內(nèi)蒙古名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題(解析版)_第1頁(yè)
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第頁(yè),共頁(yè)高一數(shù)學(xué)考試注意事項(xiàng):1.答題前,考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容:人教A版必修第一冊(cè)到必修第二冊(cè)第七章占20%,必修第二冊(cè)第八章占80%.一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.九棱錐共有()A.9條棱 B.10條棱 C.12條棱 D.18條棱【答案】D【解析】【分析】九棱錐有9條底邊,棱也為9,即得答案.【詳解】九棱錐共有條棱.故選:D2.半徑的球的表面積()A.6π B.8π C.10π D.12π【答案】B【解析】【分析】利用球的表面積公式即可求解.【詳解】半徑球的表面積.故選:B3.若,則z的共軛復(fù)數(shù)為()A.3+i B.3-i C.1+3i D.1-3i【答案】A【解析】【分析】計(jì)算出,利用復(fù)數(shù)乘法法則計(jì)算出,利用共軛復(fù)數(shù)的定義得到答案.【詳解】,故,.故選:A4.已知為兩個(gè)不同的平面,為兩條不同的直線,且平面平面,則是的()A.充要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】如圖所示:滿足,而相交,故不充分;滿足則,但異面,故不必要,故選:D5.若正六棱臺(tái)的高為6,且,,則該正六棱臺(tái)的體積為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正六棱臺(tái)的性質(zhì)求得上下底面,再利用棱臺(tái)的體積公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)正六棱臺(tái)上、下底面的面積分別為、,因?yàn)椋邽椋裕栽摾馀_(tái)的體積.故選:C.6.如圖,四邊形表示水平放置的四邊形根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法得到的直觀圖,,則()A. B.4 C.6 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)斜二測(cè)的性質(zhì)還原圖形,再由勾股定理求解.【詳解】還原四邊形,如圖所示,依題意可得.取的中點(diǎn),連接,則,且,故.故選:C7.《九章算術(shù)》中,將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.在如圖所示的鱉臑中,平面BCD,,E,F(xiàn)分別為BC,AD的中點(diǎn),過(guò)EF的截面與AC交于點(diǎn)G,與BD交于點(diǎn)H,,若截面,且截面,四邊形GEHF是正方形,則()A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】【分析】本題首先把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行,再利用空間平行的傳遞性,三角形中位線定理即可求解.【詳解】如圖所示:過(guò)EF的截面α與AC交于點(diǎn)G,與BD交于點(diǎn)H,則截面α即為四邊形GEHF,又因AB//截面α,平面,平面平面,平面,平面平面,所以,又CD//截面α,同理可得,,因?yàn)樵谥校珽為線段BC的中點(diǎn),所以線段GE是的中位線,因?yàn)樵谥校現(xiàn)為線段AD的中點(diǎn),所以線段HF是的中位線,所以點(diǎn)E,H分別是線段BC,BD的中點(diǎn),所以線段EH是的中位線,所以,又四邊形GEHF是正方形,所以.故選:B.8.若,,則()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先設(shè)fa=a2+a3a>0,得到函數(shù)的單調(diào)性和的解為a【詳解】設(shè)函數(shù)fa=a因?yàn)椋缘慕鉃閍=5,,所以,.因,所以.故選:B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:對(duì)數(shù)比較大小的方法有:(1)對(duì)于真數(shù)相同的對(duì)數(shù),可利用倒數(shù)法加以解決,有時(shí)也可把對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為指數(shù)式進(jìn)行比較;(2)當(dāng)?shù)讛?shù)與真數(shù)都不相同時(shí),一般可選取適當(dāng)?shù)摹懊浇椤保ㄍǔR浴?”