第頁(yè)，共頁(yè)高一數(shù)學(xué)考試注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一冊(cè)到必修第二冊(cè)第七章占20%，必修第二冊(cè)第八章占80%.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.九棱錐共有（）A.9條棱 B.10條棱 C.12條棱 D.18條棱【答案】D【解析】【分析】九棱錐有9條底邊，棱也為9，即得答案.【詳解】九棱錐共有條棱．故選：D2.半徑的球的表面積（）A.6π B.8π C.10π D.12π【答案】B【解析】【分析】利用球的表面積公式即可求解.【詳解】半徑球的表面積．故選：B3.若，則z的共軛復(fù)數(shù)為（）A.3＋i B.3－i C.1＋3i D.1－3i【答案】A【解析】【分析】計(jì)算出，利用復(fù)數(shù)乘法法則計(jì)算出，利用共軛復(fù)數(shù)的定義得到答案.【詳解】，故，．故選：A4.已知為兩個(gè)不同的平面，為兩條不同的直線，且平面平面，則是的（）A.充要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】如圖所示：滿足，而相交，故不充分；滿足則，但異面，故不必要，故選：D5.若正六棱臺(tái)的高為6，且，，則該正六棱臺(tái)的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正六棱臺(tái)的性質(zhì)求得上下底面，再利用棱臺(tái)的體積公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)正六棱臺(tái)上、下底面的面積分別為、，因?yàn)椋邽椋裕栽摾馀_(tái)的體積.故選：C.6.如圖，四邊形表示水平放置的四邊形根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法得到的直觀圖，，則（）A. B.4 C.6 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)斜二測(cè)的性質(zhì)還原圖形，再由勾股定理求解.【詳解】還原四邊形，如圖所示，依題意可得．取的中點(diǎn)，連接，則，且，故．故選：C7.《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．在如圖所示的鱉臑中，平面BCD，，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，過(guò)EF的截面與AC交于點(diǎn)G，與BD交于點(diǎn)H，，若截面，且截面，四邊形GEHF是正方形，則（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】【分析】本題首先把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行，再利用空間平行的傳遞性，三角形中位線定理即可求解.【詳解】如圖所示：過(guò)EF的截面α與AC交于點(diǎn)G，與BD交于點(diǎn)H，則截面α即為四邊形GEHF，又因AB//截面α，平面，平面平面，平面，平面平面，所以，又CD//截面α，同理可得，，因?yàn)樵谥校珽為線段BC的中點(diǎn)，所以線段GE是的中位線，因?yàn)樵谥校現(xiàn)為線段AD的中點(diǎn)，所以線段HF是的中位線，所以點(diǎn)E，H分別是線段BC，BD的中點(diǎn)，所以線段EH是的中位線，所以，又四邊形GEHF是正方形，所以.故選：B.8.若，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先設(shè)fa=a2+a3a>0，得到函數(shù)的單調(diào)性和的解為a【詳解】設(shè)函數(shù)fa=a因?yàn)椋缘慕鉃閍＝5，，所以，．因，所以．故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)數(shù)比較大小的方法有：（1）對(duì)于真數(shù)相同的對(duì)數(shù)，可利用倒數(shù)法加以解決，有時(shí)也可把對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為指數(shù)式進(jìn)行比較；（2）當(dāng)?shù)讛?shù)與真數(shù)都不相同時(shí)，一般可選取適當(dāng)?shù)摹懊浇椤保ㄍǔＲ浴?”或“1”為媒介），分別與要比較的數(shù)比較大小，從而間接地得出要比較的數(shù)的大小關(guān)系；（3）作差（商）比較法是比較兩個(gè)數(shù)值大小的常用方法，即對(duì)兩值作差（商），看其值與0（1）的關(guān)系，從而確定所比兩值的大小關(guān)系．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.設(shè)l，m，n是不同的直線，α，β是不同的平面，則下列判斷錯(cuò)誤的是（）A.若，，，則B.若，，，則C.若直線，，且l⊥m，l⊥n，則D.若l，m是異面直線，，，且，，則【答案】ABC【解析】【分析】ABC可舉出反例；D選項(xiàng)，作出輔助線，由線面平行得到線線平行，進(jìn)而得到面面平行.