PAGE1-課后限時(shí)集訓(xùn)(五十八)(建議用時(shí)：60分鐘)A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)一、選擇題1．在區(qū)間[0，π]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，則事務(wù)“sinx≤eq\f(1,2)”發(fā)生的概率為()A．eq\f(3,4) B.eq\f(2,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,3)D[x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))時(shí)，sinx≤eq\f(1,2)，故概率為eq\f(\f(π,3),π)＝eq\f(1,3).]2．(2024·遂寧模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2－x－2，x∈[－3,3]，在定義域內(nèi)任取一點(diǎn)x0，使f(x0)≤0的概率是()A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,6)C[由f(x0)≤0可得－1≤x0≤2，所以D＝3－(－3)＝6，d＝2－(－1)＝3，故由幾何概型的計(jì)算公式可得所求概率為P＝eq\f(d,D)＝eq\f(1,2)，故選C．]3．(2024·惠州模擬)如圖所示，黑色部分和白色部分圖形是由曲線y＝eq\f(1,x)，y＝－eq\f(1,x)，y＝x，y＝－x及圓構(gòu)成的．在圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,8)C．eq\f(π,4) D．eq\f(π,8)A[依據(jù)圖像的對(duì)稱性知，黑色部分圖形的面積為圓面積的四分之一，在圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是eq\f(1,4)，選A．]4．在區(qū)間[－1,3]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，若x滿意|x|≤m的概率為eq\f(1,2)，則實(shí)數(shù)m為()A．0 B．1C．2 D．3B[區(qū)間[－1,3]的區(qū)間長(zhǎng)度為4.不等式|x|≤m的解集為[－m，m]，區(qū)間長(zhǎng)度為2m，由eq\f(2m,4)＝eq\f(1,2)，則m＝1.]5．如圖，在一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體魚缸內(nèi)放入一個(gè)倒置的無(wú)底圓錐形容器，圓錐的底面圓周與魚缸的底面正方形相切，圓錐的頂點(diǎn)在魚缸的缸底上，現(xiàn)在向魚缸內(nèi)隨機(jī)地投入一粒魚食，則“魚食能被魚缸內(nèi)的圓錐外面的魚吃到”的概率是()A．1－eq\f(π,4) B.eq\f(π,12)C．eq\f(π,4) D．1－eq\f(π,12)A[魚缸底面正方形的面積為22＝4，圓錐底面圓的面積為π，所以“魚食能被魚缸內(nèi)在圓錐外面的魚吃到”的概率是1－eq\f(π,4)，故選A．]6．(2024·西安調(diào)研)若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex，0≤x＜1，,lnx＋e，1≤x≤e))在區(qū)間[0，e]上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)x，則f(x)的值不小于常數(shù)e的概率是()A．eq\f(1,e) B．1－eq\f(1,e)C．eq\f(e,1＋e) D．eq\f(1,1＋e)B[當(dāng)0≤x＜1時(shí)，恒有f(x)＝ex＜e，不滿意題意．當(dāng)1≤x≤e時(shí)，f(x)＝lnx＋e.由lnx＋e≥e，得1≤x≤e.∴所求事務(wù)的概率P＝eq\f(e－1,e)＝1－eq\f(1,e).]7．有一底面半徑為1、高為2的圓柱，點(diǎn)O為這個(gè)圓柱底面圓的圓心，在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為()A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C．eq\f(3,4) D．eq\f(1,4)B[設(shè)點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離小于等于1的概率為P1，由幾何概型，則P1＝eq\f(V半球,V圓柱)＝eq\f(\f(2π,3)×13,π×12×2)＝eq\f(1,3).故點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率P＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).]