高級中學名校試題PAGEPAGE1上海2025屆高考數學模擬卷03一、填空題（本大題共12題，滿分54分．其中第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應在答題紙相應編號的空格內直接填寫結果．1．已知拋物線：y=px2（其中p為常數）過點A1,4【答案】1【解析】把A1,4代入y=px2所以焦點到準線的距離為182．不等式x-2<1的解集為【答案】1,3【解析】由x-2<1得-1<x故不等式x-2<1的解集為3．若等比數列ann∈N*滿足：a3+a5【答案】2【解析】因為等比數列ann∈N*則a6+a4．若向量a=3,2在向量b=4,0方向上的投影向量為c【答案】3【解析】向量a=3,2在向量b=則c=35．若sinα-π3【答案】-【解析】sinα故cosαsin=2cos6．一質點做垂直向上運動，該質點上升高度h（單位：m）與運動時間t（單位：s）的關系式為h=tet，當t=2s時，該質點上升高度的瞬時變化率為【答案】3【解析】由h=tet，求導得所以當t=2s時，該質點上升高度的瞬時變化率為3e27．三星堆古遺址作為“長江文明之源“，被譽為人類最偉大的考古發現之一．3號坑發現的神樹紋玉琮，為今人研究古蜀社會中神樹的意義提供了重要依據．玉琮是古人用于祭祀的禮器，有學者認為其外方內圓的構造，契合了古代“天圓地方”觀念，是天地合一的體現，如圖，假定某玉琮形狀對稱，由一個空心圓柱及正方體構成，且圓柱的外側面內切于正方體的側面，圓柱的高為12cm，圓柱底面外圓周和正方體的各個頂點均在球O上，則球O的表面積為【答案】216【解析】過圓柱的旋轉軸和正方體的一條側棱作截面，得截面圖如圖所示：不妨設正方體的棱長為2a，球О的半徑為R，則圓柱的底面直徑為2a因為正方體的體對角線即為球О直徑，故2R2=3×易知，截面中兩個矩形的對角線都是球的直徑，正方體的面對角線為22所以，由勾股定理得：122+2球的表面積為S=4π故答案為：2168．某站臺經過統計發現，一號列車準點到站的概率為13，二號列車準點到站的概率為34，一號列車準點到站或者二號列車不準點到站的概率為12，記“一號列車準點到站且二號列車不準點到站”為事件A，“一號列車不準點到站且二號列車準點到站”為事件B，則【答案】7【解析】記“一號列車準點到站”為事件M，“二號列車準點到站”為事件N，則PM=13，由PM+N則PM=P故PA而PN=PMN+則PA9．設雙曲線Ψ:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左焦點為F，右頂點為A，Ψ上一點P滿足【答案】2【解析】設Q0,a，因為三角形PAF的邊經過0,a而OA=OQ=a，故故yP=2所以a-22所以e2-2210．已知甲盒中有3個紅球2個白球，乙盒中有4個紅球1個白球，從甲盒中隨機取1球放入乙盒，然后再從乙盒中隨機取2球，記取到紅球的個數為隨機變量X，則X的期望為．【答案】2315/【解析】若從甲盒中隨機取到的為紅球且概率為35，則X的可能取值為1,2則P1(X若從甲盒中隨機取到的為白球且概率為25，則X的可能取值為0,1,2則P2(X=0)=C綜上，P(X=0)=25故E(11．有一直角轉彎的走廊（墻面與頂部都封閉），已知走廊的寬度與高度都是3米，現有不能彎折的硬管需要通過走廊，若不計硬管粗細，則可通過的最大極限長度為米.【答案】9【解析】如圖示，先求出硬管不傾斜，水平方向通過的最大長度AB.設∠BAQ=θ,過A作AC垂直內側墻壁于C，B作BD垂直內側墻壁于D，則AC=在直角三角形ACP中，sin∠CPA=sinθ同理可得BP=所以AB=因為AB=3sinθ+3所以AB≥6因為走廊的寬度與高度都是3米，所以把硬管傾斜后能通過的最大長度為AB12．