20222023學年五年級數學上冊典型例題系列之第八單元：用含字母的式子表示圖形變化規律專項練習（解析版）1．觀察圖形，思考下面的問題并填空。(1)第四個圖形中有()根火柴棒。(2)第n個圖形中有()根火柴棒。【答案】(1)9(2)2n＋1【分析】觀察圖形可知，擺1個三角形需要3根火柴棒，擺2個三角形需要3＋2＝5根火柴棒，擺3個三角形需要3＋2＋2＝7根火柴棒，擺4個三角形需要3＋2＋2＋2＝9根火柴棒，則擺n個三角形需要3＋2（n－1）＝2n＋1根。據此填空即可。【詳解】（1）第四個圖形中有9根火柴棒。（2）第n個圖形中有（2n＋1）根火柴棒。【點睛】本題考查圖形的變化規律，發現規律，利用規律是解題的關鍵。2．用同樣長的小棒按照如圖擺出若干個正方形。(1)擺5個這樣的正方形需要()根小棒；(2)擺n個這樣的正方形需要()根小棒；(3)103根小棒可以擺()個這樣的正方形。【答案】(1)16(2)3n＋1(3)34【分析】根據圖形可知，一個正方形需要4個小棒，可以寫作：3×1＋1；二個正方形需要7個小棒，可以寫作：2×3＋1；三個正方形需要10個小棒，可以寫作：3×3＋1；四個正方形需要13個小棒，可以寫作：3×4＋1；……由此可以得出一般規律，第n個正方形需要3n＋1個小棒，由此求出當n＝5時，需要小棒的數量；n＝（小棒的數量－1）÷3，當小棒數量是103是，求出n的值，據此解答。【詳解】（1）3×5＋1＝15＋1＝16（根）擺5個這樣的正方形需要16根小棒。（2）3×n＋1＝3n＋1（根）擺n個這樣的正方形需要3n＋1根小棒。（3）（103－1）÷3＝102÷3＝34（個）103根小棒可以擺34個這樣的正方形。【點睛】根據題干中已知圖形排列特征和數量關系，推理得出一般結論進行解答，是此類問題的解答關鍵。3．用火柴棒搭成如下圖的三角形，按照上面的規律排下去：第五個圖形一共有()個小三角形組成；第n個圖形一共有()個小三角形組成。【答案】

25

n2【分析】觀察圖形可知，第一個圖中有1個三角形，可以寫成12；第二個圖形有1＋3＝4（個）三角形，可以寫成22；第三個圖形有1＋3＋5＝9（個）三角形，可以寫成32；第四個圖形中有1＋3＋5＋7＝16（個）三角形，可以寫成42，……，第n個圖形有n2個三角形。【詳解】根據分析可知：第一個圖中有1個三角形，即12；第二個圖形有1＋3＝4個三角形，即22第三個圖形有1＋3＋5＝9個三角形，即32；……所以第n個圖形有n2個三角形。當n＝5時，圖中有三角形：52＝25（個）。【點睛】本題主要考查數與形結合的規律，找到圖形與小三角形個數之間的關系是解本題的關鍵。4．如下圖，擺一個六邊形要6根小棒，擺2個六邊形要11根小棒，擺3個六邊形要16根小棒……照這樣擺下去，擺5個六邊形需要用()根小棒，擺n個六邊形需要用()根小棒。【答案】

26

5n＋1【分析】擺一個六邊形要6根小棒，擺2個六邊形要11根小棒，擺3個六邊形要16根小棒，6＝5＋1，11＝5×2＋1，16＝5×3＋1；需要小棒的根數＝六邊形的個數×5＋1，據此解答即可。【詳解】根據分析可得規律：需要小棒的根數＝六邊形的個數×5＋1擺5個六邊形需要：5×5＋1＝26（根）擺n個六邊形需要：n×5＋1＝5n＋1（根）【點睛】觀察圖形，探索圖形排列規律，用算式表示出來，根據圖形和算式的規律解決問題。5．如下圖所示，小明用小棒搭房子。（1）搭6個房子需要()根小棒；41根小棒可以搭()個房子。（2）搭個房子需要()根小棒。（用含有字母的式子表示）【答案】

