第3講約數與倍數綜合六年級秋季第3講約數與倍數綜合六年級秋季知識點知識點數論綜合提高二（六上）備注備注課堂例題課堂例題約數個數相關問題1、一個數有15個約數，這個數最小是多少？次小是多少？【答案】

144；324【解析】

，故其形式為或，其中a、b為不同的質數．顯然更小，其中最小為，次小為．2、在35的倍數中，恰有35個約數的最小數是多少？（請寫出質因數分解式）【答案】

【解析】

，故此時分解質因數必含5和7．，顯然只有和滿足要求，前者更小．3、三個自然數乘積為86400，且這三個數的約數個數分別為8、9、10．那么這三個自然數分別是多少？【答案】

30、36、80【解析】

，，，．易知約數個數為9的其形式為，約數個數為10的其形式為，約數個數為8的其形式為或．經試驗，只有30、36、80滿足要求．完全平方數4、慶祝高思學校4周歲的生日，預計在12月5日高思成立日的當天舉行大型的慶祝活動，由編號1~100的100名高思小明星們組成的方陣，開始都面朝東方站立，第一次所有編號是1的倍數的小朋友向左轉，第二次所有編號是2的倍數的小朋友再向左轉，第三次所有編號是3的倍數的小朋友再向左轉，……，最后一次所有編號是100的倍數的小朋友再向左轉，最后所有小朋友中有多少名小朋友面朝南方？【答案】

5【解析】

轉的次數即為其編號的約數個數．最終朝南方的小朋友轉了次，故這些號的約數個數為為奇數，即均為平方數，且約數個數為3、7、11、……又因為編號不超過100，故類型只可能為或（其中a為質數），即4、9、25、49、64，共5名．5、（龍校六年級秋季）1到2011這2011個自然數中，有多少個數約數個數為奇數？【答案】

44【解析】

一個數有奇數個約數當且僅當其為完全平方數．，故1到2011中有44個數的約數個數為奇數．6、兩數乘積為2800，而且已知其中一數的約數個數比另一數的約數個數多1．那么這兩個數分別是？【答案】

16、175【解析】

任何一個正整數，其約數應該是成對出現的，這意味著，一般情況下，一個正整數應該有偶數個約數；但正整數是完全平方數時，就會有奇數個約數；先把2800分解質因數，找出屬于完全平方數的約數的個數，再進一步分析，找出符合題意的答案．根據題意：“兩個數的乘積等于2800，其中一個數的約數個數比另一個數的約數多1，這表明：這兩個數中有一個是完全平方數；由于：，其屬于完全平方數的約數有五個：4、16、25、100、400分別進行分析：，各有3個和16個約數，不符合題意，，各有2個和15個約數，不符合題意，2008=16×175，各有5個和6個約數，符合題意，，各有3個和10個約數，不符合題意，，各有6個和9個約數，不符合題意．故答案為：16，175．最大公約數與最小公倍數反求7、兩個整數的差為7，它們的最小公倍數和最大公約數的差是689，則這兩個數分別是多少？【答案】

23和30【解析】

設兩數為m、n，則，且，故，．，易知23與30即滿足要求．8、M，N是互為反序的兩個三位數，且．請問：（1）如果M和N的最大公約數是7，求M；（2）如果M和N的最大公約數是21，求M．【答案】

（1）952（2）861【解析】

（1）設這兩個三位數分別為、（），那么，所以或，經枚舉驗證只有時符合最大公約數是7．（2）設這兩個三位數分別為、（），那么，所以或，經枚舉驗證只有時符合最大公約數是21．9、已知a與b的最大公約數是14，a與c的最小公倍數是350，b與c的最小公倍數也是350．滿足上述條件的正整數a，b，c共有多少組？【答案】