已知函數fx=2sinx+3cosx①f②集合{y∈R|y=f(x),x∈R③存在a∈R，對任意的x∈R，有④f(x)>x+a對任意x∈[0,2π]都成立，則實數a其中所有正確結論的序號是.【答案】①④【解析】對于①，由fx=2sinx對于②，由周期性可知，f(x)的周期為2π易得當x=0時，fx=20當x=π時，fx=20當x=2π時，fx=20當x∈(0,π2)時，fx當x∈(3π2,2π)時，fx對于③，顯然在x∈0,2π時，fx故fx不關于x=a對稱，即f對于④，當x=0時，f當x=π2當x=2π時，f當x∈(0,π2當x∈π2當x∈(π,3π2當x∈3π2而f(x)>x+令g(x)=f(可得a≤32-2π恒成立，即a二、選擇題（本大題共4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個正確答案，考生應在答題紙的相應編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得滿分，否則一律得零分．13．如圖，在△ABC中，∠BAC=π3，AD=2DB，P為CD上一點，且滿足AP=mAC+A．2 B．4 C．263 D【答案】A【解析】設CP=λ=AC所以，23λ=AB?AC=|AP=1當且僅當13AB=1所以，AP的最小值為2.14．已知奇函數fx的定義域為R，且其圖象是連續的曲線，若fx在區間0,+∞上的值域為t,2t2-1，在R上的值域為A．-1,-34 BC．-1,-22 D【答案】C【解析】由題意有t<2t215．某校為了解本校高一男生身高和體重的相關關系，在該校高一年級隨機抽取了7名男生，測量了他們的身高和體重得下表：身高x（單位：cm）167173175177178180181體重y（單位：kg）90545964677276由表格制作成如圖所示的散點圖：由最小二乘法計算得到經驗回歸直線l1的方程為y=b1x+a1，其相關系數為r1；經過殘差分析，點(167,90)對應殘差過大，把它去掉后，再用剩下的6組數據計算得到經驗回歸直線lA．b1<bC．b1>b【答案】A【解析】身高的平均數為167+173+175+177+178+180+1817因為離群點167,90的橫坐標167小于平均值176，縱坐標90相對過大，所以去掉167,90后經驗回歸直線的截距變小而斜率變大，故b1去掉167,90后相關性更強，擬合效果也更好，且還是正相關，所以r116．在圓錐PO中，已知高PO=2，底面圓的半徑為4，M為母線PB的中點；根據圓錐曲線的定義，下列四個圖中的截面邊界曲線分別為圓、橢圓、雙曲線及拋物線，下面四個命題，正確的個數為①圓的面積為4π；

②橢圓的長軸為37；③雙曲線兩漸近線的夾角正切值為-3④拋物線中焦點到準線的距離為45A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解析】①∵點M是母線的中點，∴截面的半徑r=2，因此面積=π×2②由勾股定理可得橢圓的長軸為=4+22+③在與底面、平面PAB的垂直且過點M的平面內建立直角坐標系，不妨設雙曲線的標準方程為x2a2-y2b2=1a,b>0，則M1,0，即④建立直角坐標系，不彷設拋物線的標準方程為y2=2px,把點5,4代入可得42=2p×5，解得p=三、解答題（本大題共5題，共14+14+14+18+18＝78分）解下列各題必須在答題紙相應編號的規定區域內寫出必要的步驟．17．如圖1所示，在平行四邊形EBCD中，BA⊥ED，垂足為A，EA=AD=AB=2，將△EAB沿AB折到△PAB的位置，使得二面角P-AB-D的大小為60°，如圖2所示，點M為棱AB的中點.

