2.9函數模型及應用考點常見函數模型1.幾種常見的函數模型函數模型函數解析式一次函數模型f(x)=ax+b(a,b為常數,a≠0)二次函數模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數,a≠0)指數函數模型f(x)=bax+c(a,b,c為常數,a>0且a≠1,b≠0)對數函數模型f(x)=blogax+c(a,b,c為常數,a>0且a≠1,b≠0)冪函數模型f(x)=axn+b(a,b為常數,a≠0,n≠0)“對勾”函數模型y=x+

(a>0)2.指數、對數、冪函數模型性質比較性質函數y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xn(n>0)在(0,+∞)上的單調性單調遞增單調遞增單調遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩圖象的變化隨x的增大逐漸表現為與y軸平行隨x的增大逐漸表現為與x軸平行隨n值變化而各有不同函數值的比較存在一個x0,當x>x0時,有logax<xn<ax提醒

“直線上升”是勻速增長,其增長量固定不變;“指數增長”先慢后快,其增長量

越來越大,常用“指數爆炸”來形容;“對數增長”先快后慢,其增長量越來越小.即練即清1.判斷正誤.(對的打“√”,錯的打“?”)(1)解決某一實際問題的函數模型是唯一的.

(

)(2)函數y=2x的函數值比y=x2的函數值大.

(

)(3)某種商品進價為每件100元,按進價增加10%出售后因庫存積壓降價,若按九折出售,

則每件還能獲利.

(

)2.今年某種產品的產量是m,如果保持10%的年增長率,那么經過n年(n∈N*),該產品的產

量y滿足

(

)A.y=m(1+10%·n)

B.y=m+10%C.y=m(1+10%)n-1

D.y=m(1+10%)n

×××D3.(易錯題)某商品在最近30天內的單價f(t)(單位:元)與時間t(單位:天)的函數關系是f(t)=

t+10(0<t≤30,t∈N),銷售量g(t)(單位:件)與時間t(單位:天)的函數關系是g(t)=-t+35(0<t≤

30,t∈N),則在最近30天內,這種商品的日銷售金額最高為

元.4.某種動物的種群數量y(單位:只)與時間x(單位:年)的關系式為y=alog3(x+2),若這種動

物第1年有100只,則到第7年它們發展到

只.5.某城市客運公司確定客運票價格的方法是:如果行程不超過100km,票價是0.5元/km,

如果超過100km,超過100km的部分按0.4元/km定價,則客運票價y(元)與行程x(km)之

間的函數關系式是

.506200

y=

題型利用函數模型解決實際問題利用函數模型解決實際問題的步驟1.審題:弄清題意,識別條件與結論,分析出已知什么,求什么,從中提煉出相應的數學問

題,搞清題中所給數量關系,初步選擇數學模型;2.建模:將自然語言轉化為數學語言,將文字語言轉化為符號語言,利用已有知識建立相

應的數學模型;3.解模:求解數學模型,得出結論;4.還原:將數學問題還原為實際問題.典例某應用軟件從2020年上線開始,得到了很多網民的關注,會員人數逐年增加.已知

從2020到2023年,該軟件會員每年年末的人數如表所示(注:第4年數據為截至2023年10

月底的數據).軟件上線第x年1234會員人數y/千人28405882(1)請根據表格中的數據,從下列三個模型中選擇一個恰當的模型估算上線該應用軟件

x(x∈N*)年后會員人數y(千人),求出你所選擇模型的解析式,并預測2023年年末會員人

數;①y=

+c(b>0),②y=dlogrx+e(r>0且r≠1),③y=tax+s(a>0且a≠1).(2)為了更好地維護管理應用軟件,該應用軟件規定會員人數不能超過k·

(k>0)千人,請根據(1)中你選擇的函數模型求k的最小值.解析

(1)由題中表格的數據可知,函數是一個增函數,且函數增長得越來越快,故選擇模型③

較為合適,由題中表格的數據可得

解得

所以函數模型的解析式為y=16·

+4(x∈N*),預測2023年年末的會員人數為16×

+4=85(千人).(2)由題意可得16·

+4≤k·

,令t=

,t≥

,則16t+4≤kt2,則k≥

+

,令s=

,s∈

,f(s)=4s2+16s,則函數f(s)在

上單調遞增,所以f(s)max=f

=4×

+16×

=

,即k≥

,因此k的最小值為

.變式訓練

(2025屆廣東中山華僑中學第一次模擬,16)某企業為響應國家節水號召,決

定對污水進行凈化再利用,以降低自來水的使用量.經測算,企業擬安裝一種使用壽命為

4年的污水凈化設備.這種凈水設備的購置費(單位:萬元)與設備的占地面積x(單位:平方

米)成正比,比例系數為0.2.預計安裝后該企業每年需繳納的水費C(單位:萬元)與設備占

地面積x之間的函數關系為C(x)=

(x>0).將該企業的凈水設備購置費與安裝后4年需繳水費之和合計為y(單位:萬元).(1)要使y不超過7.2萬元,求設備占地面積x的取值范圍;(2)設備占地面積x為多少時,y的值最小?解析

(1)由題意得y=0.2x+

,x>0,由y≤7.2,即0.