專題14函數(shù)的基本性質(zhì)小題綜合沖刺秘籍沖刺秘籍單調(diào)性的常見運算單調(diào)性的運算①增函數(shù)（↗）增函數(shù)（↗）增函數(shù)↗②減函數(shù)（↘）減函數(shù)（↘）減函數(shù)↘③為↗，則為↘，為↘④增函數(shù)（↗）減函數(shù)（↘）增函數(shù)↗⑤減函數(shù)（↘）增函數(shù)（↗）減函數(shù)↘⑥增函數(shù)（↗）減函數(shù)（↘）未知（導(dǎo)數(shù)）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性奇偶性①具有奇偶性的函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱（大前提）②奇偶性的定義：奇函數(shù)：，圖象關(guān)于原點對稱偶函數(shù)：，圖象關(guān)于軸對稱③奇偶性的運算周期性（差為常數(shù)有周期）①若，則的周期為：②若，則的周期為：③若，則的周期為：（周期擴倍問題）④若，則的周期為：（周期擴倍問題）對稱性（和為常數(shù)有對稱軸）軸對稱①若，則的對稱軸為②若，則的對稱軸為點對稱①若，則的對稱中心為②若，則的對稱中心為周期性對稱性綜合問題①若，，其中，則的周期為：②若，，其中，則的周期為：③若，，其中，則的周期為：奇偶性對稱性綜合問題①已知為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則的周期為：②已知為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則的周期為：沖刺訓(xùn)練沖刺訓(xùn)練一、單選題1．（2023·安徽亳州·蒙城第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，在上單調(diào)遞減，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的奇偶性，判斷各選項的正負(fù)即可.【詳解】因為，在上單調(diào)遞減，是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，對于A，，但無法判斷的正負(fù)，故A不正確；對于B，，但無法判斷的正負(fù)，故B不正確；對于C，，在上單調(diào)遞減，所以，故C不正確；對于D，，在上單調(diào)遞減，，故D正確.故選：D.2．（2023·云南昭通·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)是定義域為上的奇函數(shù)，滿足，若，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，探討函數(shù)的周期性，求出即可求解作答.【詳解】因為函數(shù)是定義域為上的奇函數(shù)，則，即，由，得，因此，即，則，于是函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，由，得，由，得，，從而，所以.故選：A【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及較大自變量的抽象函數(shù)的函數(shù)值問題，根據(jù)給定的函數(shù)性質(zhì)，求出函數(shù)的周期是解題的關(guān)鍵.3．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且，則（

）A．10 B．20 C．15 D．5【答案】A【分析】首先由條件確定，即可判斷函數(shù)的周期，再結(jié)合特殊值，，即可求和.【詳解】因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，又因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，即，即，則，那么，所以2是函數(shù)的一個周期，因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，且，所以，，所以.故選:A4．（2023·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)與的定義域均為，為偶函數(shù)，且，，則下面判斷錯誤的是(

)A．的圖象關(guān)于點中心對稱B．與均為周期為4的周期函數(shù)C．D．【答案】C【分析】由為偶函數(shù)可得函數(shù)關(guān)于直線軸對稱，結(jié)合和可得的周期為4，繼而得到的周期也為4，接著利用對稱和周期算出對應(yīng)的值即可判斷選項【詳解】因為為偶函數(shù)，所以①，所以的圖象關(guān)于直線軸對稱，因為等價于②，又③，②+③得④，即，即，所以，故的周期為4，又，所以的周期也為4，故選項B正確，①代入④得，故的圖象關(guān)于點中心對稱，且，故選項正確，由，可得，且，故，故，因為與值不確定，故選項錯誤，因為，所以，所以，故，故，所以選項D正確，故選:.5．（2023·廣東佛山·校考模擬預(yù)測）已知定義在上的函數(shù)，分別為函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)，若為偶函數(shù)，且，，則（

