板塊五概率與統計微專題31統計與成對數據的統計分析高考定位高考對本專題內容的考查往往以實際問題為背景，考查隨機抽樣與用樣本估計總體、經驗回歸方程的求解與運用、獨立性檢驗問題，常與概率綜合考查，中等難度.【

真題體驗

】1.(2022·全國乙卷)某地經過多年的環境治理，已將荒山改造成了綠水青山.為估計一林區某種樹木的總材積量，隨機選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積(單位：m2)和材積量(單位：m3)，得到如下數據：樣本號i12345678910總和根部橫截面積xi0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材積量yi0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9據此可估計該林區這種樹木平均一棵的根部橫截面積為0.06m2，平均一棵的材積量為0.39m3.(2)求該林區這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關系數(精確到0.01)；(3)現測量了該林區所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為186m2.已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上數據給出該林區這種樹木的總材積量的估計值.設該林區這種樹木的總材積量的估計值為Ym3，解得Y＝1209(m3).則該林區這種樹木的總材積量估計為1209m3.2.(2024·全國甲卷)某工廠進行生產線智能化升級改造.升級改造后，從該工廠甲、乙兩個車間的產品中隨機抽取150件進行檢驗，數據如下：

優級品合格品不合格品合計甲車間2624050乙車間70282100合計96522150(1)填寫如下列聯表：

優級品非優級品甲車間

乙車間

能否有95%的把握認為甲、乙兩車間產品的優級品率存在差異？能否有99%的把握認為甲、乙兩車間產品的優級品率存在差異？填寫如下列聯表：

優級品非優級品甲車間2624乙車間7030則完整的2×2列聯表如下：

優級品非優級品合計甲車間262450乙車間7030100合計9654150因為K2＝4.6875>3.841，所以有95%的把握認為甲、乙兩車間產品的優級品率存在差異；因為K2＝4.6875<6.635，所以沒有99%的把握認為甲、乙兩車間產品的優級品率存在差異.精準強化練熱點一用樣本估計總體熱點二回歸分析熱點三獨立性檢驗熱點突破熱點一用樣本估計總體考向1統計圖表與數字特征的應用例1√(1)(多選)(2024·湛江二模)廣東省湛江市2017年到2022年常住人口變化圖如圖所示，則A.湛江市2017年到2022年這6年的常住人口的極差約為38萬B.湛江市2017年到2022年這6年的常住人口呈遞增趨勢C.湛江市2017年到2022年這6年的常住人口的第60百分位數為730.50萬D.湛江市2017年到2022年這6年的常住人口的中位數為717.02萬√√由圖可知，湛江市2017年到2022年這6年的常住人口的極差約為736.00－698.12≈38(萬)，A正確；這6年的常住人口前3年呈遞增趨勢，后三年也遞增，但后三年的常住人口低于前3年，B錯誤；湛江市2017年到2022年這6年的常住人口按照從小到大的順序排列為698.12，703.09，703.54，730.50，732.20，736.00，6×0.6＝3.6，(2)(2024·新鄉模擬)已知甲、乙兩名籃球運動員在四場小組賽中的得分(單位：分)如表：√甲612913乙811714則對于這兩組數據，不相同的數字特征是A.平均數 B.中位數