【詳解】對(duì)于A，若，，，則l與m可能平行，可能相交，也可能異面，A錯(cuò)誤．對(duì)于B，若，，，則l與m可能平行，可能相交，也可能異面，B錯(cuò)誤．對(duì)于C，沒(méi)有說(shuō)m，n是相交直線，所以不能得到，C錯(cuò)誤．對(duì)于D，因?yàn)椋O(shè)平面平面，，所以，因?yàn)閘，m是異面直線，，所以l，a相交，因?yàn)椋裕驗(yàn)椋琹，a相交，所以，D正確．故選：ABC10.在中，的對(duì)邊分別為，若，則的值可以為（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】利用正弦定理角化邊得到，利用余弦定理后，即可求得的范圍.【詳解】由及正弦定理，得，由余弦定理得，所以．故選：AB11.已知三棱錐的所有棱長(zhǎng)都是分別是三棱錐外接球和內(nèi)切球上的點(diǎn)，則（）A.三棱錐的體積是B.三棱錐內(nèi)切球的半徑是C.長(zhǎng)度的取值范圍是D.三棱錐外接球的體積是【答案】ACD【解析】【分析】作出棱錐的高，利用體積公式處理A，利用內(nèi)切球的半徑公式處理B，利用勾股定理建立方程求解外接球半徑，進(jìn)而求出體積判斷D，C即可.【詳解】如圖，取BC的中點(diǎn)M，連接AM，PM，作平面ABC．易證H在AM上，且，則，從而三棱錐P—ABC的體積，故A正確.設(shè)三棱錐P—ABC內(nèi)切球的半徑為r，則，所以，故B錯(cuò)誤.設(shè)三棱錐P—ABC外接球的半徑為R，球心為O，則，即，解得，所以，則三棱錐P—ABC外接球體積是，顯然長(zhǎng)度的取值范圍是，故C，D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查求立體幾何，解題關(guān)鍵是利用勾股定理求出外接球的半徑，然后求解體積和邊的取值范圍即可．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在答題卡中的橫線上．12.已知向量．若，則______；若，則向量與的夾角為_(kāi)_____.【答案】①3②.##【解析】【分析】利用向量共線的充要條件即得；利用向量垂直的充要條件求得，再由向量夾角的坐標(biāo)公式計(jì)算即得向量與的夾角.【詳解】若，則，解得．若，則，即，解得，則，．設(shè)向量與的夾角為，則，因，故．故答案為：3；.13.某同學(xué)將一張圓心角為的扇形紙殼裁成扇環(huán)（如圖1）后，制成了簡(jiǎn)易筆筒（如圖2）的側(cè)面，已知，則制成的簡(jiǎn)易筆筒的高為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出圓臺(tái)的上下底面圓半徑，再利用等腰梯形的性質(zhì)求出高.【詳解】依題意，圓臺(tái)上底面圓周長(zhǎng)為，則圓臺(tái)上底半徑，圓臺(tái)下底面圓周長(zhǎng)為，則圓臺(tái)下底半徑，圓臺(tái)軸截面是等腰梯形，上下底邊長(zhǎng)分別為，腰長(zhǎng)為，所以圓臺(tái)的高，即等腰梯形的高為（cm）.故答案為：14.如圖所示，在直三棱柱中，，，P是線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_________.【答案】7【解析】【分析】連接，以所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將所在平面旋轉(zhuǎn)到與平面重合，設(shè)點(diǎn)的新位置為，則可得當(dāng)A，P，三點(diǎn)共線時(shí)，的長(zhǎng)為的最小值.【詳解】連接，以所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將所在平面旋轉(zhuǎn)到與平面重合，設(shè)點(diǎn)的新位置為，連接，則有，如圖所示.當(dāng)A，P，三點(diǎn)共線時(shí)，的長(zhǎng)為的最小值，因?yàn)椋?又，所以是邊長(zhǎng)為的正三角形，.又，所以，所以，由勾股定理可得.故答案為：7四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.如圖，這是由一個(gè)半圓柱和一個(gè)長(zhǎng)方體組合而成的幾何體，其中，．（1）求該幾何體的體積；（2）求該幾何體的表面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用長(zhǎng)方體和半圓柱的體積公式計(jì)算即可；（2）直接算各個(gè)面的面積相加即可.【小問(wèn)1詳解】長(zhǎng)方體的體積為，半圓柱的底面積為，半圓柱的體積為，該幾何體的體積為.【小問(wèn)2詳解】長(zhǎng)方體去掉上底面后的表面積為，由（1）得半圓柱的底面積為，半圓柱的側(cè)面積為，所以該幾何體的表面積為.16.如圖，在四棱錐中，底面是菱形．，分別為的中點(diǎn)，且．（1）證明：．（2）若，求點(diǎn)到平面的距離．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）連接，根據(jù)線面垂直的判定定理可得平面，從而得證；（2）先求得，進(jìn)而求得，利用等體積法可求得點(diǎn)到平面的距離.