20組【解析】

根據題目條件，a可以表示為，b可以表示為，其中x和y至少有一個為0，當x為0時，y可以取0，1和2．當y為0時，x可以取0，1和2．共有5種情況．c可以表示為，其中u可以取0或1，v可以取0或1，共計4種情況．由乘法原理，a，b，c共有組．公約數公倍數應用題10、（龍校四年級春季）夜里下了一場大雪，早上，小龍和爸爸一起步測花園里一條環形小路的長度，他們從同一點同向行走．小龍每步長54厘米，爸爸每步長72厘米，兩人各走完一圈后又都回到出發點，這時雪地上只留下60個腳印．那么這條小路長多少米？【答案】

21.6【解析】

由于兩人各走完一圈后又都回到出發點，故一圈的總厘米數為的倍數．若為216厘米，應留下個腳印．，故長度為216厘米的10倍，為．11、學校開運動會，在400米環形操場邊上每隔16米插一桿彩旗，共插了25桿．后來又增加了一些彩旗，就把彩旗的間隔縮短了，起點的彩旗不動，重新插完后發現，一共有5桿彩旗沒動．問：現在彩旗的間隔是多少米？【答案】

5或10【解析】

沒動的彩旗相鄰間隔為，故新間隔與16的最小公倍數為80，且新間隔小于16米，可能為5米或10米．12、（2015年金帆五升六）有15位同學，每位同學都有編號，他們是1號到15號．老師寫了一個自然數，2號說：“這個數能被2整除”，3號說：“這個數能被2整除”，……，依次下去，每位同學都說，這個數能被他的編號整除．老師作了一一驗證，只有兩位同學說得不對，而且他倆編號連續，其余同學都對．老師寫的數是六位數，這個數至少是______．【答案】

300300【解析】

易知1至7號都對，否則編號為其2倍的人說法也是錯的．因此，、、這3號說得也都對，錯的只能是8、9號．令13個數的最小公倍數是60060，則寫的六位數為60060的倍數，且這個倍數不能被2、3整除，故六位數至少是．分數的最大公約數與最小公倍數13、狐貍和黃鼠狼進行跳躍比賽，狐貍每次跳米，黃鼠狼每次跳米，它們每秒鐘都只跳一次．在比賽道路上，從起點開始每隔米設有一個陷阱．請問：當它們之中有一個掉進陷阱時，另一個跳了多少米？【答案】

40.5米【解析】

我們發現，狐貍、黃鼠狼每次跳的路程以及兩個陷阱之間的距離都是米的整數倍，因而定義一個新的單位“新米”，規定：．于是狐貍每次跳36新米，黃鼠狼每次跳22新米，每隔99新米有一個陷阱．新米，新米，也就是說狐貍跳了秒后掉坑里，黃鼠狼跳了秒后掉坑里．所以黃鼠狼先掉坑里，這時候狐貍跳了新米，合米．

隨堂練習隨堂練習1、有2012盞燈，分別對應編號為1至2012的2012個開關．現在有編號為1至2012的2012個人來按動這些開關．已知第1個人按的開關的編號是1的倍數，第2個人按的開關的編號是2的倍數，第3個人按的開關的編號是3的倍數，……．依次做下去，第2012個人按的開關的編號是2012的倍數．如果最開始的時候，燈全是亮著的，那么這2012個人按完后，還有多少盞燈是亮著的？【答案】

1968【解析】

若燈最終被關上，則其開關被按動奇數次，進而編號有奇數個約數，即編號為完全平方數．，故有44盞被關閉，有盞是亮的．2、有10個約數的自然數最小是多少？有8個約數的最小的奇數是多少？【答案】

（1）48（2）105【解析】

設每個字母代表不同的質數（1），故原數形式為或，最小為；（2），故原數形式為、或，最小奇數為．3、42的倍數中，恰好有42個約數的數有多少個？【答案】

6【解析】

，故此數形式為，其中a、b、c為2、3、7的一個排列，因此共個．4、三個自然數乘積為5184，且這三個數的約數個數分別為A個，個、個．那么這三個自然數分別是多少？【答案】

27、16、12【解析】

．經試驗，27、16、12符合要求．5、（金帆五年級春季）運動場的跑道一圈長400m，甲騎自行車每分鐘490m；乙跑步平均每分鐘跑250m．兩人從同一地點同時同向出發，至少經過多少分鐘兩人又同時到達起點？【答案】

