專題02式與方程數與代數式、方程的銜接小學階段，學生所接觸到的數都是從生活中來的。在他們的印象中，數是一個具體的、能代表多少的表示符號，而在初中“有理數”知識中，引進了“式”的概念，從而研究式的運算。這是從“數”到“一段抽象的含字母的代數式的過渡”，是學生在學習數學上的一大轉折點，實現從具體到一般、到抽象的飛躍，也是對剛入初中學生思維的一次飛躍。其實數與式的主要變化就是從數字的具體運算到代數式的形式化運算的轉變。為了順利完成這一轉變，可以在小學高年級階段嘗試運用“半代數式運算”的方法進行教學滲透。各版本的小學數學教材都安排了解方程的內容。小學生所接觸的方程比較簡單，加上受算術思維的影響，列出的這些方程，思維方式實質上還是算術的。為了讓學生后續方程的學習，可以引導學生理解：列方程過程中，重要的是未知數要參與運算，用等量關系列出方程。1．用字母表示數、數量關系、計算公式和運算定律1）用字母表示數和數量關系（1）一班有男生a人，有女生b人，一共有（a＋b）人；（2）每袋面粉重25千克，x袋面粉一共重25x干克（3）路程＝速度×時間，用字母表示為s＝vt；（4）正比例關系：（一定），反比例關系：x×y＝k（一定）。2）用字母表示計算公式及運算定理長方形周長：C＝2（a＋b）；長方形面積：S＝ab；長方體體積：V＝abh或V＝Sh。加法交換律：a＋b＝b＋a加法結合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）乘法交換律：ab＝ba乘法結合律：（ab）c＝a（bc）乘法分配律：（a＋b）c=ac＋bc注意：①數與字母、字母與字母相乘時，乘號可以記作簡寫為一個點或省略不寫，但要注意，省略乘號后，數字要寫在字母的前面。②兩個相同的字母相乘時，可寫成這個字母的平方，如a×a可以寫作a2。2．等式與方程1）等式與方程的意義及關系意義關系等式表示相等關系的式子叫作等式所有的方程都是等式，但是等式不一定是方程方程含有未知數的等式叫作方程2）等式的性質（1）性質1：等式兩邊同時加上或減去同一個數，所得結果仍然是等式。（2）性質2：等式的兩邊同時乘或除以同一個不為0的數，所得結果仍然是等式。3）解方程（1）方程的解的概念：使方程左右兩邊相等的未知數的值，叫作方程的解。（2）解方程的概念：求方程的解的過程叫作解方程。（3）解方程的依據：可以根據等式的性質和四則運算中各部分之間的關系解方程。（4）檢驗方程的解是否正確，步驟如下：①把求出的未知數的值代入原方程中；②計算，看等式是否成立；③等式成立，說明這個未知數的值是方程的解，等式不成立，說明解方程錯誤，需要重新求解。【題型一】字母表示數【解題技巧】1）字母可以表示任意的數，也可以表示特定意義的公式，還可以表示符合條件的某一個數，甚至可以表示具有某些規律的數，總之字母可以簡明的將數量關系表示出來。2）用字母表示數的意義：有助于揭示概念的本質特征，能使數量之間的關系更加簡明，更具有普遍意義。使思維過程簡約化，易于形成概念系統。【典題1】（2022·全國·六年級期末）冬冬今年12歲，爸爸今年36歲，如果用a表示冬冬某一年的年齡，那么用（

）表示這一年爸爸的年齡最合適。A．a＋12 B．a＋24 C．a＋36 D．3a【典題2】（2021·福建·浦城縣榮華實驗學校六年級期末）餐廳規定：一張桌子每邊坐一人，可坐4人。當客人超過4人時，將多張桌子拼成一張長桌，如下圖：第n張桌子可座()人。（用含有字母n的算式表示）【變式練習】1．（2022·江蘇宿遷·五年級期中）甲袋有千克大米，如果從甲袋倒出6千克裝入乙袋，那么兩袋的大米同樣重。原來乙袋有()千克大米。2．（2022·山東·寧陽金橋學校四年級期末）兩個式子結果相同的一組是（

