10.1.3古典概型

第十章概率1.理解古典概型概念及其概率計算公式.2.會用列舉法、樹狀圖法和表格法計算隨機事件所含的基本事件數及事件發生的概率.試驗1投擲一枚質地均勻硬幣，觀察落地時朝上的情況。2種正面朝上反面朝上6種1點2點3點4點5點6點試驗2

拋擲一枚枚質地均勻的骰子，觀察它落地時朝上面的點數.問題：找出下列試驗樣本點及樣本空間的共性.特點：①有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；

②等可能性：每個樣本點發生的可能性相等；我們將具有以上兩個特征的試驗稱為古典概型試驗，其數學模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.概率的定義：對隨機事件發生可能性大小的度量(數值)稱為事件的概率．事件A的概率用P(A)表示．問題1“拋擲兩枚硬幣，至少一枚正面向上”是樣本點嗎？問題2若一次試驗的結果所包含的樣本點的個數是有限個，則該試驗是古典概型嗎？問題3擲一枚不均勻的骰子，求出現點數為偶數點的概率，這個概率模型還是古典概型嗎？思考與討論題型一：古典概型的判斷例1.袋中有大小相同的5個白球，3個黑球和3個紅球，每球有一個區別于其它球的編號，從中摸出一個球.(1)有多少種不同的摸法？如果把每個球的編號看作是一個樣本點概率模型，該模型是不是古典概型？(2)若按球的顏色為樣本點，有多少個樣本點？以這些樣本點建立概率模型，該模型是不是古典概型？解：(1)由于共有11個球，且每個球有不同的編號.故共有11種不同的摸法，又因為所有球大小相同.因此每個球被摸中的可能性相等，故以球的編號為樣本點的概率模型為古典概型.題型一：古典概型的判斷例1.袋中有大小相同的5個白球，3個黑球和3個紅球，每球有一個區別于其它球的編號，從中摸出一個球.(1)有多少種不同的摸法？如果把每個球的編號看作是一個樣本點概率模型，該模型是不是古典概型？(2)若按球的顏色為樣本點，有多少個樣本點？以這些樣本點建立概率模型，該模型是不是古典概型？解：(2)由于11個球共有3種顏色，因此共有3個樣本點，分別記為A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到紅球”.顯然這三個樣本點出現的可能性不相等，所以以顏色為樣本點的概率模型不是古典概型.例2拋擲兩枚質地均勻的骰子（標記為I號和II號），觀察兩枚骰子分別可能出現的基本結果.（1）寫出這個試驗的樣本空間，并判斷這個試驗是否為古典概型；123456122345613234561423456152345616234561解：該試驗的所有樣本點用樹狀圖表示如下：題型二：古典概型的計算你還有其他方法將樣本空間表示出來嗎？例2拋擲兩枚質地均勻的骰子（標記為I號和II號），觀察兩枚骰子分別可能出現的基本結果.（1）寫出這個試驗的樣本空間，并判斷這個試驗是否為古典概型；列

表

法123456123546（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）（6，1）（6，2）（6，4）（6，5）（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）（6，6）（6，3）Ⅰ號Ⅱ號解：用數字m表示Ⅰ號骰子出現的點數是m，數字n表示Ⅱ號骰子出現的點數是n，則數組(m，n)表示這個試驗的一個樣本點．因此，該試驗的樣本空間Ω={(m，n)|m，n∈{1，2，3，4，5，6}}，其中共有36個樣本點．（2）求下列事件的概率：A=“兩個點數之和是5”；B=“兩個點數相等”；C=“I號骰子的點數大于II號骰子的點數”.（2）A={(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}，n(A)=4

123456123546（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）（6，1）（6，2）（6，4）（6，5）（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）（6，6）（6，3）Ⅰ號Ⅱ號

（2）求下列事件的概率：A=“兩個點數之和是5”；B=“兩個點數相等”；C=“I號骰子的點數大于II號骰子的點數”.【解析】B={(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)}，n(B)=6