C.方差

D.極差故A錯誤；考向2用樣本的頻率分布估計總體分布例2√(多選)(2024·溫州模擬)在一次數學考試中，某班成績的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法正確的是A.圖中所有小長方形的面積之和等于1B.中位數的估計值介于100和105之間C.該班成績眾數的估計值為97.5D.該班成績的極差一定等于40√√對于A，由頻率分布直方圖的性質可知，圖中所有小長方形的面積之和等于1，A正確；對于B，易知組距為5，前兩組成績所占的頻率為(0.01＋0.06)×5＝0.35<0.5，前三組成績所占的頻率為(0.01＋0.06＋0.05)×5＝0.6>0.5，由中位數定義可得其估計值介于100和105之間，B正確；對于C，由圖可知頻率最高的成績區間為[95，100)，取中間值為代表可知該班成績眾數的估計值為97.5，C正確；對于D，由圖可知成績最高區間為[125，130]，最低區間為[90，95)，但最高分和最低分不一定分別為130，90，所以其成績極差不一定為40，D錯誤.1.對于給出的統計圖表，一定要結合問題背景理解圖表意義.2.頻率分布直方圖中縱坐標不要誤以為是頻率.易錯提醒某工廠A，B兩條生產線生產同款產品，若產品按照一、二、三等級分類，則每件可分別獲利10元、8元、6元，現從A，B生產線生產的產品中各隨機抽取100件進行檢測，結果統計如圖：訓練1(1)分別計算兩條生產線抽樣產品獲利的方差，以此作為判斷依據，說明哪條生產線的獲利更穩定；(2)估計該廠產品產量為2000件時的利潤以及一等級產品的利潤.由樣本估計總體，當產品產量為2000件時，估計該工廠獲利2000×8.1＝16200(元).因為從A，B生產線共隨機抽取的200件產品中，A生產線生產的一等級產品有20件，B生產線生產的一等級產品有35件，由樣本頻率估計總體概率，當產品產量為2000件時，熱點二回歸分析(2024·邯鄲模擬)某民營學校為增強實力與影響力，大力招攬名師、建設校園硬件設施，近5年該校招生人數的數據如表：例3年份序號x12345招生人數y/千人0.811.31.72.2(1)由表中數據可看出，可用線性回歸模型擬合y與x的關系，請用相關系數加以證明；因為r與1非常接近，故可用線性回歸模型擬合y與x的關系.由此預測當年份序號為7時該校的招生人數為2.8千人.3.利用樣本相關系數判斷相關性強弱時，看|r|的大小，而不是r的大小.4.區分樣本相關系數r與決定系數R2.5.通過經驗回歸方程求的都是估計值，而不是真實值.易錯提醒(2024·重慶診斷)當前，新一輪科技革命和產業變革蓬勃興起，以區塊鏈為代表的新一代信息技術迅猛發展，現收集某地近6年區塊鏈企業總數量相關數據，如表：訓練2(1)若用模型y＝aebx擬合y與x的關系，根據提供的數據，求出y與x的經驗回歸方程；所以y＝e3.49·e0.36x＝e0.36x＋3.49.設甲公司獲得“優勝公司”稱號為事件A，熱點三獨立性檢驗例4所以P(AB)≠P(A)P(B)，所以A與B不為獨立事件.(2)為驗證學習興趣與主動預習是否有關，該校用分層隨機抽樣的方法抽取了一個容量為m(m∈N*)的樣本，利用獨立性檢驗，計算得χ2＝1.350.為提高檢驗結論的可靠性，現將樣本容量調整為原來的t(t∈N*)倍，使得能有99.5%的把握認為學習興趣與主動預習有關，試確定t的最小值.α0.100.050.0100.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828假設原列聯表為預習興趣合計高不高主動aba＋b不太主動cdc＋d合計a＋cb＋da＋b＋c＋d若將樣本容量調整為原來的t(t∈N*)倍，則新的列聯表為：又t∈N*，所以t的最小值為6.1.χ2越大兩分類變量無關的可能性越小，推斷犯錯誤的概率越小，通過表格查得無關的可能性.2.有99.5%的把握認兩個變量有關，就是在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為兩個變量有關，并不是指兩個變量無關的可能性為0.005.易錯提醒(2024·濟南質檢)人工智能的發展為許多領域帶來了巨大的便利，但同時也伴隨著一些潛在的安全隱患.為了調查不同年齡階段的人對人工智能所持的態度，某機構從所在地區隨機調查了100人，所得結果統計如圖表所示：訓練3年齡/歲[20，30)[30，40)[40，50)[50，60)[60，70]頻數2416152520持支持態度2013121510(1)完成下列2×2列聯表，并依據小概率值α＝0.010的獨立性檢驗，判斷對人工智能所持態度是否與年齡有關；對人工智能的態度年齡在50歲