）。A．和B．和C．和D．和3.（2021·江蘇淮安·六年級期末）某養殖場雞有x只，鴨的只數比雞的5倍少20只。鴨有()只，鴨比雞多()只。4．（2021·湖南株洲·小升初真題）如圖所示，學校閱覽室有能坐4人的方桌，如果多于4人就把方桌拼成一行，2張方桌拼成一行最多能坐6人，則（≥1，且為整數）張方桌拼成一行最多能坐______人。（用含有的式子表示）【題型二】等量代換【解題技巧】等量代換是指一個量用與它相等的量去代替，它是數學中一種基本的思想方法，也是代數思想方法的基礎。．如果能應用等量代換思考問題，不僅有助于學生找到鋸決問題的便捷方法，而且有助于鍛煉學生的思維，提高學生解決實際問題的能力。【典題1】（2021·上海·五年級單元測試）若2a＋2b＋1＝6，則5（a＋b）－4的結果是（

）A．2.5 B．4.5 C．8.5 D．12.5【典題2】（2020·湖北十堰·小升初真題）〇、口、△各代表一個數，根據〇＋△＝50，口＋△＝63，〇＋口＝77，求得〇＝()。【變式練習】1．（2020·浙江·小升初真題）若，則的值是()。2．（2021·湖北十堰·小升初真題）已知△＋△＋□＋□＋□＝41，△＋△＋△＋□＋□＝39，那么△＝()，□＝()。3．（2022·云南·河口縣教研室五年級期末）已知a＋b＋c＝180，如果b＝a＋c，a＝2c；那么6a＋4b＝()；2c＋2b＝()。4．（2021·河南·淮濱縣實驗小學五年級期末）已知a與b為兩個自然數，a的恰好等于b的；如果a減去3，b加上3，那么兩數相等。a與b的和是()。5．（2022·江蘇省淮安市淮陰區淮陰師范學院第二附屬小學五年級期末）張老師買了3個足球和4個排球，花了390元。王老師買了同樣的6個足球和2個排球，花了420元。現在體育組要再買同樣的18個足球和12個排球，共需()元。【題型三】等式與方程的概念辨析【解題技巧】1）等式：表示相等關系的式子叫作等式。2）方程：含有未知數的等式。如何判斷一個式子是不是方程，只需看兩點：一.是等式；二.是含有未知數．例：3x=5y+2；100x=200；3x2+2y=3等3）注意：方程一定是等式，等式不一定是方程。【典題1】（2022·湖北武漢·五年級期末）下列圖中表示的關系正確的是（

）。A． B． C．【典題2】（2022·河南·郟縣教育局教研室五年級期中）在①8b÷9；②35－x＝8；③6×8＝48；④5A＜2.5；⑤7y＝63；⑥8x＋7y＝18中，等式有()，方程有()。（填序號）【變式練習】1．（2022·浙江嘉興·五年級期末）下列式子中，（

）是方程。A．3a＝18 B．5＋x C．1.7－a＞2 D．4.5÷5＝0.92．（2021·江蘇鹽城·五年級期末）我們可以用這樣的圖表示一些數學知識的包含關系，下列四個圖中，（）表示的關系不正確。A． B． C． D．3．（2022·福建寧德·五年級期中）在①、②、③、④中，是等式的有()，是方程的有()。（填序號）【題型四】等式的性質及其運用【解題技巧】等式的性質（1）性質1：等式兩邊同時加上或減去同一個數，所得結果仍然是等式。（2）性質2：等式的兩邊同時乘或除以同一個不為0的數，所得結果仍然是等式。【典題1】（2021·四川眉山·五年級期末）如果，那么下列等式正確的是（