（1）證明：平面PAD⊥平面ABCD；（2）證明：PM⊥CD；（3）若點N在棱PC上，且直線PC與平面AMN所成角的正弦值為34，求PNPC（1）證明：由題意可知，圖2中AB⊥PA，AB⊥AD，PA∩所以AB⊥平面PAD又AB?面ABCD，所以平面PAD⊥平面（2）證明：法一：由平面幾何知識可知CD⊥BD，在圖2中取AD中點O，連接MO，

因為M為AB中點，所以MO//BD，因為AB⊥PA，AB⊥AD，所以所以∠PAD=π3，則又平面PAD⊥平面ABCD，交線為AD，所以PO⊥平面ABCD，所以又PO∩MO=O，且PO,MO又PM?平面PMO，所以PM法二：因為AB⊥PA，AB⊥AD，所以∠PAD以A為原點，AB，AD所在直線為x，y軸，平行于PO的直線為z軸，建立空間直角坐標系.則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，D(0,2,0)，則PM=(1,-1,-3)所以PM?所以PM⊥（3）解：以A為原點，AB，AD所在直線為x，y軸，平行于PO的直線為z軸，建立空間直角坐標系.則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，D(0,2,0)，設PN=tPC0≤t≤1，面AMNAN=則n?AM=0n?AN=0?又PC=(2,3,-3因為直線PC與平面AMN所成角的正弦值為34，所以解得t2=19，當PNPC=13時，直線PC與平面18．在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知向量m=(cosA,（1）求角A的大小；（2）若a=2，求△ABC周長的取值范圍.解：（1）由m//n，得2c即2sinC而C∈(0,π2)，又A∈(0,π2（2）由正弦定理得：bsinB=csinb+c=由銳角△ABC，得0<B<π2因此sin(B+π6所以△ABC周長的范圍為(219．甲參加了一場智力問答游戲，每輪游戲均有兩類問題（難度系數較低的A類問題以及難度系數較高的B類問題）供選擇，且每輪游戲只回答兩類問題中的其中一個問題．甲遇到每類問題的概率均為12，甲遇到A類問題時回答正確的概率為12，回答正確記1分，否則記0分；甲遇到B類問題時回答正確的概率為14，回答正確記2分，否則記0（1）當進行完2輪游戲時，求甲的總分X的分布列與數學期望．（2）設甲在每輪游戲中均回答正確且累計得分為n分的概率為Gn（ⅰ）證明：Gn+1（ⅱ）求Gn的最大值以及對應n解：（1）X可以取0，1，2，3，4，每次回答A類問題且回答正確的概率為12回答A類問題且回答不正確的概率為12每次回答B類問題且回答正確的概率為12回答B類問題且回答不正確的概率為12PXPXPXPX=3=X的分布列為：X01234P255711EX（2）（ⅰ）G1=1由題意得甲累計得分為n分的前一輪得分只能為n-1分或n故當n≥3時，G所以Gn所以Gn+1-12（ⅱ）根據（ⅰ）可知，Gn+1易得Gn所以Gn+1+14所以Gn+1令②－①可得34所以Gn經檢驗n=1，n=2時均滿足上式，故所以Gn而13×1故Gn又因為G1>G2，所以當n=120．已知圓錐曲線G：Ax2+By2+2Dx+2Ey+F=0，稱點Px0,y0和直線l：Ax0x+By0y+Dx+x0+Ey+y0+F=0是圓錐曲線G的一對極點和極線，其中極線方程是將圓錐曲線以x0x替換（1）若極點F2(23,0)對應的極線l為（2）當極點Q在曲線外時，過點Q向橢圓C引兩條切線，切點分別為M，N，證明：直線MN為極點Q的極線；（3）已知P是直線y=-12x+4上的一個動點，過點P向（1）中橢圓C引兩條切線，切點分別為M，N，是否存在定點T恒在直線MN上，若存在，當MT=（1）解：因為極點F2(23,0)對應的極線l為23因為右焦點是F2(23,0)，所以所以橢圓C的方程為x2（2）證明：當斜率存在時，設切線方程為y=kx+t，聯立橢圓方程可得b2(b由題可得：Δ=4化簡可得：t2=ax1=-a切點的縱坐標y1由于x1y1則切線方程為：y-y1化簡得：x1當切線斜率不存在時，切線為x=±m，也符合方程綜上x2a2+y2b同理x2a2+y2b設Qx3,y3所以MN的直線方程為xx3a2+（3）解：由題意，設點P的坐標為(x0,y0因為點P在直線y=-12聯立x216+Δ=64-4×24=-32<0，該方程無實數根，所以直線y=-12x+4與橢圓C相離，即點P在橢圓C所以點P和直線MN是橢圓C的一對極點和極線.