PAGEPAGE7題組層級快練(二十二)1．下列各數中與sin2019°的值最接近的是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(1,2) D．－eq\f(\r(3),2)答案C解析2019°＝5×360°＋180°＋39°，∴sin2019°＝－sin39°和－sin30°接近，選C.2．(2024·湖北四校其次次聯考)已知角α是其次象限角，且滿意sin(eq\f(5π,2)＋α)＋3cos(α－π)＝1，則tan(π＋α)＝()A.eq\r(3) B．－eq\r(3)C．－eq\f(\r(3),3) D．－1答案B解析方法一：由sin(eq\f(5π,2)＋α)＋3cos(α－π)＝1，得cosα－3cosα＝1，∴cosα＝－eq\f(1,2)，∵角α是其次象限角，∴sinα＝eq\f(\r(3),2)，∴tan(π＋α)＝tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\r(3)，故選B.方法二：由sin(eq\f(5π,2)＋α)＋3cos(α－π)＝1，得cosα－3cosα＝1，∴cosα＝－eq\f(1,2)，∵角α是其次象限角，∴可取α＝eq\f(2π,3)，∴tan(π＋α)＝taneq\f(2π,3)＝－eq\r(3)，故選B.3．若tan(5π＋α)＝m，則eq\f(sin（α－3π）＋cos（π－α）,sin（－α）－cos（π＋a）)的值為()A.eq\f(m＋1,m－1) B.eq\f(m－1,m＋1)C．－1 D．1答案A解析∵tan(5π＋α)＝m，∴tanα＝m.原式＝eq\f(－sinα－cosα,－sinα＋cosα)＝eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(m＋1,m－1)，∴選A.4．(2024·杭州學軍中學模擬)已知cos31°＝a，則sin239°·tan149°的值為()A.eq\f(1－a2,a) B.eq\r(1－a2)C.eq\f(a2－1,a) D．－eq\r(1－a2)答案B解析sin239°·tan149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝－cos31°·(－tan31°)＝sin31°＝eq\r(1－a2).5．記cos(－80°)＝k，那么tan100°＝()A.eq\f(\r(1－k2),k) B．－eq\f(\r(1－k2),k)C.eq\f(k,\r(1－k2)) D．－eq\f(k,\r(1－k2))答案B解析cos(－80°)＝cos80°＝k，sin80°＝eq\r(1－k2)，tan80°＝eq\f(\r(1－k2),k)，tan100°＝－tan80°＝－eq\f(\r(1－k2),k).6．(2024·天津西青區)已知sinα＋cosα＝－eq\r(2)，則tanα＋eq\f(1,tanα)＝()A．2 B.eq\f(1,2)C．－2 D．－eq\f(1,2)答案A解析tanα＋eq\f(1,tanα)＝eq\f(sinα,cosα)＋eq\f(cosα,sinα)＝eq\f(sin2α＋cos2α,sinαcosα)＝eq\f(1,\f(1,2))＝2.故選A.7.eq\r(1＋2sin（π－3）cos（π＋3）)化簡的結果是()A．sin3－cos3 B．cos3－sin3C．±(sin3－cos3) D．以上都不對答案A解析sin(π－3)＝sin3，cos(π＋3)＝－cos3，∴eq\r(1－2sin3·cos3)＝eq\r(（sin3－cos3）2)＝|sin3－cos3|.∵eq\f(π,2)<3<π，∴sin3>0，cos3<0.∴原式＝sin3－cos3，選A.8．已知A＝eq\f(sin（kπ＋α）,sinα)＋eq\f(cos（kπ＋α）,cosα)(k∈Z)，則A的值構成的集合是()A．{1，－1，2，－2} B．{－1，1}C．{2，－2} D．{1，－1，0，2，－2}答案C解析當k為偶數時，A＝eq\f(sinα,sinα)＋eq\f(cosα,cosα)＝2；當k為奇數時，A＝eq\f(－sinα,sinα)－eq\f(cosα,cosα)＝－2.9．