）A．2023 B．4 C． D．0【答案】D【分析】由為偶函數(shù)列式并求導(dǎo)、賦值可得，再由求導(dǎo)，并結(jié)合可得、的周期為4，再通過賦值即可求得結(jié)果.【詳解】因為為偶函數(shù)，所以，所以，令，則，因為，所以，①所以，②又因為，③由②③得：，④所以，所以，所以的周期為4，又因為，所以的周期為4，在①中令得：，在③中令得：，在④中令得：，所以，所以，故選：D.6．（2023·云南·云南師大附中校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，的定義域均為，，是偶函數(shù)，且，，則（

）A．關(guān)于直線對稱 B．關(guān)于點中心對稱C． D．【答案】C【分析】對于A，由是偶函數(shù)，且，可得為偶函數(shù)，可求得其對稱軸，對于B，再結(jié)合，可得關(guān)于點中心對稱，對于CD，由前面的計算可得的周期為4，然后根據(jù)已知條件求出，從而可判斷.【詳解】對于A，是偶函數(shù)，，又，，是偶函數(shù)，∴關(guān)于直線對稱，所以A錯誤，對于B，關(guān)于點中心對稱，所以B錯誤，對于CD，又，即4是的一個周期；令，可得，又，，，所以C正確，D錯誤，故選：C.7．（2023·海南海口·海南華僑中學(xué)校考二模）已知函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，且，則在上的值域為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，建立方程，可得答案.【詳解】因為是上的單調(diào)函數(shù)，所以存在唯一的，使得，則．因為為上的增函數(shù)，且，所以，所以．因為在上單調(diào)遞增，所以，得．故選：D.8．（2023·福建三明·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先分析函數(shù)的單調(diào)性和對稱性，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，再研究與對稱軸的距離即可求解.【詳解】由題意：，，是的對稱軸；設(shè)，，并且，則，顯然是增函數(shù)，，，，，即當(dāng)時，是增函數(shù)，，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性規(guī)則：同增異減，在時是增函數(shù)，根據(jù)對稱性，當(dāng)時，是減函數(shù)；下面分析自變量時與的距離，顯然距離越大，對應(yīng)的函數(shù)值越大，；設(shè)，則，是增函數(shù)，又，所以當(dāng)時，，即，，；設(shè)，則，當(dāng)時，是減函數(shù)，又，所以時，，即，，又，；；故選：C.【點睛】本題難度較大，分析問題的出發(fā)點是函數(shù)的圖像，然后要運用縮放法對自變量x與對稱軸的距離做出比較，其中是對正切函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的一個常用的縮放，需要掌握.9．（2023·山西運城·山西省運城中學(xué)校校考二模）已知函數(shù)，若，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)得在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，由可得，利用恒成立，得，再根據(jù)可得.【詳解】的定義域為，，令，得，令，得，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，因為，所以，所以，即.因為，所以，所以，因為，所以，又因為在上為增函數(shù)，所以，即，所以，綜上所述：.故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：推出恒成立，得是解題關(guān)鍵.10．（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中校考模擬預(yù)測）函數(shù)、的定義域為，的導(dǎo)函數(shù)的定義域為，若，，，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，可得出，則（為常數(shù)），由可得出，再結(jié)合已知等式可推導(dǎo)出函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，計算出、、、的值，結(jié)合函數(shù)的周期性可求得的值.【詳解】設(shè)，則，所以，函數(shù)為常值函數(shù)，設(shè)（為常數(shù)），又因為，則，即，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則，因為，，且函數(shù)、的定義域為，所以，，所以，，則，所以，，所以，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，因為，則，所以，，所以，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，因為，則，所以，，故，所以，函數(shù)為偶函數(shù)，因為，所以，，故，在等式中，令可得，則，在等式中，令可得，在等式中，令可得，所以，，故，則，所以，，，，，因此，.故選：D.【點睛】結(jié)論點睛：對稱性與周期性之間的常用結(jié)論：（1）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線和對稱，則函數(shù)的周期為；（2）若函數(shù)的圖象關(guān)于點和點對稱，則函數(shù)的周期為；（3）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線和點對稱，則函數(shù)的周期為.二、多選題11．（2023·江蘇無錫·校聯(lián)考三模）已知函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則（