或“1”為媒介),分別與要比較的數(shù)比較大小,從而間接地得出要比較的數(shù)的大小關(guān)系;(3)作差(商)比較法是比較兩個(gè)數(shù)值大小的常用方法,即對(duì)兩值作差(商),看其值與0(1)的關(guān)系,從而確定所比兩值的大小關(guān)系.二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)l,m,n是不同的直線,α,β是不同的平面,則下列判斷錯(cuò)誤的是()A.若,,,則B.若,,,則C.若直線,,且l⊥m,l⊥n,則D.若l,m是異面直線,,,且,,則【答案】ABC【解析】【分析】ABC可舉出反例;D選項(xiàng),作出輔助線,由線面平行得到線線平行,進(jìn)而得到面面平行.【詳解】對(duì)于A,若,,,則l與m可能平行,可能相交,也可能異面,A錯(cuò)誤.對(duì)于B,若,,,則l與m可能平行,可能相交,也可能異面,B錯(cuò)誤.對(duì)于C,沒(méi)有說(shuō)m,n是相交直線,所以不能得到,C錯(cuò)誤.對(duì)于D,因?yàn)椋O(shè)平面平面,,所以,因?yàn)閘,m是異面直線,,所以l,a相交,因?yàn)椋裕驗(yàn)椋琹,a相交,所以,D正確.故選:ABC10.在中,的對(duì)邊分別為,若,則的值可以為()A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】利用正弦定理角化邊得到,利用余弦定理后,即可求得的范圍.【詳解】由及正弦定理,得,由余弦定理得,所以.故選:AB11.已知三棱錐的所有棱長(zhǎng)都是分別是三棱錐外接球和內(nèi)切球上的點(diǎn),則()A.三棱錐的體積是B.三棱錐內(nèi)切球的半徑是C.長(zhǎng)度的取值范圍是D.三棱錐外接球的體積是【答案】ACD【解析】【分析】作出棱錐的高,利用體積公式處理A,利用內(nèi)切球的半徑公式處理B,利用勾股定理建立方程求解外接球半徑,進(jìn)而求出體積判斷D,C即可.【詳解】如圖,取BC的中點(diǎn)M,連接AM,PM,作平面ABC.易證H在AM上,且,則,從而三棱錐P—ABC的體積,故A正確.設(shè)三棱錐P—ABC內(nèi)切球的半徑為r,則,所以,故B錯(cuò)誤.設(shè)三棱錐P—ABC外接球的半徑為R,球心為O,則,即,解得,所以,則三棱錐P—ABC外接球體積是,顯然長(zhǎng)度的取值范圍是,故C,D正確.故選:ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題考查求立體幾何,解題關(guān)鍵是利用勾股定理求出外接球的半徑,然后求解體積和邊的取值范圍即可.三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.12.已知向量.若,則______;若,則向量與的夾角為_(kāi)_____.【答案】①3②.##【解析】【分析】利用向量共線的充要條件即得;利用向量垂直的充要條件求得,再由向量夾角的坐標(biāo)公式計(jì)算即得向量與的夾角.【詳解】若,則,解得.若,則,即,解得,則,.設(shè)向量與的夾角為,則,因,故.故答案為:3;.13.某同學(xué)將一張圓心角為的扇形紙殼裁成扇環(huán)(如圖1)后,制成了簡(jiǎn)易筆筒(如圖2)的側(cè)面,已知,則制成的簡(jiǎn)易筆筒的高為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件,求出圓臺(tái)的上下底面圓半徑,再利用等腰梯形的性質(zhì)求出高.【詳解】依題意,圓臺(tái)上底面圓周長(zhǎng)為,則圓臺(tái)上底半徑,圓臺(tái)下底面圓周長(zhǎng)為,則圓臺(tái)下底半徑,圓臺(tái)軸截面是等腰梯形,上下底邊長(zhǎng)分別為,腰長(zhǎng)為,所以圓臺(tái)的高,即等腰梯形的高為(cm).故答案為:14.如圖所示,在直三棱柱中,,,P是線段上一動(dòng)點(diǎn),則的最小值為_(kāi)_________.【答案】7【解析】【分析】連接,以所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,將所在平面旋轉(zhuǎn)到與平面重合,設(shè)點(diǎn)的新位置為,則可得當(dāng)A,P,三點(diǎn)共線時(shí),的長(zhǎng)為的最小值.【詳解】連接,以所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,將所在平面旋轉(zhuǎn)到與平面重合,設(shè)點(diǎn)的新位置為,連接,則有,如圖所示.當(dāng)A,P,三點(diǎn)共線時(shí),的長(zhǎng)為的最小值,因?yàn)椋?又,所以是邊長(zhǎng)為的正三角形,.又,所以,所以,由勾股定理可得.