以上(含50歲)以下支持

不支持

合計

由題可得如下2×2列聯表對人工智能的態度年齡在50歲合計以上(含50歲)以下支持254570不支持201030合計4555100零假設為H0：對人工智能所持態度與年齡無關.因為8.129>6.635，所以依據小概率值α＝0.010的獨立性檢驗，有充分證據推斷H0不成立，即對人工智能所持態度與年齡有關.α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828所以X的分布列為【精準強化練】√A.4 B.4.5 C.5

D.9故該組數據的第40百分位數為5.故選C.√A.4 B.5 C.6

D.7故數據2x1－1，2x2－1，2x3－1，2x4－1，2x5－1的平均數為2×3－1＝5.故選B.√3.(2024·湖南名校聯考)某校數學興趣小組在某座山測得海拔高度x(單位：千米)與氣壓y(單位：千帕)的六組數據(xi，yi)(i＝1，2，…，6)，并將其繪制成如圖所示的散點圖，分析研究發現B點相關數據不符合實際，刪除B點后重新進行回歸分析，則下列說法正確的是A.刪除點B后，樣本數據的兩變量x，y正相關B.刪除點B后，相關系數r的絕對值更接近于1C.刪除點B后，新樣本的殘差平方和變大D.刪除點B后，解釋變量x與響應變量y相關性變弱從題中散點圖可知，刪除點B后，樣本數據的兩變量x，y負相關，所以A錯誤；由于B點較其他點偏離程度大，故刪除B點后，回歸效果更好，從而相關系數r的絕對值更接近于1，所以B正確；同理刪除后決定系數R2更接近于1，所以新樣本的殘差平方和變小，所以C錯誤；由B，C分析知解釋變量x與響應變量y相關性增強，所以D錯誤.故選B.√4.2024年4月，國內鮮菜、食用油、糧食、禽肉、鮮果、雞蛋、豬肉價格同比(與去年同期相比)的變化情況如圖所示，則下列說法正確的是

A.食用油、糧食、禽肉、鮮果、雞蛋、豬肉這6種食品中，食用油價格同比漲幅最小B.豬肉價格同比漲幅超過禽肉價格同比漲幅的5倍C.2023年4月鮮菜價格要比2024年4月高D.這7種食品價格同比漲幅的平均數超過10%由圖可知，糧食價格同比漲幅比食用油價格同比漲幅小，故A錯誤；豬肉價格同比漲幅為34.4%，禽肉價格同比漲幅為8.5%，34.4%－5×8.5%<0，故B錯誤；因為鮮菜價格同比漲幅為－21.2%，說明2023年4月鮮菜價格要比2024年4月高，故C正確；這7種食品價格同比漲幅的平均數為故D錯誤.5.(2024·廈門模擬)已知甲、乙兩組數據分別為：20，21，22，23，24，25和a，23，24，25，26，27，若乙組數據的平均數比甲組數據的平均數大3，則 A.甲組數據的第70百分位數為23 B.甲、乙兩組數據的極差不相同 C.乙組數據的中位數為24.5 D.甲、乙兩組數據的方差相同

√解得a＝28，甲組數據中6×70%＝4.2，故70百分位數為24，A錯誤；甲組數據的極差為25－20＝5，乙組數據的極差為28－23＝5，所以甲、乙兩組數據的極差相同，故B錯誤；故兩組數據的方差相同，D正確.6.(2024·新高考Ⅱ卷)某農業研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產量(單位：kg)并整理得下表：