25

10

4n＋1【分析】根據圖可知，第1個房子需要小棒：5根，即5＝4＋1；第2個房子需要小棒的數量：9根，即4×2＋1；第3個房子需要的小棒數量13根，即4×3＋1，由此即可知道第n個房子的小棒數量：n×4＋1，把n＝6代入式子，即6×4＋1，求出第6個房子需要小棒的數量；當4n＋1＝41的時候，求出n等于多少，由此即可求出有幾個房子；由此即可填空。【詳解】（1）6×4＋1＝24＋1＝25（根）當4×n＋1＝41解：4n＝41－14n＝40n＝40÷4n＝10（2）由分析可知：第n個房子，需要（4n＋1）根小棒。【點睛】本題主要考查圖形的變化規律，找準它的規律是解題的關鍵。6．下圖是由一些火柴棒搭成的圖案，按照這樣的規律填空。五邊形的個數1234……n火柴棒的根數59()()……()【答案】

13

17

4n＋1【分析】當五邊形的個數是1時，火柴棒的根數為5＝4×1＋1。當五邊形的個數是2時，火柴棒的根數為9＝4×2＋1。當五邊形的個數是3時，火柴棒的根數為13＝4×3＋1。.當五邊形的個數是4時，火柴棒的根數為4×4＋1＝17。當五邊形的個數是n時，火柴棒的根數為4n＋1。據此解答。【詳解】4×3＋1＝134×4＋1＝174×n＋1＝4n＋1【點睛】找出各組圖形之間的規律，進而用算式計算出來是解答本題的關鍵。7．看圖填表。（單位：厘米）……等腰梯形的個數123……10……__n拼成圖形的周長5____……__……143__【答案】

47

8

11

32

3n＋2【分析】由圖可知，每增加1個梯形，就增加1個上底和下底的和，根據此規律解答。【詳解】當等腰梯形的個數是1時，拼成圖形的周長是5；當等腰梯形的個數是2時，拼成圖形的周長是5＋3＝8；當等腰梯形的個數是3時，拼成圖形的周長是5＋3×2＝11；……當梯形的個數是n時，拼成圖形的周長是5＋3×（n－1）＝3n＋2；當n＝10時，3n＋2＝3×10＋2＝30＋2＝32；拼成圖形的周長是143時，3n＋2＝1433n＝141n＝47等腰梯形的個數123……10……47n拼成圖形的周長5811……32……1433n＋2【點睛】解題的關鍵是找出規律：每增加1個等腰梯形，就增加1個上底和下底的和。8．用同樣長的小棒按照如圖擺出若干個正方形。……（1）擺7個這樣的正方形需要()根小棒。（2）擺n個這樣的正方形需要()根小棒。【答案】

22

3n＋1【分析】根據圖形可知，一個正方形需要4個小棒，可以寫作：3×1＋1；二個正方形需要7個小棒，可以寫作：2×3＋1；三個正方形需要10個小棒，可以寫作：3×3＋1；四個正方形需要13個小棒，可以寫作：3×4＋1；……由此可以得出一般規律，第n個正方形需要3n＋1個小棒，由此進行解答。【詳解】（1）7×3＋1＝21＋1＝22（個）（2）3×n＋1＝3n＋1（個）【點睛】根據題干中已知圖形排列特征和數量關系，推理得出一般結論進行解答，是此類問題的解答關鍵。9．探索規律。（1）仔細觀察圖中正方形和直角三角形的個數有什么關系，再填表。正方形個數1234…直角三角形個數048()…（2）畫n個正方形時，能得到()個直角三角形。（3）如果要得到100個直角三角形，應畫()個正方形。【答案】