對于橢圓x216+y2將y0=-12x又因為定點T的坐標與x0所以x-2y=016y-16=0，解得x當MT=TN時，T是線段設Mx1,y1則x1整理得y2-y所以當MT=TN時，直線MN的方程為y-1=-21．已知f(x)是定義在I上的函數，若對任意x∈I，f(x)≥0恒成立，則稱f(x)為I上的非負函數.（1）判斷f(x)=x-elnx是否為(0,+（2）已知n為正整數，g(x)=nx-alnx(a>0)為(0,+∞)上的非負函數，記a的最大值為a（3）已知n≥2且n∈N*，函數h(x)=nxxn(x>0)（1）解：f(x)是理由如下：因為f(x)=x-eln當x∈(0,e)時，f'x<0，f(x)則f(x)≥f(e)=0，故（2）證明：由g(x)=nx-當x∈0,an時，g'x<0，g則g(因為g(x)為(0,+∞)上的非負函數，所以a-a因為an+1-a（3）證明：由h(x)=nx因為n≥2且n∈N*，所以由h'由h'(x)<0得，所以h(x)在0,nln由F(x)為(0,+∞)上的非負函數，得h(x令φ(x)=lnx+1x故φ(x)在(1,+∞)上單調遞增，則φ(x)>令t=xx-1=1+1x-1,故1bn=所以n=2上海2025屆高考數學模擬卷03一、填空題（本大題共12題，滿分54分．其中第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應在答題紙相應編號的空格內直接填寫結果．1．已知拋物線：y=px2（其中p為常數）過點A1,4【答案】1【解析】把A1,4代入y=px2所以焦點到準線的距離為182．不等式x-2<1的解集為【答案】1,3【解析】由x-2<1得-1<x故不等式x-2<1的解集為3．若等比數列ann∈N*滿足：a3+a5【答案】2【解析】因為等比數列ann∈N*則a6+a4．若向量a=3,2在向量b=4,0方向上的投影向量為c【答案】3【解析】向量a=3,2在向量b=則c=35．若sinα-π3【答案】-【解析】sinα故cosαsin=2cos6．一質點做垂直向上運動，該質點上升高度h（單位：m）與運動時間t（單位：s）的關系式為h=tet，當t=2s時，該質點上升高度的瞬時變化率為【答案】3【解析】由h=tet，求導得所以當t=2s時，該質點上升高度的瞬時變化率為3e27．三星堆古遺址作為“長江文明之源“，被譽為人類最偉大的考古發現之一．3號坑發現的神樹紋玉琮，為今人研究古蜀社會中神樹的意義提供了重要依據．玉琮是古人用于祭祀的禮器，有學者認為其外方內圓的構造，契合了古代“天圓地方”觀念，是天地合一的體現，如圖，假定某玉琮形狀對稱，由一個空心圓柱及正方體構成，且圓柱的外側面內切于正方體的側面，圓柱的高為12cm，圓柱底面外圓周和正方體的各個頂點均在球O上，則球O的表面積為【答案】216【解析】過圓柱的旋轉軸和正方體的一條側棱作截面，得截面圖如圖所示：不妨設正方體的棱長為2a，球О的半徑為R，則圓柱的底面直徑為2a因為正方體的體對角線即為球О直徑，故2R2=3×易知，截面中兩個矩形的對角線都是球的直徑，正方體的面對角線為22所以，由勾股定理得：122+2球的表面積為S=4π故答案為：2168．某站臺經過統計發現，一號列車準點到站的概率為13，二號列車準點到站的概率為34，一號列車準點到站或者二號列車不準點到站的概率為12，記“一號列車準點到站且二號列車不準點到站”為事件A，“一號列車不準點到站且二號列車準點到站”為事件B，則【答案】7【解析】記“一號列車準點到站”為事件M，“二號列車準點到站”為事件N，則PM=13，由PM+N則PM=P故PA而PN=PMN+則PA9．設雙曲線Ψ:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左焦點為F，右頂點為A，Ψ上一點P滿足【答案】2【解析】設Q0,a，因為三角形PAF的邊經過0,a而OA=OQ=a，故故yP=2所以a-22所以e2-2210．已知甲盒中有3個紅球2個白球，乙盒中有4個紅球1個白球，從甲盒中隨機取1球放入乙盒，然后再從乙盒中隨機取2球，記取到紅球的個數為隨機變量X，則X的期望為．