10.2離散型隨機變量及其分布列、均值、方差考點離散型隨機變量及其分布列、均值與方差1.離散型隨機變量的分布列(1)一般地,對于隨機試驗樣本空間Ω中的每個樣本點ω,都有唯一的實數X(ω)與之對應,

我們稱X為隨機變量.可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機變量,我們稱為離散型

隨機變量.(2)一般地,設離散型隨機變量X的可能取值為x1,x2,…,xn,我們稱X取每一個值xi的概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n為X的概率分布列,簡稱分布列.用表格表示如表:Xx1x2…xnPp1p2…pn(3)離散型隨機變量的分布列的性質①pi≥0,i=1,2,…,n;②p1+p2+…+pn=1;③P(xi≤X≤xj)=pi+pi+1+…+pj(i<j且i,j∈N*).2.兩點分布若隨機變量X的分布列為X01P1-pp則稱X服從兩點分布或0—1分布.3.離散型隨機變量的均值與方差(1)均值定義:一般地,若離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn=

xipi為隨機變量X的均值或數學期望,它反映了離散型隨機變量取值的平均水平.(2)方差定義:D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-

=

(xi-E(X))2pi為隨機變量X的方差,

為隨機變量X的標準差,記作σ(X).它們都可以度量隨機變量X與其均值E(X)的偏離程度.(3)均值與方差的性質E(aX+b)=aE(X)+b.(a,b為常數)D(aX+b)=a2D(X).(a,b為常數)(4)均值與方差的關系:D(X)=E(X2)-E2(X).(5)兩點分布的均值、方差若隨機變量X服從兩點分布,那么E(X)=p,D(X)=p(1-p).即練即清1.判斷正誤.(對的打“√”,錯的打“?”)(1)隨機變量的取值可以是有限個,也可以是無限個.

(

)(2)甲進行3次射擊,甲擊中目標的概率為

,記甲擊中目標的次數為X,則X的可能取值為1,2,3.

(

)(3)離散型隨機變量X的期望E(X)反映了X取值的概率的平均值.

(

)(4)離散型隨機變量X的方差D(X)反映了X取值與其均值的偏離程度.

(

)√××√2.隨機變量X的概率分布列為P(X=n)=

(n=1,2,3,4),其中a為常數,則P

=

.3.已知離散型隨機變量ξ的分布列為ξ102030P0.6a

-

則D(3ξ-3)=

.405題型一離散型隨機變量及其分布列、均值與方差典例1為歡度春節,某商場組織了“文明迎新年”知識競賽活動,每名參賽者需要回

答A、B、C三道題目,通過答題獲得積分,進而獲得相應的禮品.每題答錯得0分,答對A

題目得1分,答對B、C題目分別得2分,每名參賽者的最后得分為每題得分的累計得分,

已知一名參賽者答對A題目的概率為

,答對B、C題目的概率均為

,并且每題答對與否相互獨立.(1)求該名參賽者恰好答對兩道題目的概率;(2)求該名參賽者最終累計得分的分布列和數學期望.解析

(1)由題意可得:該名參賽者恰好答對兩道題目的概率P=

×

×

+

×

×

+

×

×

=

.(2)設該名參賽者最終累計得分為X,可知X=0,1,2,3,4,5,則P(X=0)=

×

×

=

;(全部答錯)P(X=1)=

×

×

=

;(答對A題)P(X=2)=

×

×

+

×

×

=

;(答對B題或C題)P(X=3)=

×

×

+

×

×

=

;(答對A,B題或A,C題)P(X=4)=

×

×

=

;(答對B,C題)P(X=5)=

×

×

=

,(全部答對)可得該名參賽者最終累計得分的分布列為X012345P

(提醒:判斷所求離散型隨機變量的分布列是否正確,可用p1+p2+…+pn=1檢驗)所以數學期望E(X)=0×

+1×

+2×

+3×

+4×

+5×

=2.技巧

求離散型隨機變量分布列、均值、方差的步驟1.明確隨機變量的所有可能取值以及取每個值所表示的意義;2.利用概率的有關知識,求出隨機變量取每個值的概率;3.按規范形式寫出分布列,并用分布列的性質驗證;4.根據分布列,正確運用期望與方差的定義或公式進行計算.變式訓練1-1

(關鍵元素變式)開展中小學生課后服務,是促進學生健康成長、幫助家

長解決接送學生困難的重要舉措,是進一步增強教育服務能力、使人民群眾具有更多

獲得感和幸福感的民生工程.某校為確保學生課后服務工作順利開展,制訂了兩套工作

方案,為了解學生對這兩個方案的支持情況,對學生進行簡單隨機抽樣,獲得數據如表:

