專題02乘法公式重難點題型專訓（11大題型+15道拓展培優）【題型目錄】題型一運用平方差公式進行運算題型二平方差公式與幾何圖形題型三運用完全平方公式進行運算題型四通過完全平方公式變形求值題型五求完全平方公式中的字母系數題型六完全平方式在幾何圖形中的應用題型七整式的混合運算題型八乘法公式中的多結論問題題型九乘法公式的相關計算題型十乘法公式中的“知二求三”題型十一乘法公式與幾何圖形的綜合應用【知識梳理】知識點一、平方差公式平方差公式：兩個數的和與這兩個數的差的積，等于這兩個數的平方差. 特別說明：在這里，既可以是具體數字，也可以是單項式或多項式.抓住公式的幾個變形形式利于理解公式.但是關鍵仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同項，又有“相反項”，而結果是“相同項”的平方減去“相反項”的平方.常見的變式有以下類型：（1）位置變化：如利用加法交換律可以轉化為公式的標準型（2）系數變化：如（3）指數變化：如（4）符號變化：如（5）增項變化：如（6）增因式變化：如知識點二、完全平方公式完全平方公式：兩數和(差)的平方等于這兩數的平方和加上（減去）這兩數乘積的兩倍.特別說明：公式特點：左邊是兩數的和（或差）的平方，右邊是二次三項式，是這兩數的平方和加（或減）這兩數之積的2倍.以下是常見的變形：知識點三、添括號法則添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負號，括到括號里的各項都改變符號.特別說明：添括號與去括號是互逆的，符號的變化也是一致的，可以用去括號法則檢查添括號是否正確.知識點四、補充公式；；；.【經典例題一運用平方差公式進行運算】【例1】（2023上·上海·七年級校考期中）下列多項式乘法計算中，不能用平方差公式的是（

）A． B． C． D．【變式訓練】1．（2023上·福建泉州·八年級福建省泉州第一中學校考階段練習）用乘法公式計算的結果（

）A． B． C． D．2．（2024上·天津濱海新·八年級校考期末）已知：，，則、的大小關系是.3．（2023上·全國·八年級專題練習）已知．(1)______；(2)求的值；(3)求結果的個位數字．4．（2024上·廣東湛江·八年級校考期末）觀察下列計算∶(1)猜想∶_______________________．(其中n為正整數，且)；(2)利用(1)猜想的結論計算∶；【經典例題二平方差公式與幾何圖形】【例2】（2023下·甘肅蘭州·七年級統考期中）下面給出的三幅圖都是將陰影部分通過割，拼，形成新的圖形，其中不能驗證平方差公式的是（

）

A．① B．②③ C．①③ D．③【變式訓練】1．（2023上·吉林白城·八年級統考期末）如圖，從邊長為的正方形紙片中剪去一個邊長為3的正方形，剩余部分沿虛線剪開后又拼成如圖的長方形（不重疊，無縫隙），則拼成的長方形的另一邊的長為（

）A． B． C． D．2．（2023上·河南周口·八年級校聯考階段練習）有正方形紙片A和B(如圖1)，如圖2將正方形B放置在正方形A內部，測得陰影部分面積為2，如圖3將正方形A和正方形B并列放置后構造新正方形，測得陰影部分面積為6，如圖4將3個正方形A和2個正方形B并列放置后構造新正方形(圖3、圖4中正方形紙片A，B均無重疊部分)，則圖4中陰影部分面積為．3．（2024上·云南玉溪·八年級統考期末）如圖甲所示，邊長為的正方形中有一個邊長為的小正方形，圖乙是由圖甲中陰影部分拼成的一個長方形，設圖甲中陰影部分面積為，圖乙中陰影部分面積為．

(1)請直接用含和的代數式表示，；寫出利用圖形的面積關系所得到的公式：（用式子表達）．(2)試利用這個公式計算：．4．（2024上·四川成都·七年級成都嘉祥外國語學校校考期末）實踐與探索如圖，邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形，把圖①中的陰影部分拼成一個長方形（如圖②所示）．

(1)上述操作能驗證的等式是_______．（請選擇正確的一個）A．；B．；C．；(2)請應用（1）中的等式完成下列各題：①；②計算：；③計算：．【經典例題三運用完全平方公式進行運算】【例3】（2023上·福建泉州·八年級統考期中）已知，，，則的值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【變式訓練】1．（2023·安徽·模擬預測）若實數滿足，則下列等式錯誤的是（