12

4（n－1）

26【分析】觀察圖形可知，每增加一個正方形，直角三角形的個數就增加4個，那么當畫n個正方形時，直角三角形的個數就是4（n－1），如果要得到100個直角三角形，先讓100÷4再加1即可。【詳解】（1）正方形個數1234…直角三角形個數04812…（2）畫n個正方形時，能得到4（n－1）個直角三角形。（3）100÷4＋1＝25＋1＝26（個）應畫26個正方形。【點睛】此題考查了數與形，認真觀察圖形，找出其中的變化規律是解題關鍵。10．用同樣規格的黑白兩種顏色的正方形瓷磚，按下圖的方式鋪地板。第4個圖形中有黑色瓷磚()塊；第n個圖形中有黑色瓷磚()塊；當黑色瓷磚有76塊時，它是第()個圖形。【答案】

13

3n＋1

25【分析】根據圖形可知，第一個圖形中，黑顏色的正方形瓷磚有4塊，可以寫成3×1＋1；第二個圖形中，黑顏色的正方形瓷磚有7塊，可以寫成3×2＋1，；第三個圖形中，黑顏色的正方形的瓷磚有10塊，可以寫成3×3＋1；…由此可以得出一般規律，第n個圖形黑顏色的正方形瓷磚有3n＋1塊，由此進行解答。【詳解】由分析可知，第一個圖形中，黑顏色正方形瓷磚有：3×1＋1；第二個圖形中，黑色的正方形瓷磚有：3×2＋1；第三個圖形中，黑色正方形瓷磚有：3×3＋1；第四個圖形中，黑色正方形瓷磚有：3×4＋1＝12＋1＝13（塊）第n個圖形中，黑色正方形瓷磚有：3n＋1當黑色正方形瓷磚有76塊，圖形是：（76－1）÷3＝75÷3＝25（個）【點睛】根據題干中已知圖形排列特征和數量關系，推理得出一般結論進行解答，是此類問題的解答關鍵。11．如圖，小明用小棒搭房子，他搭3間房子用13根小棒。照這樣，搭10間房子要用()根小棒，用101根小棒可以搭()間房子，搭n房子要用()根小棒。【答案】

41

25

4n＋1【分析】觀察圖片發現，每多搭1間房子需要多用4根小棒，那么搭n間房子需要用4n＋1根小棒。據此，求出搭10間房子需要用的小棒數量，以及用101根小棒可以搭多少間房子即可。【詳解】4×（n－1）＋5＝4n＋1，所以搭n間房子需要用4n＋1根小棒；4×10＋1＝41（根），所以搭10間房子需要用41根小棒；（101－1）÷4＝100÷4＝25（間）所以用101根小棒可以搭25間房子。【點睛】本題考查了找規律和用字母表示數，做這類找規律的題目時，常常將相鄰的兩個數據做差或者做商，據此來找到數據之間的規律。12．如下圖所示，擺1個正方形用4根小棒，擺2個正方形用7根小棒，擺3個正方形用10根小棒……照這樣，擺6個正方形用()根小棒，擺n個正方形用()根小棒。【答案】

19

3n＋1【詳解】略13．用黑白兩色的正六邊形按下圖所示的規律拼成若干個圖案．

第1個

第2個

第3個

①拼第4個圖案需要白色的正六邊形()個。②拼第n個圖案需要白色的正六邊形()個。【答案】

21

5n+1【詳解】略14．有一組圖形，它的排列規律如下圖．第4個圖形中有（）個三角形，第n個圖形中有（）個三角形【答案】

12

4(n1)

【詳解】觀察圖形中三角形的個數，第一個沒有三角形，第二個有4個，第三個有8個，三角形個數=4×(圖形個數1)15．計算2＋4＋6＋8＋10＋12……這樣的算式有簡便方法嗎？丁丁遇到這個問題時，想到用“數形結合”的方法來探索，于是他用小圓片擺圖形研究。(1)觀察表格，請把下面的等式補充完整。()×()序號1234…圖形…小圓片個數22＋42＋4＋62＋4＋6＋8…(2)若按此規律繼續擺，則序號為()的圖形共有156個小圓片，序號為n的圖形共，有(