40分【解析】

甲跑一圈需要分，乙跑一圈需要分，所以經過分同時回到起點．6、a，b，c是三個非零自然數．a和b的最小公倍數是300，c和a、c和b的最大公約數都是20，且．請問：滿足條件的a，b，c共有多少組？【答案】

7組【解析】

a和b都是20的倍數，且它們的最小公倍數是300．枚舉a、b，共4種可能，依次是300和20；300和60；300和100；100和60．a、b分別是300、20時，c只能是20，但此時，不符合題意．a、b分別是300、60時，c可以是20和40．a、b分別是300、100時，c可以是20、40和80．a、b分別是100、60時，c可以是20和40．綜上，共7組．課后作業課后作業1、300有很多約數，其中有______個是6的倍數．【答案】

6【解析】

等價于求的約數個數．有個約數．2、把一張長108厘米，寬84厘米的長方形紙裁成同樣大小的正方形，且紙無剩余，至少能裁成________個正方形．【答案】

63【解析】

邊長最大為，至少能裁成個．3、一個小于200的自然數，其最小的三個約數之和是31，那么這樣的自然數有______個．【答案】

3【解析】

顯然有一個約數為1，故另兩個和為30，設為a、b，其中，且a為質數，b不是1b中除1、a外任一個數的倍數．經試驗，可能為5、25；7、23；11、19；13、17．若為5、25，則原數只能為25或125；若為7、23，則原數只能為161；后兩種不滿足原數小于200，舍．因此，共3個．4、已知兩個三位數M和N互為反序數（），且它們的最大公約數是6，那么N最小是________．【答案】

204【解析】

顯然N的百位、個位均為偶數，最小為204．經驗證，204、402即滿足要求．5、（2012年科迪實驗入學）兩個自然數的差是5，它們的最小公倍數與最大公約數的差是203，則這兩個數的和是（）．【答案】

29【解析】

兩數最大公約數必為兩數之差的約數，因此最大公約數為1或5．而最小公倍數與最大公約數的差必為最大公約數的倍數，綜上最大公約數只能為1，最小公倍數為204，兩數乘積為．又因兩數之差是5，易得它們分別為12、17，和為29．6、為自然數，且，、……、與690都有大于l的公約數．的最小值為_______．【答案】

19【解析】

，連續9個數中，最多有5個是2的倍數，也有可能有4個是2的倍數，如果有5個連續奇數，這5個連續奇數中最多有2個3的倍數，1個5的倍數，1個23的倍數，所以必然有一個數不是2、3、5、23的倍數，即與690沒有大于l的公約數．所以9個數中只有4個奇數，這個數中，有2個3的倍數，1個5的倍數，1個23的倍數，則、、、、是偶數，剩下的4個數中、是3的倍數（5個偶數當中只有是3的倍數），還有、一個是5的倍數，一個是23的倍數.剩下的可以用中國剩余定理求解，是2和3的倍數，且相鄰兩個數中一個是23的倍數，另一個是5的倍數，顯然是最小解，所以的最小值為19．7、一個自然數，它除以5余2，除以7余3．那么滿足要求最小自然數是________．【答案】

17【解析】

由除以7余3逐個試驗3、10、17……，除以5余2的最小值為17．8、張阿姨把225個蘋果、350個梨和150個桔子平均分給小朋友們，最后剩下9個蘋果、26個梨和6個桔子沒分出去．請問：每個小朋友分了多少個蘋果？【答案】

6【解析】

依題意，一共分出去了個蘋果、個梨、個桔子．因為是平均分配，所以216、324、144都是人數的倍數，即人數是216、324、144的公約數，且大于26．，，．所以．36的約數中，大于26的只有36，所以人數等于36．因此每人分到個蘋果．9、兩個數的差是54，它們的最大公約數是18，最小公倍數是180，那么這兩個數的和是________．【答案】

126【解析】

設兩數為、，且滿足，解得，兩數和為．10、一個自然數至少有4個約數，并且該數等于其最小的4個約數的平方之和，請找出這樣的自然數．【答案】

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