第

8章立體幾何初步8.4.1平面情景引入在《西游記》中,如來佛對孫悟空說:“你一個跟頭雖有十萬八千里,但不會跑出我的手掌心.”結(jié)果孫悟空真沒有跑出如來佛的手掌心.閱讀教材,結(jié)合上述情境回答下列問題:問題:如果把孫悟空看作是一個點,請問如來佛的手掌像什么?如來佛的手掌可以看作一個平面探索新知

前面我們初步認識了簡單幾何體的組成元素，知道了頂點、棱(直線段)、平面多邊形是構(gòu)成棱柱、棱錐等多面體的基本元素,即涉及點線面，為了進一步認識立體圖形的結(jié)構(gòu)特征，需要對點、直線、平面之間的位置關(guān)系進行研究.學習新知思考：點和線我們在小學初中階段已經(jīng)有了一定的研究，那么類比線，你能知道什么是平面嗎？無限延展不計大小絕對的平平面的特征不計厚薄黑板面課桌面平靜的水面

幾何里所說的“平面(plane)”就是從這樣的一些物體中抽象出來的.類似于直線向兩端無限延伸，平面是向四周無限延展的.我們也可以畫出平面的一部分來表示平面，即平行四邊形表示平面．當平面水平放置時，常把平行四邊形的一邊畫成橫向；當平面豎直放置時，常把平行四邊形的一邊畫成豎向．平面的畫法ABCD水平平面直立平面相交平面MNMN“平面的一部分”→

矩形→

矩形的直觀圖→平行四邊形我們常用希臘文字α、β、γ等表示平面．如平面α，平面β等并將它們寫在代表平面的平行四邊形的一個內(nèi)角內(nèi)；

也可以用代表平面的平行四邊形的四個頂點，或者相對的兩個頂點的大寫英文字母表示如圖1也可以表示為平面ABCD，平面AC或平面BDABCD

平面的表示思考：點動成線，線動成面，面動成體。那么，點線面之間有什么位置關(guān)系呢，又應(yīng)該如何表示？圖形語言文字語言符號語言

探究：我們知道，兩點可以確定一條直線，那么幾點可以確定一個平面?試一下過空間中一點可以做幾個平面？過空間中兩點呢？三點呢？圖形語言——

基本事實1：過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面應(yīng)用——確定平面；判定兩平面是否重合；證明點線共面

基本事實2：如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi).圖形語言——

應(yīng)用——判斷直線是否在平面內(nèi)；判斷點是否在平面內(nèi)

基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線圖形語言——應(yīng)用——判斷直線是否在平面內(nèi)；判斷點是否在平面內(nèi).

利用基本事實1和基礎(chǔ)事實2，再結(jié)合“兩點確定一條直線”，可以得到下面三個推論：推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面圖形語言——

文字語言——即相當于基本事實①中不共線三點中的兩點連成

一條線與第

三個點構(gòu)成直線與直線外一點確定一個平面.

推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面圖形語言—

文字語言——即相當于基本事實①中不共線三點中的兩點連成

一條線與過這兩個點中的其中一點和第三個點的

連線構(gòu)成兩條相交直線確定一個平面.

推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面圖形語言——

文字語言——即相當于基本事實①中不共線三點中的兩點連成

一條線與過第三個點作的與該直線平行的直線構(gòu)

成兩條平行直線確定一個平面.推理過程中直接

運用了兩點確定一條直線及基本事實②.

推論1～3給我們提供了確定一個平面的另外幾種方法．如圖8.4-10，用兩根細繩沿桌子四條腿的對角拉直，如果這兩根細繩相交，說明桌子四條腿的底端在同一個平面內(nèi)，否則就不在同一個平面內(nèi)，其依據(jù)就是推論2．不共線的三點，一條直線和這條直線外一點，

兩條相交直線，兩條平行直線，都能唯一確定一個平面．這些結(jié)論在后續(xù)研究直線和平面之間平行、

垂直關(guān)系時，也會經(jīng)常用到．1．判斷下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)畫“√”，錯誤的畫“×”．（1）書桌面是平面．

（

）（2）平面α與平面β相交，它們有有限個公共點．

（

）（3）如果兩個平面有三個不共線的公共點，那么這兩個平面重合.（

）××√2．下列命題正確的是（

）（A）三點確定一個平面（B）一條直線和一個點確定一個平面（C）圓心和圓上兩點可確定一個平面（D）梯形可確定一個平面D3．不共面的四點可以確定幾個平面？請畫出圖形說明你的結(jié)論．不共面的四點可以確定4個平面．PABCAB(1)MaaM(2)a(3)應(yīng)用新知探究點一

對平面概念的理解例1

下列說法正確的是(

)

A.鋪的很平的一張白紙是一個平面

B.平面是矩形或平行四邊形C.兩個平面疊在一起比一個平面厚

D.平面的直觀圖一般畫成平行四邊形√

√探究點二

立體幾何三種語言的相互轉(zhuǎn)化探究點三

共點、共線問題角度1

三線共點問題

角度2

三點共線問題

［素養(yǎng)小結(jié)］（1）證明線共點問題常用的方法是先證明其中兩條直線交于一點,再證明這一點在其余的直線上,在證明后者時,往往依據(jù)基本事實3,從而只需證明此點在兩個平面的交線上.（2）點共線問題是證明三個或三個以上的點在同一條直線上，主要證明依據(jù)是基本事實3，解決此類問題常用以下兩種方法：①首先找出兩個相交平面，然后證明這些點都是這兩個平面的公共點，根據(jù)基本事實3知，這些點都在這兩個平面的交線上；②選擇其中兩點，確定一條直線，然后證明其他點也在這