【小問(wèn)1詳解】連接．因?yàn)榈酌媸橇庑危謩e為的中點(diǎn)，所以，，所以．又，，所以平面．因?yàn)槠矫妫裕拘?wèn)2詳解】因?yàn)椋堑闹悬c(diǎn)，所以．又，，所以平面．由題意得是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，且為的中點(diǎn)，所以，又，所以．在中，可得，，所以．設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則．因?yàn)椋裕獾茫渣c(diǎn)到平面的距離為.17.如圖，在六面體中，，正方形的邊長(zhǎng)為2，．（1）證明：平面平面．（2）求直線EF與平面所成角的正切值．（3）求多面體的體積．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定的條件，利用線面平行的判定、面面平行的判定推理即得.（2）借助勾股定理的逆定理，結(jié)合線面垂直的判定證得平面，進(jìn)而確定直線在平面的射影即可求解.（3）利用（2）中信息，利用割補(bǔ)法，結(jié)合錐體的體積公式計(jì)算即得.【小問(wèn)1詳解】由，平面，平面，得平面，由正方形，得，又平面，平面，得平面，而平面，所以平面平面.【小問(wèn)2詳解】連接，在正方形中，，則，而，即有，于是，而平面，則平面，由，得平面，因此在平面內(nèi)的射影是，令直線EF與平面所成的角為，在直角梯形中，，所以直線EF與平面所成角的正切值為.【小問(wèn)3詳解】由（2）知，平面，而平面，則，又，平面，于是平面，四棱錐的體積，由平面，得三棱錐的體積，所以多面體的體積.18.在中，．（1）證明：為△ABC的重心．（2）設(shè)．①證明：為定值．②求的最大值，并求此時(shí)AB的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）①證明見(jiàn)解析，②，此時(shí)【解析】【分析】（1）作出輔助線，利用得到G為△ABC三條中線的交點(diǎn)，即G為△ABC的重心；（2）①在（1）基礎(chǔ)上，求出EG＝2，BE＝CE＝3，設(shè)，則，，又余弦定理得到；②設(shè)，，，利用三角恒等變換得到，故時(shí)，取得最大值，且最大值為，并求出，此時(shí)AB的長(zhǎng)．【小問(wèn)1詳解】證明：設(shè)BC的中點(diǎn)為E，則，因?yàn)椋裕O(shè)AC的中點(diǎn)為F，AB的中點(diǎn)為H，同理可得，，所以A，G，E三點(diǎn)共線，B，G，F(xiàn)三點(diǎn)共線，C，G，H三點(diǎn)共線，從而G為△ABC三條中線的交點(diǎn)，即G為△ABC的重心．【小問(wèn)2詳解】①證明：由（1）知，因?yàn)椋裕驗(yàn)椋裕O(shè)，則，，由余弦定理，得，，則，為定值．②設(shè)，，，所以，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，且最大值為，此時(shí)，解得，此時(shí)．19.刻畫(huà)空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，用曲率刻畫(huà)空間的彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于2π與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差，其中多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制．例如：正四面體每個(gè)頂點(diǎn)均有3個(gè)面角，每個(gè)面角均為，故其各個(gè)頂點(diǎn)的曲率均為．如圖，在直三棱柱中，點(diǎn)A的曲率為，N，M分別為AB，的中點(diǎn)，且．（1）證明：平面．（2）證明：平面平面．（3）若，求二面角的正切值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）．【解析】【分析】（1）由題意可得，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，結(jié)合線面垂直的判定定理即可證明；（2）如圖，易證，由（1）得平面，結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明；（3）如圖，根據(jù)線面垂直的判定定理可得平面，則，易證，則∠AHF為二面角的平面角的補(bǔ)角．結(jié)合等面積法求得FH，即可求解.【小問(wèn)1詳解】在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，則，，所以點(diǎn)A的曲率為，所以．因?yàn)椋浴鰽BC為正三角形．因?yàn)镹為AB的中點(diǎn)，所以．又平面ABC，平面ABC，所以，因?yàn)椋矫妫云矫妫拘?wèn)2詳解】取的中點(diǎn)D，連接DM，DN．因?yàn)镹為AB的中點(diǎn)，所以且．又且，所以且，所以四邊形CNDM為平行四邊形，則．由（1）知平面，則平面．又平面，所以平面平面．【