）A． B． C． D．2．（2023上·上海青浦·七年級統考期末）如果（其中a為常數）成立，那么．3．（2024上·山東濟南·八年級統考期末）閱讀材料：利用完全平方公式可以將一些形如的多項式變形為的形式，我們把這樣的變形方法叫做多項式的配方法．例如：求代數式的最小值．，當時，有最小值是2．根據閱讀材料用配方法解決下列問題：(1)求代數式的最小值；(2)若，當時，y有最值（填“大”或“小”），這個值是．(3)試說明：無論取任何實數時，多項式的值總為正數．4．（2023上·山東濟寧·八年級統考期末）如圖所示，從邊長為的正方形中剪掉邊長為的正方形，剩余部分為2個長方形和1個小正方形．解答下列各題：(1)如圖所示圖形可驗證的等式是：______；(2)計算：；(3)運用（1）中的等式，若，求的值．【經典例題四通過完全平方公式變形求值】【例4】（2023下·浙江溫州·七年級校考期末）若n滿足關系式，則代數式的值是．【變式訓練】1．（2024上·江蘇南通·九年級統考期末）已知，則的最小值是（

）A． B． C． D．2．（2024·全國·八年級競賽）已知，則代數式的值為．3．（2024上·廣東汕尾·八年級統考期末）數學活動課上，老師準備了若干個如圖1的三種紙片，A種紙片是邊長為a的正方形，B種紙片是邊長為b的正方形，C種紙片是長為b、寬為a的長方形．用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張可拼成如圖2的大正方形．(1)觀察圖2，請你直接寫出下列三個代數式：，，之間的等量關系為_____．(2)曉曉同學利用上面的紙片拼出了一個面積為的長方形，這個長方形相鄰兩邊長為_______、_______．(3)根據（1）題中的等量關系，解決如下問題：①已知：，，求的值；②已知：，求的值．4．（2024上·湖北武漢·八年級統考期末）問題呈現：借助幾何圖形探究數量關系，是一種重要的解題策略，圖1，圖2是用邊長分別為a，b的兩個正方形和邊長為a，b的兩個長方形拼成的一個大正方形，利用圖形可以推導出的乘法公式分別是圖1________圖2________；（用字母a，b表示）

數學思考：利用圖形推導的數學公式解決問題（1）已知，，求的值；（2）已知，求的值．拓展運用：如圖3，點C是線段上一點，以，為邊向兩邊作正方形和正方形，面積分別是和．若，，則直接寫出的面積．（用S，m表示）．【經典例題五求完全平方公式中的字母系數】【例5】（2023上·上海浦東新·七年級統考期中）若是一個關于的完全平方式，那么k值是（

）A． B． C． D．【變式訓練】1．（2024上·四川眉山·八年級統考期末）如果，那么b的值一定是（

）A．21 B．21或 C．42 D．42或2．（2024上·湖北武漢·八年級統考期末）已知是完全平方式，則常數．3．（2023下·河北承德·七年級統考期末）閱讀理解：所謂完全平方式，就是對于一個整式如果存在另一個整式，使得，則稱完全平方式．例如，，，則，均為完全平方式．(1)下列各式中是完全平方式的是（只填序號）．①；②；③；④(2)將（1）中所選的完全平方式寫成一個整式的平方的形式．(3)若是完全平方式，求的值．4．（2023上·山西晉中·九年級統考期中）閱讀與思考如果一個多項式是完全平方式，那么它的各項系數a，b，c之間存在著怎樣的關系呢？圍繞這個問題，小麗同學所在的小組進行了如下探究，請你加入他們的探究并補全探究過程：探究完全平方式各項系數的關系舉例探究：將下列各式因式分解：；；；觀察發現：觀察以上三個多項式的系數，我們發現：；；；歸納猜想：若多項式是完全平方式，猜想：系數a，b，c之間存在的關系式為；驗證結論：請你寫出一個不同于上面出現的完全平方式，并用此式驗證你猜想的結論：解決問題：若多項式是一個完全平方式，利用你猜想的結論求出n的值．【經典例題六完全平方式在幾何圖形中的應用】【例6】（2021下·廣東佛山·七年級統考期中）用四個全等的矩形和一個小正方形拼成如圖所示的大正方形，已知大正方形的面積是169，小正方形的面積是9，若用x，y表示矩形的長和寬（），則下列關系式中不正確的是（

