嘉祥教育集團2024－2025學年高一下學期質量監測試題數學注意事項：1.全卷滿分150分，考試時間120分鐘．2.在作答前，考生務必將自己的姓名、考號涂寫在試卷和答題卡規定的地方．考試結束，監考人員只將答題卡收回，試卷請考生自己妥善保存．3.選擇題部分必須用2B鉛筆填涂；非選擇題部分必須使用0.5毫米黑色墨水簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚．4.請按照題號在答題卡上各題目對應的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題均無效．5.保持答題卡清潔，不得折疊、污染、破損等．第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求）1.已知向量，，若，則x=（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據向量共線的坐標表示得到方程，解得即可.【詳解】因為，且，所以，解得.故選：A2.化簡的結果是（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由二倍角公式可得答案.【詳解】由二倍角公式：.故選：C3.為得到函數的圖象，只需把余弦曲線上的所有點的（

）A.向左平移個單位長度 B.向左平移個單位長度C.向右平移個單位長度 D.向右平移個單位長度【答案】C【解析】【分析】根據誘導公式及三角函數平移規則判斷即可.【詳解】余弦曲線上的所有點的向右平移個單位長度得到函數的圖象，故選：C.4.若為單位向量，，則（

）A. B.0 C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】依題意，即可求出，再根據數量積的運算律計算可得.【詳解】因為，為單位向，所以，即，所以，所以.故選：D5.在中，，則（）A.5 B.3或5 C.4 D.2或4【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理求解即可.【詳解】由余弦定理，得，即，即，解得或5，經檢驗，均滿足題意.故選：B.6.已知，則的值為（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題可得，然后由二倍角公式可得答案.【詳解】，則.故選：A7.筒車亦稱“水轉筒車”，是一種以水流作動力，取水灌田的工具”．如圖，一個半徑為4米的筒車按逆時針方向每分鐘轉一圈，筒車的軸心O距離水面的高度為2米．在筒車轉動的一圈內，盛水筒P距離水面的高度不低于4米的時間為（

）A.9秒 B.12秒 C.15秒 D.20秒【答案】D【解析】【分析】以為坐標原點，建立平面直角坐標系，結合題意中實際意義，確定盛水筒P距離水面的高度不低于的時間為圓周，即可得到答案.【詳解】根據題意，以為坐標原點，平行于水面的直線為軸，垂直于水面的直線為軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，則，則，所以，如圖，盛水筒距離水面的高度為時，分別在點處，則由對稱性可得，則，因筒車按逆時針方向每分鐘轉1圈，所以筒車轉1圈的時間為60秒，由上分析，盛水桶距離水面的高度不低于的時間為圓周，所以盛水筒距離水面的高度不低于的時間為秒.故選：D.8.如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E在邊AB上，，AD與CE交于點O，若，則的值是（

）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用共線定理結合平行四邊形法則和已知條件，設，用平面向量基本定理求出的值，進而求的值.【詳解】因為在上，所以與共線，設，因為，所以，又D是BC的中點，所以，所以，，，所以，所以，即，所以，故所以，故選：C二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中有多項符合題目要求．全部選對的得全部分，部分選對的得部分分，有錯選的得0分）9.下列說法錯誤的是（