(2024·廣東廣州)已知tanθ＝2，且θ∈(0，eq\f(π,2))，則cos2θ＝()A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5)C．－eq\f(3,5) D．－eq\f(4,5)答案C解析cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝eq\f(cos2θ－sin2θ,cos2θ＋sin2θ)＝eq\f(1－tan2θ,1＋tan2θ)，將tanθ＝2代入可得cos2θ＝－eq\f(3,5).故選C.10．(2024·新疆兵團二中摸底)已知2sinθ＝1＋cosθ，則tanθ＝()A．－eq\f(4,3)或0 B.eq\f(4,3)或0C．－eq\f(4,3) D.eq\f(4,3)答案B解析方法一：將2sinθ＝1＋cosθ兩邊平方并整理可得5cos2θ＋2cosθ－3＝0，解得cosθ＝－1或eq\f(3,5).當cosθ＝－1時，θ＝2kπ＋π，k∈Z，得tanθ＝0；當cosθ＝eq\f(3,5)時，sinθ＝eq\f(1,2)(1＋cosθ)＝eq\f(4,5)，得tanθ＝eq\f(4,3).故選B.方法二：由已知4sineq\f(θ,2)coseq\f(θ,2)＝2cos2eq\f(θ,2)，∴coseq\f(θ,2)＝0或taneq\f(θ,2)＝eq\f(1,2).由coseq\f(θ,2)＝0可得sinθ＝0，從而tanθ＝0.由taneq\f(θ,2)＝eq\f(1,2)可得tanθ＝eq\f(2tan\f(θ,2),1－tan2\f(θ,2))＝eq\f(4,3)，故選B.11．(2024·福建泉州模擬)已知eq\f(1＋sinα,cosα)＝－eq\f(1,2)，則eq\f(cosα,sinα－1)的值是()A.eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．2 D．－2答案A解析因為1－sin2α＝cos2α，cosα≠0，1－sinα≠0，所以(1＋sinα)(1－sinα)＝cosαcosα，所以eq\f(1＋sinα,cosα)＝eq\f(cosα,1－sinα)，所以eq\f(cosα,1－sinα)＝－eq\f(1,2)，即eq\f(cosα,sinα－1)＝eq\f(1,2).故選A.12．若sinθ，cosθ是關于x的方程4x2＋2mx＋m＝0的兩個根，則m的值為()A．1＋eq\r(5) B．1－eq\r(5)C．1±eq\r(5) D．－1－eq\r(5)答案B解析由題意知，sinθ＋cosθ＝－eq\f(m,2)，sinθcosθ＝eq\f(m,4).又(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ，所以eq\f(m2,4)＝1＋eq\f(m,2)，解得m＝1±eq\r(5).又Δ＝4m2－16m≥0，所以m≤0或m≥4，所以m＝1－eq\r(5).故選B.13．化簡eq\f(1＋sinα＋cosα＋2sinαcosα,1＋sinα＋cosα)的結果是()A．2sinα B．2cosαC．sinα＋cosα D．sinα－cosα答案C解析原式＝eq\f(sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＋sinα＋cosα,1＋sinα＋cosα)＝eq\f(（sinα＋cosα）2＋sinα＋cosα,1＋sinα＋cosα)＝eq\f(（sinα＋cosα）（sinα＋cosα＋1）,1＋sinα＋cosα)＝sinα＋cosα.故選C.14．(2024·洛陽調研)若sinθ＋sin2θ＝1，則cos2θ＋cos6θ＋cos8θ的值等于()A．0 B．1C．－1 D.eq\f(\r(5)－1,2)答案B解析由sinθ＋sin2θ＝1，得sinθ＝1－sin2θ＝cos2θ，所以cos2θ＋cos6θ＋cos8θ＝sinθ＋sin3θ＋sin4θ＝sinθ＋sin2θ(sinθ＋sin2θ)＝sinθ＋sin2θ＝1.15．(2024·浙江嘉興聯考)已知α為鈍角，sin(eq\f(π,4)＋α)＝eq\f(3,4)，則sin(eq\f(π,4)－α)＝________，cos(α－eq\f(π,4))＝________．