6.2等差數列考點1等差數列及其前n項和1.等差數列相關概念(1)定義:一般地,如果一個數列從第二項起,每一項與它的前一項的差都等于同一個常

數,那么這個數列就叫做等差數列,這個常數叫做等差數列的公差,公差通常用字母d表

示.(2)等差中項:由三個數a,A,b組成等差數列可以看成是最簡單的等差數列.這時A叫做a

與b的等差中項,根據等差數列的定義知2A=a+b.(3)通項公式:an=a1+(n-1)d(n∈N*).2.等差數列的前n項和公式(1)等差數列的前n項和公式:Sn=

=na1+

d.(2)等差數列的前n項和公式與函數的關系:由Sn=na1+

d可得Sn=

n2+

n,設a=

,b=a1-

,則Sn=an2+bn.(3)最值:若a1>0,d<0,則Sn存在最大值;若a1<0,d>0,則Sn存在最小值.考點2等差數列的性質1.等差數列的常用性質(1)通項公式的推廣:an=am+(n-m)d(n,m∈N*).(2)若{an}是等差數列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),則ak+al=am+an;反之,不一定成立.(3)若{an},{bn}是等差數列,則{pan+qbn}(p,q是常數)也是等差數列.(4)若{an}是等差數列,則ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)組成公差為md的等差數列.(5)當d>0時,數列{an}為遞增數列;當d<0時,數列{an}為遞減數列;當d=0時,數列{an}為常

數列.(6)若已知數列{an}的通項公式是an=pn+q(其中p,q為常數),則數列{an}一定是等差數列,

且公差為p.2.與等差數列前n項和有關的性質(1)若{an}是等差數列,其前n項和為Sn,則

也是等差數列,其首項與{an}的首項相同,公差是{an}的公差的

.(2)若{an}是等差數列,Sm,S2m,S3m分別為{an}的前m項,前2m項,前3m項的和,則Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差數列.(3)非零等差數列奇數項和與偶數項和的性質:①若項數為2n,則S偶-S奇=nd,

=

.②若項數為2n-1,則S偶=(n-1)an,S奇=nan,S奇-S偶=an,

=

.(4)若兩個等差數列{an}、{bn}的前n項和分別為Sn、Tn,則

=

.(5)若數列{an}的前n項和Sn=An2+Bn(A,B為常數),則數列{an}是等差數列,且公差為2A.即練即清1.判斷正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“?”)(1)如果一個數列從第2項起,每一項與它的前一項的差都是常數,那么這個數列是等差

數列.

(

)(2)數列{an}為等差數列的充要條件是對任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.

(

)(3)在等差數列{an}中,若am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*),則m+n=p+q.

(

)(4)等差數列的前n項和公式是常數項為0的二次函數.

(

)×√××2.在等差數列{an}中,a4+a8=10,a10=6,則公差d=

(

)A.

B.

C.2

D.-

3.設Sn是等差數列{an}的前n項和,若a1+a3+a5=3,則S5=

.4.在等差數列{an}中,若a3+a7=10,a6=7,則數列{an}的通項公式為an=

,前n項和

為Sn=

.5.(易錯題)在等差數列{an}中,a1=7,公差為d,前n項和為Sn,當且僅當n=8時,Sn取得最大值,

則d的取值范圍為

.A52n-5n2-4n題型一等差數列基本量的計算典例1

(2025屆湖南長沙六校大聯考,3)等差數列{an}(n∈N*)中,a2=10,a7-a4=2a1,則a7=

(

)A.40

B.30

C.20

D.10B解析

設等差數列{an}(n∈N*)的公差為d,由a7-a4=2a1,得3d=2a1,由a2=10,得a1+d=a1+

a1=10,解得a1=6,d=4,所以a7=a1+6d=6+24=30.故選B.歸納總結

等差數列的通項公式及前n項和公式涉及a1,an,d,n,Sn五個量,知道其中三個

就能求另外兩個(簡稱“知三求二”),通常利用條件和通項公式、前n項和公式建立方

程(組)求解.變式訓練1-1

(設問條件變式)(2025屆廣東七校聯考,3)在等差數列{an}中,已知a1=-9,a3

+a5=-9,a2n-1=9,則n=

(

)A.7

B.8

C.9

D.10A解析

設等差數列{an}的公差為d,由a1=-9,a3+a5=2a1+6d=-9,則d=

,所以a2n-1=-9+(2n-2)×

=9,故n=7.題型二等差數列的判定與證明典例2

(2021全國甲文,18,12分)記Sn為數列{an}的前n項和,已知an>0,a2=3a1,且數列

{

}是等差數列.證明:{an}是等差數列.證明

設等差數列{

}的公差為d,由題意得

=

,

=

=

=2

,則d=

-

=2

-

=

,所以

=

+(n-1)

=n

,所以Sn=n2a1①,當n≥2時,有Sn-1=(n-1)2a1②.由①-②,得an=Sn-Sn-1=n2a1-(n-1)2a1=(2n-1)a1③,經檢驗,當n=1時也滿足③.所以an=(2n-1)a1,n∈N*,當n≥2時,an-an-1=(2n-1)a1-(2n-3)a1=2a1,所以數列{an}是首項為a1,公差為2a1的等差數列.歸納總結

等差數列判定與證明的方法方法解讀適合題型定義法對于任意自然數n(n≥2),an-an-1為

同一常數?{an}是等差數列解答題中的證明問題等差中項法2an-1=an+an-2(n≥3,且n∈N*)成立?