）A.B.若向量與共線，則存在唯一的實數使C.若非零向量，滿足，則與的夾角為60D.若非零向量，滿足，則【答案】ABC【解析】【分析】根據向量數量積及向量共線可判斷；分，和時討論可判斷；根據向量的三角形法則和平行四邊形法則可判斷；根據垂直的向量表示及向量運算可判斷.【詳解】對于：當時，與共線，時，與共線，而與不一定共線，所以不一定成立，故錯誤；對于：若，時，向量與共線，但不存實數使；當時，向量與共線，但實數不唯一，任意實數都能使成立.故錯誤；對于：，則以為三邊的三角形為等邊三角形，則與的夾角為，所以與的夾角為，故錯誤；對于：，則，則，，即，故正確.故選：.10.已知函數，則（）A. B.≤C.在，上單調遞增 D.若為偶函數，則的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】先由二倍角公式與輔助角公式化簡函數為正弦型函數，然后由正弦函數的性質逐項判斷即可.詳解】對于A，，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，由，得，所以的單調遞增區間為，故在上單調遞減，在上單調遞增，故C錯誤；對于D，，為偶函數，所以，即，所以的最小值為，故D正確；故選：ABD11.記△ABC中三個內角A，B，C所對邊分別為a，b，c．如圖，M，N分別是函數與直線的兩個交點，其中，則（）A.B.面積的最大值為C.周長的取值范圍為D.若為銳角三角形，則的取值范圍為【答案】BCD【解析】【分析】由題可得.對于A，由誘導公式可判斷選項正誤；對于B，由題可得，然后由余弦定理，基本不等式可得，據此可判斷選項正誤；對于C，由正弦定理邊角互化可得，然后利用結合和差化積公式可判斷選項正誤；對于D，由正弦定理邊角互化可得，然后由結合輔助角公式可判斷選項正誤.【詳解】由圖可得，而，故，注意到或，.由題可得，則.對于A，，故A錯誤；對于B，，由余弦定理，，由基本不等式，，當且僅當取等號.則，故B正確；對于C，，因，則，結合和差化積公式，則，因，則，因在上單調遞增，在上單調遞減，則，故C正確；對于D，，因是銳角三角形，，則.,其中，，又.因，則，又，則在上單調遞增，在上單調遞減，.因，，則.則，因，則.故，故D正確.故選：BCD第Ⅱ卷（選擇題共92分）三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知兩點，點在直線上，且滿足，則點的坐標為_______．【答案】【解析】【分析】設，根據，得到，結合向量的坐標運算，列出方程組，求得的值，即可得到答案.【詳解】由點，可得，設，因為，可得，所以，可得，解得，所以點的坐標為.故答案為：.13.若，，則_______．【答案】【解析】【分析】由同角三角函數關系，結合二倍角公式，正切函數單調性可得答案.【詳解】由題可得，因，因在上單調遞增，則.故答案為：.14.在中，已知，則的最大值為______．【答案】##【解析】【分析】由平面向量數量積公式和余弦定理得到，進而由余弦定理和基本不等式求出，從而求出有最大值，最大值為.【詳解】由得，即，又由余弦定理得：，化簡得：，，當且僅當時，等號成立，將代入中，可得，滿足任意兩邊之和大于第三邊，故有最小值，且為銳角，此時，，由于在上單調遞減，在上單調遞增，故有最大值，最大值為．故答案為：【點睛】解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長，周長有關的范圍問題，與面積有關的范圍問題，或與角度有關的范圍問題，常用處理思路：①余弦定理結合基本不等式構造不等關系求出答案；②采用正弦定理邊化角，利用三角函數的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；③巧妙利用三角換元，實現邊化角，進而轉化為正弦或余弦函數求出最值.四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知，且與的夾角為．（1）求；（2）若向量與不能作為平面向量的一組基底，求實數的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用數量積的定義及運算律求解.（2）利用共線向量定理列式求解.【小問1詳解】由，且與的夾角為，得，.【小問2詳解】由向量與不能作為平面向量的一組基底，得與共線，則存在實數，使得，而與不共線，于是，解得，所以實數的值為.16.已知，，．x

（1）將函數化簡為的形式并用五點法畫出在上簡圖；（2）求函數取得最大值時所組成的集合，并試從向量數量積坐標表示的角度，結合數量積的定義解釋的最大值為2．【答案】（1），列表，作圖見解析（2），解釋見解析【解析】【分析】（1）根據數量積坐標運算及三角恒等變換化簡可得，再利用五點作圖法畫出圖象即可；（2）結合正弦函數的性質求解即可，再結合進行解釋即可.【小問1詳解】由題意，，列表如下：作圖如下：【小問2詳解】令，，解得，故函數取得最大值時所組成的集合為.因為，當且僅當時等號成立，此時與同向，夾角為0，則函數的最大值為2．17.已知函數．（1）求的定義域A，并化簡函數；（2）若對任意，不等式恒成立，求實數m的最小值．【答案】（1）（2）3．【解析】【分析】（1）根據正弦函數及余弦函數定義域計算，再根據二倍角正弦及同角三角函數關系化簡計算；（2）應用函數值域把恒成立轉化最值計算求解.【小問1詳解】的定義域由滿足及的值組成，即及，所以及，得，，因此．在前提下，化簡函數=．【小問2詳解】對任意，不等式≤恒成立，恒成立．而當時，，所以實數m的最小值為3．18.如圖，和與存在對頂角，且，，，且．（1）求的大小；（2）證明：O為BD中點；（3）若，求OC的長．【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）由已知結合正弦定理邊角轉化再應用余弦定理求角；（2）設，，則由余弦定理計算求解證明；（3）根據二倍角正弦及余弦公式化簡求出，再應用兩角和正弦求解應用正弦定理計算求值.【小問1詳解】,化簡得：.在中，由正弦定理得：,由余弦定理可得：，故.【小問2詳解】設，，則，.在中，由余弦定理得：.在中，由余弦定理得：.由，所以.化簡得：，故?為?中點.【小問3詳解】如圖：過點做，交與.則.由（）.所以，又，所以.所以.所以，又，.所以.由于所以.又，所以，所以.所以.即.在中，根據正弦定理，可得：.19.聲音的本質是介質振動形成的波，其基本特性可分解為三個正弦函數參數：頻率決定音高（單位Hz），振幅對應響度（dB），相位差反映波形偏移．復雜聲波通過傅里葉變換可展開為多個幅度、頻率各異的正弦波疊加，如樂器聲包含基頻與泛音列的正弦組合．請根據你所學的研究一個函數的性質，探究諧音函數的性質，請補充解答完整：函數的自變量x的取值范圍是R．顯然有，函數是奇函數，圖象關于原點對稱.（1）函數的一個周期為，簡要說明理由；（2）求出函數f（x）的零點；（3）對稱軸的定義：?若存在直線，使得對任意，有，則稱函數關于直線對稱．試判斷函數?有無對稱軸？若有，求出對稱軸方程并證明；若無，說明理由．【答案】（1），理由見解析（2），（3）無對稱軸，理由見解析【解析】【分析】（1）由周期的概念即可判斷；（2）化簡，問題轉換成，即可求解；（3）由對稱