）。A． B． C．【典題2】（2022·江蘇·五年級單元測試）如果x＋2.5＝7.5，那么4.2x＝()；如果x÷1.5＝5，那么x－0.3＝()。【變式練習】1．（2022·浙江臺州·五年級期末）如果，下面說法正確的是（

）。A． B． C． D．2．（2022·福建寧德·五年級期中）如果，那么x（

）y。A．大于 B．小于 C．等于 D．大于或等于3．（2022·山東·成武縣實驗小學五年級期末）運用等式的性質進行變形，正確的是（

）。A．如果，那么B．如果，那么C．如果，那么4．（2022·河南周口·五年級期末）如果，那么根據等式的性質：()；2m×d＝（n＋3）×()。5．（2022·河北·唐縣教育局教研室五年級期末）觀察下圖：如果每個梨一樣重，要使天平保持平衡，右邊托盤應該添加一個（

）。A．桃 B．蘋果 C．梨 D．無法確定【題型五】方程的解及其運用【解題技巧】1)方程的解：使方程兩邊相等的未知數的值；2）解方程：求方程的解的過程；3）會利用方程的解，求字母的數值。【典題1】（2021·湖南張家界·五年級期末）下列方程的解不是x＝5的是（

）。A．3x＋25x＝140 B．13.8－x＝8.8 C．1.3（x＋5）＝26【典題2】（2021·江蘇·六年級單元測試）方程ax－4＝4的解是x＝2，則a－1＝（

）。A．10 B．16 C．15 D．7【變式練習】1．（2022·四川樂山·五年級期末）是下列（

）方程的解。A． B． C． D．2．（2022·河南周口·五年級階段練習）方程6.5x＝0沒有解。()判斷題3．（2021·山東濟南·六年級期末）方程x－0.25＝的解是（

）。A． B． C．4．（2022·江蘇徐州·五年級期中）若x＝2是方程3x＋4a＝22的解，則a的值為（

）。A．4 B．7 C．10【題型六】解方程【解題技巧】。1）解方程的依據：可以根據等式的性質和四則運算中各部分之間的關系解方程。2）檢驗方程的解是否正確，步驟如下：①把求出的未知數的值代入原方程中；②計算，看等式是否成立；③等式成立，說明這個未知數的值是方程的解，等式不成立，說明解方程錯誤，需要重新求解。【典題1】（2022·遼寧·六年級期末）解方程。

4.2＝16.8

【典題2】（2021·黑龍江哈爾濱·六年級期末）解方程。

【變式練習】1．（2022·江蘇常州·五年級期中）由x－3.8＝6.2得x＝10。這個過程叫作（

）。A．方程 B．解方程 C．方程的解2．（2022·全國·五年級專題練習）解方程。（1）

（2）

（3）3．（2022·山東·禹城市教育和體育局六年級期中）解方程或比例。2x－40%x＝0.8

4．（2022·廣東省深圳市龍華中心小學六年級期中）解方程，要寫出過程。5x－＝

8x－5.5x＝1＝

x∶＝0.36∶【題型七】找等量關系與列方程【解題技巧】與用字母表示式子的思路相同，尋找題干中的等量關系，利用未知數表示出來。【典題1】（2022·浙江嘉興·五年級期末）王阿姨買了2.4千克蘋果和3.8千克梨，總共付了92.6元。已知梨每千克13元，蘋果每千克多少元？下列數量關系中錯誤的是（