【答案】2315/【解析】若從甲盒中隨機取到的為紅球且概率為35，則X的可能取值為1,2則P1(X若從甲盒中隨機取到的為白球且概率為25，則X的可能取值為0,1,2則P2(X=0)=C綜上，P(X=0)=25故E(11．有一直角轉彎的走廊（墻面與頂部都封閉），已知走廊的寬度與高度都是3米，現有不能彎折的硬管需要通過走廊，若不計硬管粗細，則可通過的最大極限長度為米.【答案】9【解析】如圖示，先求出硬管不傾斜，水平方向通過的最大長度AB.設∠BAQ=θ,過A作AC垂直內側墻壁于C，B作BD垂直內側墻壁于D，則AC=在直角三角形ACP中，sin∠CPA=sinθ同理可得BP=所以AB=因為AB=3sinθ+3所以AB≥6因為走廊的寬度與高度都是3米，所以把硬管傾斜后能通過的最大長度為AB12．已知函數fx=2sinx+3cosx①f②集合{y∈R|y=f(x),x∈R③存在a∈R，對任意的x∈R，有④f(x)>x+a對任意x∈[0,2π]都成立，則實數a其中所有正確結論的序號是.【答案】①④【解析】對于①，由fx=2sinx對于②，由周期性可知，f(x)的周期為2π易得當x=0時，fx=20當x=π時，fx=20當x=2π時，fx=20當x∈(0,π2)時，fx當x∈(3π2,2π)時，fx對于③，顯然在x∈0,2π時，fx故fx不關于x=a對稱，即f對于④，當x=0時，f當x=π2當x=2π時，f當x∈(0,π2當x∈π2當x∈(π,3π2當x∈3π2而f(x)>x+令g(x)=f(可得a≤32-2π恒成立，即a二、選擇題（本大題共4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個正確答案，考生應在答題紙的相應編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得滿分，否則一律得零分．13．如圖，在△ABC中，∠BAC=π3，AD=2DB，P為CD上一點，且滿足AP=mAC+A．2 B．4 C．263 D【答案】A【解析】設CP=λ=AC所以，23λ=AB?AC=|AP=1當且僅當13AB=1所以，AP的最小值為2.14．已知奇函數fx的定義域為R，且其圖象是連續的曲線，若fx在區間0,+∞上的值域為t,2t2-1，在R上的值域為A．-1,-34 BC．-1,-22 D【答案】C【解析】由題意有t<2t215．某校為了解本校高一男生身高和體重的相關關系，在該校高一年級隨機抽取了7名男生，測量了他們的身高和體重得下表：身高x（單位：cm）167173175177178180181體重y（單位：kg）90545964677276由表格制作成如圖所示的散點圖：由最小二乘法計算得到經驗回歸直線l1的方程為y=b1x+a1，其相關系數為r1；經過殘差分析，點(167,90)對應殘差過大，把它去掉后，再用剩下的6組數據計算得到經驗回歸直線lA．b1<bC．b1>b【答案】A【解析】身高的平均數為167+173+175+177+178+180+1817因為離群點167,90的橫坐標167小于平均值176，縱坐標90相對過大，所以去掉167,90后經驗回歸直線的截距變小而斜率變大，故b1去掉167,90后相關性更強，擬合效果也更好，且還是正相關，所以r116．在圓錐PO中，已知高PO=2，底面圓的半徑為4，M為母線PB的中點；根據圓錐曲線的定義，下列四個圖中的截面邊界曲線分別為圓、橢圓、雙曲線及拋物線，下面四個命題，正確的個數為①圓的面積為4π；

②橢圓的長軸為37；③雙曲線兩漸近線的夾角正切值為-3④拋物線中焦點到準線的距離為45A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解析】①∵點M是母線的中點，∴截面的半徑r=2，因此面積=π×2②由勾股定理可得橢圓的長軸為=4+22+③在與底面、平面PAB的垂直且過點M的平面內建立直角坐標系，不妨設雙曲線的標準方程為x2a2-y2b2=1a,b>0，則M1,0，即④建立直角坐標系，不彷設拋物線的標準方程為y2=2px,把點5,4代入可得42=2p×5，解得p=三、解答題（本大題共5題，共14+14+14+18+18＝78分）解下列各題必須在答題紙相應編號的規定區域內寫出必要的步驟．17．如圖1所示，在平行四邊形EBCD中，BA⊥ED，垂足為A，EA=AD=AB=2，將△EAB沿AB折到△PAB的位置，使得二面角P-AB-D的大小為60°，如圖2所示，點M為棱AB的中點.