）A． B． C． D．【變式訓練】1．（2021下·浙江·七年級期中）如圖，為了美化校園，某校要在面積為120平方米的長方形空地ABCD中劃出長方形EBKR和長方形QFSD，若兩者的重合部分GFHR恰好是一個邊長為3米的正方形，現將圖中陰影部分區域作為花圃，若長方形空地ABCD的長和寬分別為m和n，，花圃區域AEGQ和HKCS總周長為32米，則的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．52．（2023下·河北邢臺·七年級校聯考階段練習）現有一張邊長為a的大正方形卡片和三張邊長為b的小正方形卡片，如圖1，取出兩張小正方形卡片放入大正方形卡片內拼成圖2；則圖2中陰影部分的邊長為（用含有a，b的代數式表示）；再重新用三張小正方形卡片放入大正方形卡片內拼成圖3．則圖3中陰影部分的面積為．（用含有a，b的代數式表示）；已知圖3中的陰影部分的面積比圖2中的陰影部分的面積大，則小正方形卡片的面積是．3．（2024上·廣東汕頭·八年級統考期末）如圖①所示是一個長為，寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四個小長方形，然后按圖②的方式拼成一個正方形．(1)你認為圖②中陰影部分的正方形的邊長等于_______．(2)請用兩種不同的方法列代數式表示圖②中陰影部分的面積.方法①___________；方法②__________．(3)觀察圖②，試寫出，，這三個代數式之間的等量關系______．(4)根據（3）題中的等量關系，解決如下問題：若，，則求的值．4．（2023上·福建福州·八年級福州日升中學校考期中）我們已學完全平方公式：，觀察下列式子：，，原式有最小值是；，，原式有最大值是；并完成下列問題：(1)代數式有最（填大或小）值，這個值=．(2)解決實際問題：在緊靠圍墻的空地上，利用圍墻及一段長為100米的木欄圍成一個長方形花圃，為了設計一個盡可能大的花圃，如圖設長方形一邊長度為米，完成下列任務．①用含的式子表示花圃的面積；②請說明當取何值時，花圃的最大面積是多少平方米？【經典例題七整式的混合運算】【例7】（2023上·福建福州·七年級福建省福州延安中學校考期中）如圖1是寬為，長為的小長方形紙片，將8張如圖1的紙片按圖2的方式不重疊地放在長方形內，已知的長度固定不變，的長度可以變化，圖中陰影部分（即兩個長方形的面積）分別表示為，若，且為定值，則滿足的數量關系（

）

A． B． C． D．【變式訓練】1．（2022上·重慶北碚·九年級西南大學附中校考開學考試）設x，y是實數，定義@的一種運算如下：，則下列結論：①若，則x，y均為0；②；③存在實數x，y，滿足；④設x，y是矩形的長和寬，若矩形的周長固定，則當時，最大．其中正確的個數（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個2．（2022·河北保定·校考模擬預測）已知，則=3．（2024上·四川成都·八年級校考期末）（1）先化簡，再求值：，其中，．（2）已知，求的值．4．（2024上·福建莆田·八年級統考期末）慶祝元旦期間，張老師出了一道“年份題”：計算的算術平方根．張老師提示可將上述問題一般化為：計算的算術平方根（為正整數），然后對進行特殊化：當時，，當時，，當時，，……(1)根據以上規律，請直接寫出的算術平方根；（按規律寫出結果即可，不必計算）(2)根據以上等式規律，請寫出第個等式，并驗證其正確性；(3)某同學將上述問題更一般化為：計算的算術平方根，并猜想，其中，為正整數．你認為這個猜想成立嗎？若成立，請說明理由；若不成立，請說明以上猜想成立時，，應滿足什么關系并證明．【經典例題八乘法公式中的多結論問題】【例8】（2023上·重慶九龍坡·九年級重慶市育才中學校聯考階段練習）有個依次排列的整式：第一項是，第二項是，用第二項減去第一項，所得之差記為，記；將第二項與相加作為第三項，記，將第三項與相加記為第四項，以此類推，某數學興趣小組對此展開研究，將得到四個結論：①；②當時，第3項值為25；③若第5項與第4項之差為15，則；④第2022項為；⑤當時，；以上正確的結論有（）個．A．1 B．2 C．3 D．4【變式訓練】1．（2023上·四川眉山·八年級校考期中）已知整式，，則下列說法中正確的有（）①不存在這樣的實數，使得；②無論為何值，和的值都不可能同時為正；③若，則；④若，則．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2023下·浙江·七年級期末）下列四個結論，其中正確的是．①若，，則可表示為；②若的運算結果中不含項，則；③若，，則；④若，則x只能是2．3．（2023下·安徽合肥·七年級合肥市第四十二中學校考期中）已知三個實數，，滿足，且，那么則下列結論一定正確的是．（只需要填序號）①；②；③；④【經典例題九乘法公式的相關計算】【例9】（2023上·北京西城·八年級北京市第十三中學分校校考期中）計算：(1)(2)【變式訓練】1．（2023上·江蘇南京·七年級南京市人民中學校考期中）計算：2．（2023上·江蘇南通·八年級校聯考期中）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．3．（2023上·江西南昌·八年級統考期中）（）化簡：（）先化簡，后求值：，其中．4．（2023下·陜西西安·七年級校考階段練習）求值：(1)(2)．【經典例題十乘法公式中的“知二求三”】【例10】（2023上·上海浦東新·七年級統考期中）已知，，求下列各式的值：(1)；(2)；(3)．【變式訓練】1．（2023上·江蘇南通·八年級校考階段練習）（1）先化簡，再求值：，其中（2）已知：．求：①的值；