）A．的圖象關(guān)于直線對稱 B．的圖象關(guān)于點對稱C．的圖象關(guān)于直線對稱 D．的圖象關(guān)于點對稱【答案】AD【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的奇偶性與對稱性即可判斷得答案.【詳解】因為為奇函數(shù)，所以，所以函數(shù)關(guān)于點對稱，又為偶函數(shù)，所以，所以函數(shù)關(guān)于直線對稱.故選：AD.12．（2023·江蘇淮安·江蘇省鄭梁梅高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)定義域為，是奇函數(shù)，，函數(shù)在上遞增，則下列命題為真命題的是（

）A． B．函數(shù)在上遞減C．若，則 D．若，則【答案】BCD【分析】根據(jù)是奇函數(shù)判斷A，再判斷即可得到的圖象關(guān)于直線對稱，從而判斷B、C，根據(jù)對稱性得到，即可判斷D.【詳解】對于A，因為是奇函數(shù)，所以，故A錯誤；因為是奇函數(shù)，所以的圖象關(guān)于點對稱，即有，所以，所以的圖象關(guān)于直線對稱，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，故B正確；因為，所以，即，故C正確；因為，且，由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，得，解得，故C正確.故選：BCD.13．（2023·廣東東莞·校考三模）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為.，，當(dāng)時，，，則（

）A．的圖象關(guān)于對稱 B．為偶函數(shù)C． D．不等式的解集為【答案】BCD【分析】A.由得到判斷；B.由得到，再結(jié)合判斷；C.由得到再結(jié)合判斷；D.由為偶函數(shù)且得到是周期函數(shù)，且周期為8，再結(jié)合當(dāng)時，，可知在單調(diào)遞減，畫出的大致圖象，利用數(shù)形結(jié)合法求解.【詳解】由可得，故可知的圖象關(guān)于對稱，故A錯誤，由得，由得，故為偶函數(shù)，故B正確，由可得，所以，又為偶函數(shù)，所以，即，故C正確，由為偶函數(shù)且可得，所以是周期函數(shù)，且周期為8，又當(dāng)時，，可知在單調(diào)遞減故結(jié)合的性質(zhì)可畫出符合條件的的大致圖象：

由性質(zhì)結(jié)合圖可知：當(dāng)，時，，故D正確，故選：BCD14．（2023·黑龍江佳木斯·佳木斯一中校考模擬預(yù)測）已知定義在R上的函數(shù)滿足，且為奇函數(shù)，，．下列說法正確的是（

）A．3是函數(shù)的一個周期B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C．函數(shù)是偶函數(shù)D．【答案】ACD【分析】根據(jù)可得即可確定周期求解選項A；根據(jù)為奇函數(shù)，可得即可求解選項B；根據(jù)題設(shè)條件可得即可求解選項C；利用函數(shù)的周期性和函數(shù)值可求解選項D.【詳解】對A，因為，所以，即，所以3是函數(shù)的一個周期，A正確；對B，因為為奇函數(shù)，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，B錯誤；對C，因為，所以，即，即，所以函數(shù)是偶函數(shù)，C正確；對D，，所以，所以，D正確；故選:ACD.15．（2023·河北衡水·衡水市第二中學(xué)校考三模）已知函數(shù)的定義域為，是奇函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)為，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】由題意可知4是的一個周期，所以，即可判斷B；由，得結(jié)合，可知4也是的一個周期，由此求出可判斷C；取特值可判斷AD.【詳解】因為是奇函數(shù)，所以，且．又，所以，即．令等價于，所以，所以4是的一個周期，所以，得，即，故B正確．由，得．又，所以，所以，即．所以，所以4也是的一個周期，所以，得，故C正確．取，則，顯然是奇函數(shù)，符合題意．此時，但，故A錯誤；因為，所以，得，故D錯誤．故選：BC.16．（2023·廣東佛山·校考模擬預(yù)測）已知定義在R上且不恒為0的函數(shù)，對任意的，都有，則（