√根據表中數據，下列結論中正確的是A.100塊稻田畝產量的中位數小于1050kgB.100塊稻田中畝產量低于1100kg的稻田所占比例超過80%C.100塊稻田畝產量的極差介于200kg至300kg之間D.100塊稻田畝產量的平均值介于900kg至1000kg之間對于A，因為前3組的頻率之和0.06＋0.12＋0.18＝0.36<0.5，前4組的頻率之和0.36＋0.30＝0.66>0.5，所以100塊稻田畝產量的中位數所在的區間為[1050，1100)，故A不正確；對于C，因為1200－900＝300，1150－950＝200，所以100塊稻田畝產量的極差介于200kg至300kg之間，故C正確；7.(2024·西安調研)5G技術在我國已經進入高速發展的階段，5G手機的銷量也逐漸上升，某手機商場統計了最近5個月手機的實際銷量，如表所示：

√時間x12345銷量y/千只0.50.81.01.21.5對于A，從數據看，y隨x的增加而增加，所以變量y與x正相關，故A正確；所以當x＝6時該商場5G手機銷量約為8.(2024·開封二模)為了解某地農村經濟情況，對該地農戶家庭年收入進行抽樣調查，將農戶家庭年收入的調查數據整理得到如下頻率分布直方圖：

√√√根據此頻率分布直方圖，下列結論中正確的是A.該地農戶家庭年收入的極差為12B.估計該地農戶家庭年收入的75%分位數約為9C.估計該地有一半以上的農戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間D.估計該地農戶家庭年收入的平均值超過6.5萬元觀察頻率分布直方圖，對于A，該地農戶家庭年收入的極差約為14－3＝11，故A錯誤；對于B，數據在[2.5，8.5)的頻率為0.02＋0.04＋0.1＋0.14＋0.2＋0.2＝0.7，數據在[2.5，9.5)的頻率為0.8，因此75%分位數m∈(8.5，9.5)，(m－8.5)×0.1＝0.05，解得m＝9，故B正確；對于C，數據在[4.5，8.5)內的頻率為0.1＋0.14＋0.2＋0.2＝0.64>0.5，C正確；9.(2024·合肥模擬)現有甲、乙兩家檢測機構對某品牌的一款智能手機進行拆解測評，具體打分如表(滿分100分).設事件M表示“從甲機構測評分數中任取3個，至多1個超過平均分”，事件N表示“從甲機構測評分數中任取3個，恰有2個超過平均分”.下列說法正確的是

√√機構名稱甲乙分值90989092959395929194A.甲機構測評分數的平均分小于乙機構測評分數的平均分B.甲機構測評分數的方差大于乙機構測評分數的方差C.乙機構測評分數的第一四分位數為91.5D.事件M，N互為對立事件對于C，乙機構測評分數從小到大排列為：91，92，93，94，95，又i＝np＝5×0.25＝1.25，所以乙機構構測評分數的第一四分位數為92，C錯誤；對于D，因為甲機構測評分數中有且僅有2個測評分數超過平均分，由對立事件的定義知，事件M，N互為對立事件，D正確.10.某校抽取100名學生做體能測試，其中百米測試中，成績全部介于13秒與18秒之間，將測試結果分成五組：第一組[13，14)，第二組[14，15)，…，第五組[17，18].如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖，若成績低于a即為優秀，如果優秀的人數為14，則a的估計值是________.14.5測試結果位于[13，14)的頻率為0.06<0.14，測試結果位于[13，15)的頻率為0.06＋0.16＝0.22>0.14，所以a∈(14，15)，由題意可得0.06＋(a－14)×0.16＝0.14，解得a＝14.5.11.某學校有男生400人，女生600人.為了調查該校全體學生每天睡眠時間，采用分層隨機抽樣的方法抽取樣本，計算得男生每天睡眠時間均值為7.5小時，方差為1，女生每天睡眠時間均值為7小時，方差為0.5.若男、女樣本量按比例分配，則可估計總體方差為________.0.7612設被調查的男生為x人，則女生為2x人，依題意可得到列聯表如下：因此本次調查得出“在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為喜愛足球與性別有關”的結論，又因為上述列聯表中的所有數字均為整數，故x的