②的值；2．（2022上·河北張家口·八年級統考期末）人教版八年級上冊數學教材第112頁的第7題：已知，，求的值．老師講解了這道題的兩種方法：方法一方法二，，．，．，．，，．請你參照上面兩種解法中的一種，解答以下問題．(1)已知，，求的值；(2)已知，求的值．3．（2023上·福建廈門·八年級廈門市第十中學校考期中）已知，，求下列代數式的值．(1)(2)4．（2023上·廣西南寧·八年級廣西大學附屬中學校考期中）閱讀下列材料并解答下面的問題：利用完全平方公式，通過配方可對進行適當的變形，如：或，從而使某些問題得到解決．例：已知，求的值．解：．通過對例題的理解解決下列問題：(1)已知，求的值；(2)若，求的值；(3)若n滿足，求式子的值．【經典例題十一乘法公式與幾何圖形的綜合應用】【例11】（2023上·湖南長沙·八年級校聯考期中）在課后服務課上，老師準備了若干張如圖1的三種紙片，A種紙片是邊長為a的正方形，B種紙片是邊長為b的正方形，C種紙片是長為b，寬為a的長方形，并用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形．【發現】（1）根據圖2，寫出一個我們熟悉的數學公式；【應用】（2）根據（1）中的數學公式，解決如下問題：①已知：，，求的值；②如果一個長方形的長和寬分別為和，且，求這個長方形的面積．【變式訓練】1．（2023上·全國·八年級專題練習）把幾個圖形拼成一個新的圖形，再通過兩種不同的方法計算同一個圖形的面積，可以得到一個等式，也可以求出一些不規則圖形的面積．例如，由1，可得等式：．(1)如圖2，將幾個面積不等的小正方形與小長方形拼成一個邊長為的正方形，試用不同的形式表示這個大正方形的面積，你能發現什么結論？請用等式表示出來．（直接寫出等式）(2)利用（1）中所得到的結論，填空：已知，，則；(3)如圖3，將兩個邊長分別為和的正方形拼在一起，，，三點在同一直線上，連接和．①用含，的式子表示陰影部分的面積；②若，，則陰影部分的面積．2．（2023上·福建泉州·八年級統考期中）如圖，將幾個小正方形與小長方形拼成一個邊長為的正方形．(1)若用不同的方法計算這個邊長為的正方形面積，就可以得到一個等式，這個等式為________；(2)若實數a，b，c滿足，，求的值．3．（2023上·湖北武漢·七年級統考期中）問題呈現：小明用如圖1的正方形和長方形若干個，拼成一個正方形，如圖2和圖3．小明計算：圖2中，當，時，正方形的面積既可以用，也可以用1個較大正方形和一個小正方形及兩個長方形的面積和表示為，也就是說，這個正方形的面積為可以用等式表示為：．請用小明計算的方法，直接寫出圖3中，若，時，表示的等式為______．數學發現：圖2中有等式______；圖3中有等式______．數學思考：邊長為a的正方形和邊長為的正方形拼在一起，B，C，E三點在同一條直線上，設圖中陰影部分面積為S．（1）如圖4，S的值與a的大小有關嗎？請說明理由．（2）如圖5，若，．直接寫出S的值．數學運用：如圖，分別以a，b，m，n為邊長作正方形，已知且滿足①與②．若圖4中陰影部分的面積為3，圖5中梯形的面積為5，則圖5陰影部分的面積是______．（直接寫出結果）．【拓展培優】1．（2024上·山東臨沂·八年級統考期末）已知，則的值為（

）A． B． C．1 D．52．（2024·全國·八年級競賽）已知是實數，，下列說法正確的是（

）A．三個數中，至少有一個數是正數 B．三個數中，至少有一個數是0C．三個數中，至少有一個數是負數 D．三個數必為兩正一負或兩負一正3．（2024上·海南省直轄縣級單位·八年級統考期末）若是一個完全平方式，則等于（

）A． B． C． D．4．（2024上·四川眉山·八年級統考期末）計算，其結果的個位數字為（

）A．5 B．6 C．7 D．85．（2024上·江西宜春·八年級統考期末）如圖，將大正方形通過剪、割、拼后分解成新的圖形，利用等面積法可證明某些乘法公式，在給出的4幅拼法中，其中能夠驗證平方差公式的有（

）A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④6．（2