）。A．蘋果的單價×蘋果的數量十梨的單價×梨的數量＝總價B．（蘋果的單價＋梨的單價）×（蘋果的數量＋梨的數量）＝總價C．總價－蘋果的單價×蘋果的數量＝梨的單價×梨的數量D．總價－梨的單價×梨的數量＝蘋果的單價×蘋果的數量【典題2】（2022·遼寧·五年級期末）媽媽在商場買了一瓶洗面奶和一盒面膜，一共花了240元。其中洗面奶的價錢是面膜的一半，洗面奶和面膜的價錢分別是多少元？方法1：洗面奶的價錢是面膜的一半，也就是()的價錢()的價錢×。解：設面膜的價錢是元方法2：也可以想面膜的價錢是洗面奶的()倍。解：設洗面奶的價錢是元。【變式練習】1．（2022·福建寧德·五年級期中）按要求寫出等量關系，并列方程。（不用解答）興趣小組共有36人，其中女生人數是男生3倍。等量關系式：______________________________＝總共人數。如果設男生x人，列方程是()。2．（2022·福建寧德·五年級期中）按要求寫出等量關系，并列方程。（不用解答）一堆煤26噸，每天用0.5噸，用去若干天后，還剩下12噸。等量關系式：______________________________＝這堆煤的噸數。如果設用去x天，列方程是()。3．（2022·河南周口·五年級期中）碩望小學為拓寬學生視野，新運來1580本圖書，由A、B兩名圖書管理員整理。A管理員整理了3天，每天整理312本，剩下的B管理員整理了2天正好整理完，B管理員平均每天整理多少本？題中的等量關系式為()，解：設B管理員平均每天整理x本，可列方程為()。4．（2021·山東威海·四年級期末）一個足球比一個籃球貴42元，一個足球的價格是籃球的1.6倍。足球和籃球各多少錢？（列方程解答）等量關系式：（

）1．（2021·北京·小升初模擬）x＝4是下列方程（

）的解。A．5x－2x＝120 B．2x＋4x＝24 C．2.5x＋1.5x＝102．（2022·全國·六年級課時練習）如果方程ax＋8＝42的解是x＝4，那么a＋1的值是（

）。A．5 B．34 C．9.53．（2022·江蘇·五年級單元測試）使方程左右兩邊相等的未知數的值叫做（

）。A．解方程 B．方程 C．方程的解4．（2022·山西·大同市新榮區教育局教研室五年級階段練習）與方程x＋0.8x＝36有相同解的是（

）。A．1.68＋x＝3.98 B．x÷35＝6.8 C．12x÷16＝4.32 D．43－x＝235．（2022·山東·四年級單元測試）甲袋有m千克大米，乙袋有n千克大米。如果從甲袋倒出10千克裝入乙袋，那么兩袋大米同樣重。下面的等式有（

）個符合題意。①；②；③；④A．1 B．2 C．3 D．46．（2022·福建寧德·五年級期中）小麗有a張郵票，小冬有b張郵票，如果小冬送給小麗10張，那么兩人郵票就樣多。下面（

）符合題意。A． B． C． D．7．（2022·福建寧德·五年級期中）表示等式與方程的關系，下圖正確的是（

）。A． B． C． D．8．（2022·江蘇淮安·五年級階段練習）甲乙兩筐蘋果，甲筐x千克，乙筐32千克。從乙筐拿4千克放入甲筐，兩筐蘋果就一樣重。下列方程正確的是（

）。A．32－x＝4 B．x＋4＝32 C．x－8＝32 D．x＋4＝32－49．（2022·重慶·五年級期末）根據等式4a＝5b（a、b均不為0），下列等式不成立的是（

）。A．4a×4＝5b×4 B．4a＋8a＝5b＋8a C．4a×4＝5b×5 D．4a÷2＝5b÷210．（2022·湖南常德·六年級期末）甲數的和乙數的相等，甲數和乙數相比（

）。A．甲大 B．乙大 C．一樣大 D．無法比較11．（2022·山東菏澤·五年級期末）如果，那么()。12．（2022·福建三明·五年級期末）如果a＝b，那么a－3＝b－()，5a＝b＋()。13．（2022·江蘇·五年級單元測試）下面是等式的有()，是方程的有()。（填序號）①x－12＝5

②40×2－80

③9＋y

④5b＜4.5

⑤40x＝600

⑥x＋4＝7.5

⑦70＋268915．（2021·江蘇連云港·六年級期中）○×△＝36，○÷△＝4，○＝()，△＝()。16．（2022·江蘇泰州·五年級期中）要使方程口＋x＝