（1）證明：平面PAD⊥平面ABCD；（2）證明：PM⊥CD；（3）若點N在棱PC上，且直線PC與平面AMN所成角的正弦值為34，求PNPC（1）證明：由題意可知，圖2中AB⊥PA，AB⊥AD，PA∩所以AB⊥平面PAD又AB?面ABCD，所以平面PAD⊥平面（2）證明：法一：由平面幾何知識可知CD⊥BD，在圖2中取AD中點O，連接MO，

因為M為AB中點，所以MO//BD，因為AB⊥PA，AB⊥AD，所以所以∠PAD=π3，則又平面PAD⊥平面ABCD，交線為AD，所以PO⊥平面ABCD，所以又PO∩MO=O，且PO,MO又PM?平面PMO，所以PM法二：因為AB⊥PA，AB⊥AD，所以∠PAD以A為原點，AB，AD所在直線為x，y軸，平行于PO的直線為z軸，建立空間直角坐標系.則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，D(0,2,0)，則PM=(1,-1,-3)所以PM?所以PM⊥（3）解：以A為原點，AB，AD所在直線為x，y軸，平行于PO的直線為z軸，建立空間直角坐標系.則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，D(0,2,0)，設PN=tPC0≤t≤1，面AMNAN=則n?AM=0n?AN=0?又PC=(2,3,-3因為直線PC與平面AMN所成角的正弦值為34，所以解得t2=19，當PNPC=13時，直線PC與平面18．在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知向量m=(cosA,（1）求角A的大小；（2）若a=2，求△ABC周長的取值范圍.解：（1）由m//n，得2c即2sinC而C∈(0,π2)，又A∈(0,π2（2）由正弦定理得：bsinB=csinb+c=由銳角△ABC，得0<B<π2因此sin(B+π6所以△ABC周長的范圍為(219．甲參加了一場智力問答游戲，每輪游戲均有兩類問題（難度系數較低的A類問題以及難度系數較高的B類問題）供選擇，且每輪游戲只回答兩類問題中的其中一個問題．甲遇到每類問題的概率均為12，甲遇到A類問題時回答正確的概率為12，回答正確記1分，否則記0分；甲遇到B類問題時回答正確的概率為14，回答正確記2分，否則記0（1）當進行完2輪游戲時，求甲的總分X的分布列與數學期望．（2）設甲在每輪游戲中均回答正確且累計得分為n分的概率為Gn（ⅰ）證明：Gn+1（ⅱ）求Gn的最大值以及對應n解：（1）X可以取0，1，2，3，4，每次回答A類問題且回答正確的概率為12回答A類問題且回答不正確的概率為12每次回答B類問題且回答正確的概率為12回答B類問題且回答不正確的概率為12PXPXPXPX=3=X的分布列為：X01234P255711EX（2）（ⅰ）G1=1由題意得甲累計得分為n分的前一輪得分只能為n-1分或n故當n≥3時，G所以Gn所以Gn+1-12（ⅱ）根據（ⅰ）可知，Gn+1易得Gn所以Gn+1+14所以Gn+1令②－①可得34所以Gn經檢驗n=1，n=2時均滿足上式，故所以Gn而13×1故Gn又因為G1>G2，所以當n=120