進行全排列，安排在剩下4天，有種情況，則有種不同的安排方法.故選A.8．【答案】C【詳解】設事件A表示：在所取的球中有一個是紅球，事件B表示：另一個也是紅球，則，，所以所求事件的概率.故選C.9．【答案】BD【詳解】對于A，A與B關于平面對稱，則，故A錯誤；對于B，由共面向量定理易知得B正確；對于C，因為，故C錯誤；對于D，，因為A，B，C共線，所以共線，所以，所以，故D正確．故選BD．10．【答案】BCD【詳解】對于A，，顯然，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，，故D正確．故選BCD.11．【答案】BD【詳解】由題意易知坐公交的方差比騎自行車的方差大，即的密度曲線較矮胖，的密度曲線更瘦高，則的密度曲線在38分鐘后在的密度曲線的上方，可在同一坐標系中作出密度曲線，易知，故A錯誤；由原則可知，故B正確；根據條件可知兩種方式相應密度函數分別為：，，建立方程，整理可得，則，故C錯誤；易知，故D正確.故選BD12．【答案】【詳解】設棱長均為1,因為，所以，所以，所以.又.設異面直線與所成角為,則.13．【答案】144【詳解】乙和丙相鄰，那么乙和丙兩人之間的排列方式有種．甲不坐在個人的兩端，那么甲可選擇的位置有中間的個位置，所以甲的排法有種．此時相當于將乙丙整體、甲以及丁、戊、戌進行排列，已經排好了甲，還剩下個位置，乙丙整體和丁、戊、戌全排列的方式有種．所以不同的排列方式種數為種．14．【答案】【詳解】由可得，故,15．【答案】（1）24（2）16（3）144【詳解】（1）因為這4名同學選擇觀看的影片均不相同，所以不同的選擇方法共有種；（2）因為甲、乙2名同學選擇觀看的影片已確定，所以其余2人觀看影片的不同方法有種；（3）因為這4名同學中恰有2名同學選擇觀看同一部影片，所以不同的選擇方法有種.16．【答案】（1）證明過程見解析（2）【詳解】（1）因為是底面圓上的一條直徑，所以⊥，因為⊥底面圓，，所以⊥底面圓，因為底面圓，所以⊥，因為，平面，所以⊥平面，因為平面，所以平面⊥平面；（2）因為⊥底面圓，圓，所以⊥，⊥，所以為二面角的平面角，故，又，所以為等邊三角形，以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，，設，故，，，，，設平面的法向量為，則，解得，令，得，故，設直線與平面所成角的大小為，則，

直線與平面所成角的正弦值為.17．【答案】（1）6（2）64（3）常數項為960，二項式系數最大的項為【詳解】（1）展開式前三項的二項式系數和為22，或（舍），故的值為6.（2）展開式中各項的二項式系數和為.（3）設展開式中常數項為第項，即，令，得，，由題可得，展開式中最大的二項式系數為，展開式中二項式系數最大的項為第4項，即，綜上所述：常數項為，二項式系數最大的項為.18．【答案】（1）（2）（3）分布列見解析，【詳解】（1）由山上試驗田4株古茶樹產茶量數據，得樣本平均數，則山上試驗田株古茶樹產茶量估算為；（2）山上，山下試驗田古茶樹產茶量平均數分別為4和，故方差，，故；（3）依題意，隨機變量可以取，隨機變量的分布列為987654隨機變量的期望.19．【答案】（1）證明見解析（2）（3）