答案－eq\f(\r(7),4)，eq\f(3,4)解析sin(eq\f(π,4)－α)＝cos[eq\f(π,2)－(eq\f(π,4)－α)]＝cos(eq\f(π,4)＋α)，∵α為鈍角，∴eq\f(3,4)π<eq\f(π,4)＋α<eq\f(5,4)π.∴cos(eq\f(π,4)＋α)<0.∴cos(eq\f(π,4)＋α)＝－eq\r(1－（\f(3,4)）2)＝－eq\f(\r(7),4).cos(α－eq\f(π,4))＝sin[eq\f(π,2)＋(α－eq\f(π,4))]＝sin(eq\f(π,4)＋α)＝eq\f(3,4).16．(2024·滄州七校聯考)已知sin(3π＋α)＝2sin(eq\f(3π,2)＋α)，則①eq\f(sinα－4cosα,5sinα＋2cosα)＝________；②sin2α＋sin2α＝________．答案①－eq\f(1,6)②eq\f(8,5)解析∵sin(3π＋α)＝2sin(eq\f(3π,2)＋α)，∴－sinα＝－2cosα，即sinα＝2cosα.①原式＝eq\f(2cosα－4cosα,10cosα＋2cosα)＝eq\f(－2,12)＝－eq\f(1,6).②∵sinα＝2cosα，∴tanα＝2，∴原式＝eq\f(sin2α＋2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tan2α＋2tanα,tan2α＋1)＝eq\f(4＋4,4＋1)＝eq\f(8,5).17．已知－eq\f(π,2)<α<0，且函數f(α)＝cos(eq\f(3π,2)＋α)－sinα·eq\r(\f(1＋cosα,1－cosα))－1.(1)化簡f(α)；(2)若f(α)＝eq\f(1,5)，求sinαcosα和sinα－cosα的值．答案(1)f(α)＝sinα＋cosα(2)－eq\f(12,25)，－eq\f(7,5)解析(1)f(α)＝sinα－sinα·eq\r(\f(（1＋cosα）2,1－cos2α))－1＝sinα＋sinα·eq\f(1＋cosα,sinα)－1＝sinα＋cosα.(2)方法一：由f(α)＝sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，平方可得sin2α＋2sinα·cosα＋cos2α＝eq\f(1,25)，即2sinα·cosα＝－eq\f(24,25).∴sinα·cosα＝－eq\f(12,25).∵(sinα－cosα)2＝1－2sinα·cosα＝eq\f(49,25)，又－eq\f(π,2)<α<0，∴sinα<0，cosα>0，∴sinα－cosα<0，∴sinα－cosα＝－eq\f(7,5).方法二：聯立方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinα＋cosα＝\f(1,5)，,sin2α＋cos2α＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinα＝－\f(3,5)，,cosα＝\f(4,5)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinα＝\f(4,5)，,cosα＝－\f(3,5).))∵－eq\f(π,2)<α<0，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinα＝－\f(3,5)，,cosα＝\f(4,5).))∴sinαcosα＝－eq\f(12,25)，sinα－cosα＝－eq\f(7,5).18．(2024·上海華師大二附中期中)已知函數y＝eq\f(sinθcosθ,2＋sinθ＋cosθ).(1)設變量t＝sinθ＋cosθ，試用t表示y＝f(t)，并寫出t的取值范圍；(2)求函數y＝f(t)的值域．答案(1)y＝eq\f(t2－1,4＋2t)，t∈[－eq\r(2)，eq\r(2)](2)[eq\r(3)－2，eq\f(2＋\r(2),4)]解析(1)∵t＝sinθ＋cosθ，∴t＝sinθ＋cosθ＝eq\r(2)sin(θ＋eq\f(π,4))，∴t∈[－eq\r(2)，eq\r(2)]，t2＝