）A．B．函數(shù)是奇函數(shù)C．對，有D．若，則【答案】AB【分析】對代入特殊值，求出的性質(zhì)，最后運用構(gòu)造法求出的解析式，運用錯位相減法求和即可.【詳解】對于A，令，則有，，正確；對于B，因為的定義域為，因為對于，，當(dāng)時，令，則有，當(dāng)時，，所以是奇函數(shù)，正確；對于C，由B知，當(dāng)時，，錯誤；對于D，，令，，則有，，令，則，，是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，，即，，令…①，則…②，①②得：，故，錯誤；故選：AB.17．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知定義在上的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時，是減函數(shù)，則下列四個命題中正確的是（

）A．B．直線為函數(shù)圖象的一條對稱軸C．函數(shù)在區(qū)間上存在3個零點D．若在區(qū)間上的根為，則【答案】AB【分析】根據(jù)周期函數(shù)的定義可得周期，故A正確；由，，推出，可得B正確；若當(dāng)時，無零點，可推出無零點，可得C錯誤；根據(jù)的圖象關(guān)于直線對稱，推出，可得D錯誤.【詳解】對于A，因為，所以周期，故A正確；對于B，因為為偶函數(shù)，所以，又，所以，所以的圖象關(guān)于直線對稱，故B正確；對于C，若當(dāng)時，無零點，則根據(jù)周期性和對稱性可推出無零點，故C錯誤；對于D，因為的圖象關(guān)于直線對稱，且的周期，又在區(qū)間上的根為，所以，故D錯誤.故選：AB.18．（2023·福建寧德·校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域為R，若，且，則（

）A．B．是奇函數(shù)C．點是圖象的對稱中心D．點是圖象的對稱中心【答案】BC【分析】根據(jù)函數(shù)，可得其周期為4，又可得函數(shù)關(guān)于點對稱，結(jié)合可判斷函數(shù)其他對稱性，根據(jù)導(dǎo)數(shù)運算可得，從而得導(dǎo)函數(shù)的對稱性，從而逐項判斷即可得結(jié)論.【詳解】因為，故，若，又，則，所以，這與矛盾，故A不正確；若，則，所以，故函數(shù)的周期為，即因為，則，即于是有，故函數(shù)關(guān)于點對稱，由周期為4，可知點是圖象的對稱中心，故C正確；函數(shù)關(guān)于點對稱得，又，所以，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故B正確；對兩邊求導(dǎo)可得，則導(dǎo)函數(shù)關(guān)于直線對稱，故D不正確.故選：BC.【點睛】結(jié)論點睛：本題考查抽象函數(shù)的對稱性、周期性，可按如下規(guī)則判斷：（1）若函數(shù)滿足，則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)；（2）若函數(shù)滿足，則函數(shù)關(guān)于直線對稱；（3）若函數(shù)滿足，則函數(shù)關(guān)于點對稱.19．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)校考二模）定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)分別為，若，，則（

）A．是奇函數(shù)B．關(guān)于對稱C．周期為4D．【答案】ABD【分析】對于選項A，利用已知條件，即得結(jié)果.對于選項B，由題意可推導(dǎo)出為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，所以，即即可證明；對于選項C，由關(guān)于對稱和關(guān)于對稱，即得結(jié)果.對于選項D，通過賦值，利用C中推導(dǎo)的結(jié)論和已知條件，由等差數(shù)列的前項和即得結(jié)果.【詳解】因為可得為偶函數(shù)，所以，則為奇函數(shù)，故A正確；因為，偶函數(shù)，時偶函數(shù)，所以為偶函數(shù)，所以關(guān)于對稱，因為，為奇函數(shù)，為奇函數(shù)，所以為奇函數(shù)，關(guān)于對稱，，則其中為常數(shù)，又故，有關(guān)于對稱，B正確；令等價于，，所以，因為關(guān)于對稱，所以，所以令等價于，所以，所以，故可看成數(shù)列，而因為關(guān)于對稱，所以，，故是以為首項，為公差的等差數(shù)列，是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以沒有周期性，故C不正確；，所以，故D正確.故選：ABD.【點睛】結(jié)論點睛：本題考查利用抽象函數(shù)關(guān)系式求解函數(shù)周期性、對稱性、奇偶性的問題；對于與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的函數(shù)性質(zhì)，有如下結(jié)論：①若連續(xù)且可導(dǎo)，那么若為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)；若為偶函數(shù)，則為奇函數(shù)；②若連續(xù)且可導(dǎo)，那么若關(guān)于對稱，則關(guān)于點對稱；若關(guān)于對稱，則關(guān)于對稱.20．（2023·吉林白山·統(tǒng)考二模）設(shè)函數(shù)的定義域為R，且滿足，，當(dāng)時，，則（