123456123546（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）（6，1）（6，2）（6，4）（6，5）（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）（6，6）（6，3）Ⅰ號Ⅱ號

（2）求下列事件的概率：A=“兩個點數之和是5”；B=“兩個點數相等”；C=“I號骰子的點數大于II號骰子的點數”.【解析】因為C={(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)}，n(C)=15，

123456123546（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）（6，1）（6，2）（6，4）（6，5）（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）（6，6）（6，3）Ⅰ號Ⅱ號

在上例中，為什么要把兩枚骰子標上記號？如果不給兩枚骰子標記號，會出現什么情況?你能解釋其中的原因嗎?如果不給兩枚骰子標記號，則不能區分所拋擲的兩個點數分別屬于哪枚骰子，如拋出的結果是1點和2點，有可能第一枚骰子的結果是1點，也有可能第二枚骰子的結果是1點．這樣，(1，2)和(2，1)的結果將無法區別．123456123546（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）（6，1）（6，2）（6，4）（6，5）（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）（6，6）（6，3）Ⅱ號Ⅰ號思考123456123546（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）（4，4）（4，5）（4，6）（5，5）（5，6）（6，6）Ⅱ號n(Ω1)=21事件A=“兩個點數之和是5”

A={(1,4),(2,3)}n(A)=2此時，隨機事件A=“兩個點數之和是5”發生的概率是多少呢？為什么同一個事件發生的概率會不同呢？Ⅰ號

在上例中，為什么要把兩枚骰子標上記號？如果不給兩枚骰子標記號，會出現什么情況?你能解釋其中的原因嗎?思考

同一個事件的概率，為什么會出現兩個不同的結果？123456123546（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（6，1）（6，2）（6，4）（6，5）（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）（6，6）（6，3）Ⅱ號（4，6）

我們可以發現，36個結果都是等可能的；而合并為21個可能結果時，(1，1)、(1，2)發生的可能性大小不等，這不符合古典概型特征，所以不能用古典概型公式計算概率Ⅰ號求古典概型概率的步驟用適當的符號（字母、數字、數組等）表示試驗的可能結果（借助圖表可以幫助我們不重不漏地列出所有的可能結果）；

方法歸納：1.單選題是標準化考試的常用題型，一般是從A、B、C、D四個選項中選擇一個正確答案。若考生掌握了考察的內容，就能選擇唯一正確的答案。假設考生不會做，他隨機的選擇一個答案，問他答對的概率是多少？解：試驗有選A、選B、選C、選D共4種可能結果，試驗的樣本空間表示為Ω={A，B，C，D}，則n(Ω)=4考生隨機選擇一個答案，表明每個樣本點發生的可能性相等，是一個古典概型．設事件M=“選中正確答案”，因為單選題的正確答案是唯一的，則n(M)=1，所以，考生隨機選擇一個答案，答對的概率

例3

從兩名男生（記為B1和B2）、兩名女生（記為G1和G2）中任意抽取兩人．（1）分別寫出有放回簡單隨機抽樣、不放回簡單隨機抽樣和按性別等比例分層抽樣的樣本空間．解：設第一次抽取的人記為x1，第二次抽取的人記為x2，則可用數組（x1，x2）表示樣本點．（1）根據相應的抽樣方法可知：有放回簡單隨機抽樣的樣本空間Ω1＝｛（B1，B1），（B1，B2），（B1，G1），（B1，G2），（B2，B1），（B2，B2），（B2，G1），（B2，G2），（G1，B1），（G1，B2），（G1，G1），（G1，G2），（G2，B1），（G2，B2），（G2，G1），（G2，G2）｝．不放回簡單隨機抽樣的樣本空間Ω2＝｛（B1，B2），（B1，G1），（B1，G2），（B2，B1），（B2，G1），（B2，G2），（G1，B1），（G1，B2），（G1，G2），（G2，B1），（G2，B2），（G2，G1）｝．按性別等比例分層抽樣，先從男生中抽一人，再從女生中抽一人，其樣本空間

Ω3＝｛（B1，G1），（B1，G2），（B2，G1），