{an}是等差數列通項公式法an=pn+q(p,q為常數)對任意的正

整數n都成立?{an}是等差數列選擇題、填空題中的判定問題前n項和公式法Sn=An2+Bn(A,B是常數)對任意的正整數n都成立?{an}是等差數列變式訓練2-1

(關鍵元素變式)(2025屆山東省部分學校開學聯合教學質量檢測,15)已

知數列{an}的首項為a1=

,且滿足an+1+4an+1an-an=0.(1)證明:數列

為等差數列;(2)設數列

的前n項和為Sn,求數列{(-1)nSn}的前n項和.解析

(1)證明:因為an+1+4an+1an-an=0,所以an-an+1=4anan+1,若an+1an=0,則an=an+1=0,與a1=

矛盾,所以an+1an≠0,所以

-

=4,因為a1=

,所以

=2,所以數列

是首項為2,公差為4的等差數列.(2)由(1)知

=2+(n-1)·4=4n-2,數列

的前n項和為Sn=

=2n2,所以(-1)nSn=2(-1)nn2,設數列{(-1)nSn}的前n項和為Tn,當n為偶數時,Tn=2[-12+22-32+…-(n-1)2+n2],因為n2-(n-1)2=2n-1,所以Tn=2[3+7+…+(2n-1)]=2·

·

=n(n+1)=n2+n.當n為奇數時,n-1為偶數.Tn=Tn-1+2·(-1)nn2=(n-1)n-2n2=-n2-n,所以Tn=

題型三等差數列性質的應用角度1項的性質典例3

(2025屆重慶聯考,3)設等差數列{an}的前n項和為Sn,且a3+a11-a5=4,則S17=

(

)A.58

B.68

C.116

D.136B解析

設公差為d.由等差數列的性質可得a3+a11=2a7,代入已知式子可得2a7-a5=4,∴2(a5+2d)-a5

=4,∴a5+4d=4,即a9=4,∴S17=

=

=17a9=68.故選B.歸納總結

(1)應用等差數列的性質解題時,要靈活應用等差數列通項公式及前n項和

公式;(2)需注意性質成立的前提條件.變式訓練3-1

(設問條件變式)數列{an}是等差數列,若a3a9=8,

+

=

,則a6=

(

)A.2

B.4

C.

D.

C解析

+

=

=

=

=

,故a6=

.故選C.變式訓練3-2已知等差數列{an}是遞增數列,且滿足a3+a5=14,a2a6=33,則a1a7等于

(

)A.33

B.16

C.13

D.12C解析

設公差為d.由等差數列的性質得,a2+a6=a3+a5=14,又a2a6=33,解得

或

又{an}是遞增數列,所以

∴d=

=2,∴a1a7=(a2-d)(a6+d)=(3-2)×(11+2)=13.故選C.角度2和的性質典例4

(2025屆浙江省名校第一次聯考,3)已知等差數列{an}的前n項和為Sn,若

=

,則

=(

)A.

B.

C.

D.

D解析

=

=

=

×

=

,故選D.典例5

(2025屆浙江省強基聯盟聯考,5)已知等差數列{an}的前n項和為Sn,

-

=2,a1=1,則a4=

(

)A.4

B.5

C.6

D.7D解析

設等差數列{an}的公差為d,則

是公差為

的等差數列.又

-

=d=2,a1=1,∴an=2n-1,∴a4=7,故選D.變式訓練3-3

(關鍵元素變式)(2025屆河北邯鄲第一次調研,3)已知Sn為等差數列{an}

的前n項和,且

=

,則

=

(

)A.3

B.2

C.

D.

B解析

=

=

=

,所以

=2.變式訓練3-4

(2024湖北武漢外國語學校?？?14)設等差數列{an}、{bn}的前n項和分

別為Sn、Tn,若對任意的n∈N*,都有

=

,則

+

=

.解析

+

=

+

=

=

=

,

=

=

=

=

=

.題型四等差數列的前n項和的最值典例6

(2022全國甲,理17,文18,12分)記Sn為數列{an}的前n項和.已知

+n=2an+1.(1)證明:{an}是等差數列;(2)若a4,a7,a9成等比數列,求Sn的最小值.解析

(1)證明:由已知條件

+n=2an+1可得,2Sn=2nan+n-n2①,當n≥2時,由①可得2Sn-1=2(n-1)·an-1+(n-1)-(n-1)2②,由an=Sn-Sn-1及①-②可得,(2n-2)an-(2n-

2)an-1=2n-2,n≥2,且n∈N*,即an-an-1=1,因此{an}是等差數列,公差為1.(2)∵a4,a7,a9成等比數列,且{an}是以1為公差的等差數列,∴(a1+3×1)(a1+8×1)=(a1+6×1)2,即(a1+3)(a1+8)=(a1+6)2,解得a1=-12.解法一:數列{an}是首項為-12,公差為1的等差數列,∴Sn=n×(-12)+

×1=

,∴當n=12或n=13時,Sn取最小值,為

=-78.解法二:an=-12+(n-1)×1=n-13,當n≤12且n∈N*時,an<0;當n=13時,an=0;當n≥14且n∈N*時,an>0.∴當n=12或n=13時,Sn取最小值,為-12×12+

×1=-78.歸納總結求等差數列前n項和Sn的最值的三種方法(1)二次函數法:利用Sn=An2+Bn(A≠0,B為常數),通過配方或借助二次函數的圖象求最

值,注意n為正整數.(2)通項公式法:①當a1>0,d<0時,滿足

的項數m使得Sn取得最大值Sm;②當a1<0,d>0時,滿足

的項數m使得Sn取得最小值Sm.(3)不等式組法:借助當Sn最大時,有

(n≥2,n∈N*),解此不等式組確定n的范圍,進而確定n的值和對應Sn的值(即Sn的最大值),類似可求最小值.變式訓練4-1

(設問條件變式)(2025屆河北衡水檢測,5)已知等差數列{an}的公差小于

0,前n項和為Sn