）．A．是周期為2的函數(shù)B．C．的值域是D．方程在區(qū)間內(nèi)恰有1011個實數(shù)解【答案】BD【分析】根據(jù)已知條件推出函數(shù)是奇函數(shù)．且以為周期，得A錯誤；根據(jù)周期計算，得B正確；利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的周期性求出函數(shù)的值域可得C錯誤；根據(jù)函數(shù)圖象與的圖象交點個數(shù)，可得D正確．【詳解】函數(shù)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，因為，所以，又因為，所以，所以是奇函數(shù)．由，得，所以以4為周期，故A錯誤．因為是奇函數(shù)，且定義域為R，所以．因為，所以，故B正確．因為當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又，所以．因為為奇函數(shù)，所以當(dāng)時，，因為的圖象關(guān)于直線對稱，所以當(dāng)時，，因為的周期為4，所以當(dāng)時，，故C錯誤．

方程的解的個數(shù)，即的圖象與的圖象交點個數(shù)．因為的周期為2，且當(dāng)時，與有2個交點，所以當(dāng)時，與有1011個交點，故D正確．故選：BD.【點睛】方法點睛：求函數(shù)零點或方程實根根的個數(shù)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根；（2）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式或方程變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.三、填空題21．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，則實數(shù)．【答案】【分析】利用奇函數(shù)的定義可得出關(guān)于實數(shù)的等式，解之即可.【詳解】因為函數(shù)是上的奇函數(shù)，則，即，所以，，所以，，所以，.故答案為：.22．（2023·黑龍江佳木斯·佳木斯一中校考模擬預(yù)測）定義在R上的函數(shù)滿足，且當(dāng)，則＝．【答案】/0.25【分析】根據(jù)函數(shù)的周期性即可代入求解.【詳解】由可得，所以，故為周期函數(shù)，且周期為8，，故答案為：23．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)校考三模）寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③，且定義域為實數(shù)集的函數(shù).①最小正周期為2；②；③無零點.【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)周期,對稱性,零點等性質(zhì)判斷寫出符合條件的一個函數(shù)即可.【詳解】的定義域為，最小正周期為，因為，所以，所以無零點，綜上，符合題意故答案為：.24．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知是定義在上的偶函數(shù)且，若，則的解集為.【答案】【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得函數(shù)的單調(diào)性，即可由單調(diào)性求解.【詳解】令，則，由于，所以，故在上單調(diào)遞減，又是定義在上的偶函數(shù)且，故，所以，等價于，因此，故的解集為，故答案為：25．（2023·廣東汕頭·金山中學(xué)校考三模）已知函數(shù)，則使得成立的實數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可求解.【詳解】函數(shù)的定義域為,因為,所以,故函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時,,且在上單調(diào)遞減,當(dāng)時,,且在上單調(diào)遞減,而,故在上單調(diào)遞減,且.則使得成立，需，所以且，所以且，所以且解得或，故答案為：.26．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知定義在R上的函數(shù)，若有解，則實數(shù)a的取值范圍是．【答案】【分析】分析的奇偶性和單調(diào)性，根據(jù)奇偶性和單調(diào)性求解.【詳解】，所以是奇函數(shù)，又，在R的范圍內(nèi)是增函數(shù)，有解等價于，有解，令，當(dāng)時，是增函數(shù)，當(dāng)x趨于時，趨于，滿足題意；當(dāng)時，當(dāng)時，，是增函數(shù)，當(dāng)時，是減函數(shù)，；令，則，當(dāng)時，，是增函數(shù)，當(dāng)時，是減函數(shù)，并且當(dāng)時，，，當(dāng)時，即當(dāng)時，滿足題意，所以a的取值范圍是；故答案為：.27．（2023·江蘇·江蘇省邗江中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知定義在上的函數(shù)為奇函數(shù)，且滿足