男女支持方案一2416支持方案二2535假設用頻率估計概率,且所有學生對活動方案是否支持相互獨立.(1)從該校支持方案一和支持方案二的學生中各隨機抽取1人,設X為抽出兩人中女生的

個數,求X的分布列與數學期望;(2)在(1)的前提下Y表示抽出兩人中男生的個數,試判斷方差D(X)與D(Y)的大小.解析

(1)記從支持方案一的學生中抽取到女生為事件A,從支持方案二的學生中抽取到女生

為事件B,則P(A)=

=

,P(B)=

=

.X的可能取值為0、1、2,所以P(X=0)=

×

=

,P(X=1)=

×

+

×

=

,P(X=2)=

×

=

,所以X的分布列為X012P

所以E(X)=0×

+1×

+2×

=

.(2)依題意可得Y=2-X,所以D(Y)=D(2-X)=(-1)2D(X)=D(X),即D(Y)=D(X).題型二均值與方差中的決策問題典例2

(2016課標Ⅰ,19,12分)某公司計劃購買2臺機器,該種機器使用三年后即被淘汰.

機器有一易損零件,在購進機器時,可以額外購買這種零件作為備件,每個200元.在機器

使用期間,如果備件不足再購買,則每個500元.現需決策在購買機器時應同時購買幾個

易損零件,為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數,得下

面柱狀圖:以這100臺機器更換的易損零件數的頻率代替1臺機器更換的易損零件數發生的概率,

記X表示2臺機器三年內共需更換的易損零件數,n表示購買2臺機器的同時購買的易損

零件數.(1)求X的分布列;(2)若要求P(X≤n)≥0.5,確定n的最小值;(3)以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據,在n=19與n=20之中選其一,應選用哪

個?解析

(1)由柱狀圖并以頻率代替概率可得,一臺機器在三年內需更換的易損零件數為8,9,10,11的概率分別為0.2,0.4,0.2,0.2.可知X的所有可能取值為16、17、18、19、20、21、22,P(X=16)=0.2×0.2=0.04;P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16;P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24;P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24;P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2;P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08;P(X=22)=0.2×0.2=0.04.所以X的分布列為X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由(1)知P(X≤18)=0.44,P(X≤19)=0.68,故n的最小值為19.(3)記Y表示2臺機器在購買易損零件上所需的費用(單位:元).當n=19時,E(Y)=19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19×200+2×500)×0.08+(19×200+3×500)×0.04=4040.當n=20時,E(Y)=20×200×0.88+(20×200+500)×0.08+(20×200+2×500)×0.04=4080.可知當n=19時所需費用的期望值小于n=20時所需費用的期望值,故應選n=19.技巧

通過均值或方差進行方案比較或決策時通常從以下兩個方面考慮:1.當均值不同時,兩個隨機變量取值的水平有區別,可直接對問題作出判斷.2.若兩個隨機變量的均值相同或相差不大,則可通過方差來研究兩個隨機變量的取值

的離散程度或者穩定程度,從而進行決策.變式訓練2-1

(情景模型變式)為增加學生對籃球運動的興趣,學校舉辦趣味投籃比賽,

第一輪比賽的規則為選手需要在距離罰球線1米,2米,3米的A,B,C三個位置分別投籃一

次.在三個位置均投進得10分;在C處投進,且在A,B兩處至少有一處未投進得7分;其余情

況(包括A、B、C三處均不投進)保底得4分.已知小王同學在A,B,C三處的投籃命中率分

別為

,

,

,且在三處的投籃是否命中相互獨立.(1)設ξ為小王同學在第一輪比賽的得分,求ξ的分布列和期望;(2)若第二輪比賽中設置兩種參賽方法.方法1:按第一輪比賽規則進行比賽;方法2:選手

可以選擇在C處縮短投籃距離0.5米,但得分會減少a(1≤a≤3)分.選手可以任選一種規

則參加比賽.若小王同學在C處縮短投籃距離0.5米后,投籃命中率會增加b

.請你根據統計知識,幫助小王同學選擇采用哪種方法參加比賽更好.解析

(1)ξ的可能取值為4,7,10,P(ξ=10)=

×

×

=

,P(ξ=7)=

×

×

+

×

×

+

×

×

=

,P(ξ=4)=1-

-

=

,所以分布列為ξ4710P

所以E(ξ)=4×

+7×

+10×

=

.(2)如果選取方法2參加比賽,則小王同學得分η的可能取值為4-a,7-a,10-a,P(η=10-a)=

×

×

=

+

,P(η=7-a)=

×

×

+

×

×

+

×

×

=

+

b,P(