二、填空題8．(2024·懷化期末)在區(qū)間[－3,5]上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)a，則使函數(shù)f(x)＝x2＋4x＋a無(wú)零點(diǎn)的概率為_(kāi)_______．eq\f(1,8)[∵函數(shù)f(x)＝x2＋4x＋a無(wú)零點(diǎn)，∴Δ＝42－4a＜0，即a＞4.∵在區(qū)間[－3,5]上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)a，且區(qū)間[－3,5]的長(zhǎng)度為8，∴所求事務(wù)的概率為eq\f(1,8).]9．歐陽(yáng)修的《賣油翁》中寫到：“(翁)乃取一葫蘆，置于地，以錢覆其口，徐以杓酌油瀝之，自錢孔入，而錢不濕”，可見(jiàn)“行行出狀元”，賣油翁的技藝讓人嘆為觀止．若銅錢是直徑為3cm的圓，中間有邊長(zhǎng)為1cm的正方形孔，若隨機(jī)向銅錢上滴一滴油(油滴的直徑忽視不計(jì))，則正好落入孔中的概率是________．eq\f(4,9π)[依題意，所求概率為P＝eq\f(12,π·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2)＝eq\f(4,9π).]10．(2024·青島期末)已知等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，在∠CAB內(nèi)作射線AM，則使∠CAM＜30°的概率為_(kāi)_______．eq\f(2,3)[如圖，在∠CAB內(nèi)作射線AM0，使∠CAM0＝30°，于是有P(∠CAM＜30°)＝eq\f(∠CAM0的角度,∠CAB的度數(shù))＝eq\f(30°,45°)＝eq\f(2,3).]B組實(shí)力提升1．(2024·南充月考)《九章算術(shù)》中有如下問(wèn)題：“今有勾八步，股一十五步，問(wèn)勾中容圓，徑幾何？”其大意：“已知直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為8步和15步，問(wèn)其內(nèi)切圓的直徑為多少步？”現(xiàn)若向此三角形內(nèi)隨機(jī)投一粒豆子，則豆子落在其內(nèi)切圓外的概率是()A．eq\f(3π,10) B．eq\f(3π,20)C．1－eq\f(3π,10) D．1－eq\f(3π,20)D[由題意可知，直角三角形斜邊長(zhǎng)為17，由等面積，可得內(nèi)切圓的半徑為r＝eq\f(8×15,8＋15＋17)＝3，所以落在內(nèi)切圓內(nèi)的概率為P＝eq\f(π×32,\f(1,2)×8×15)＝eq\f(3π,20)，故落在圓外的概率為1－eq\f(3π,20).故選D.]2．已知線段AB的長(zhǎng)為10，在線段AB上隨機(jī)取兩個(gè)點(diǎn)C、D，則CD＞2的概率為()A．eq\f(2,5) B．eq\f(4,5)C．eq\f(4,25) D．eq\f(16,25)D[設(shè)CA＝x，DA＝y(tǒng)，則x，y∈[0,10]，CD＝|CA－DA|＝|x－y|.由題意知點(diǎn)(x，y)形成的區(qū)域是邊長(zhǎng)為10的正方形及其內(nèi)部，其面積為S＝10×10，而滿意CD＞2的區(qū)域如圖中陰影部分所示，其面積為S1＝2×eq\f(1,2)×8×8＝64，則CD＞2的概率為P＝eq\f(64,100)＝eq\f(16,25).]3．如圖所示，圖(2)中實(shí)線圍成的部分是長(zhǎng)方體(圖(1))的平面綻開(kāi)圖，其中四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形．若向虛線圍成的矩形內(nèi)隨意拋擲一質(zhì)點(diǎn)，它落在長(zhǎng)方體的平面綻開(kāi)圖的概率是eq\f(1,4)，則此長(zhǎng)方體的體積是________．(1)(2)3[設(shè)長(zhǎng)方體的高為h，由幾何概型的概率計(jì)算公式可知，質(zhì)點(diǎn)落在長(zhǎng)方體的平面綻開(kāi)圖內(nèi)的概率P＝eq\f(2＋4h,2h＋22h＋1)＝eq\f(1,4)，解得h＝3(負(fù)值已舍去)，故長(zhǎng)方體的體積為1×1×3＝3.]4．(2024·湖南婁底質(zhì)檢)在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝AC＝eq\r(3)，∠BAC＝120°，D為棱BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線PD與平面ABC所成的角為θ，則θ不大于45°的概率為_(kāi)_______．eq\f(2,3)[因?yàn)镻A⊥平面ABC，所以直線PD與平面ABC所成二面角的平面角為∠PDA．因?yàn)镈為BC上的動(dòng)點(diǎn)，結(jié)合圖形(圖略