故答案為:7四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.如圖,這是由一個(gè)半圓柱和一個(gè)長(zhǎng)方體組合而成的幾何體,其中,.(1)求該幾何體的體積;(2)求該幾何體的表面積.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用長(zhǎng)方體和半圓柱的體積公式計(jì)算即可;(2)直接算各個(gè)面的面積相加即可.【小問(wèn)1詳解】長(zhǎng)方體的體積為,半圓柱的底面積為,半圓柱的體積為,該幾何體的體積為.【小問(wèn)2詳解】長(zhǎng)方體去掉上底面后的表面積為,由(1)得半圓柱的底面積為,半圓柱的側(cè)面積為,所以該幾何體的表面積為.16.如圖,在四棱錐中,底面是菱形.,分別為的中點(diǎn),且.(1)證明:.(2)若,求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】【分析】(1)連接,根據(jù)線面垂直的判定定理可得平面,從而得證;(2)先求得,進(jìn)而求得,利用等體積法可求得點(diǎn)到平面的距離.【小問(wèn)1詳解】連接.因?yàn)榈酌媸橇庑危謩e為的中點(diǎn),所以,,所以.又,,所以平面.因?yàn)槠矫妫裕拘?wèn)2詳解】因?yàn)椋堑闹悬c(diǎn),所以.又,,所以平面.由題意得是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,且為的中點(diǎn),所以,又,所以.在中,可得,,所以.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,則.因?yàn)椋裕獾茫渣c(diǎn)到平面的距離為.17.如圖,在六面體中,,正方形的邊長(zhǎng)為2,.(1)證明:平面平面.(2)求直線EF與平面所成角的正切值.(3)求多面體的體積.【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)(3).【解析】【分析】(1)根據(jù)給定的條件,利用線面平行的判定、面面平行的判定推理即得.(2)借助勾股定理的逆定理,結(jié)合線面垂直的判定證得平面,進(jìn)而確定直線在平面的射影即可求解.(3)利用(2)中信息,利用割補(bǔ)法,結(jié)合錐體的體積公式計(jì)算即得.【小問(wèn)1詳解】由,平面,平面,得平面,由正方形,得,又平面,平面,得平面,而平面,所以平面平面.【小問(wèn)2詳解】連接,在正方形中,,則,而,即有,于是,而平面,則平面,由,得平面,因此在平面內(nèi)的射影是,令直線EF與平面所成的角為,在直角梯形中,,所以直線EF與平面所成角的正切值為.【小問(wèn)3詳解】由(2)知,平面,而平面,則,又,平面,于是平面,四棱錐的體積,由平面,得三棱錐的體積,所以多面體的體積.18.在中,.(1)證明:為△ABC的重心.(2)設(shè).①證明:為定值.②求的最大值,并求此時(shí)AB的長(zhǎng).【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)①證明見(jiàn)解析,②,此時(shí)【解析】【分析】(1)作出輔助線,利用得到G為△ABC三條中線的交點(diǎn),即G為△ABC的重心;(2)①在(1)基礎(chǔ)上,求出EG=2,BE=CE=3,設(shè),則,,又余弦定理得到;②設(shè),,,利用三角恒等變換得到,故時(shí),取得最大值,且最大值為,并求出,此時(shí)AB的長(zhǎng).【小問(wèn)1詳解】證明:設(shè)BC的中點(diǎn)為E,則,因?yàn)椋裕O(shè)AC的中點(diǎn)為F,AB的中點(diǎn)為H,同理可得,,所以A,G,E三點(diǎn)共線,B,G,F(xiàn)三點(diǎn)共線,C,G,H三點(diǎn)共線,從而G為△ABC三條中線的交點(diǎn),即G為△ABC的重心.【小問(wèn)2詳解】①證明:由(1)知,因?yàn)椋裕驗(yàn)椋裕O(shè),則,,由余弦定理,得,,則,為定值.②設(shè),,,所以,當(dāng),即時(shí),取得最大值,且最大值為,此時(shí),解得,此時(shí).19.刻畫(huà)空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容,用曲率刻畫(huà)空間的彎曲性,規(guī)定:多面體頂點(diǎn)的曲率等于2π與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差,其中多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角,角度用弧度制.例如:正四面體每個(gè)頂點(diǎn)均有3個(gè)面角,每個(gè)面角均為,故其各個(gè)頂點(diǎn)的曲率均為.如圖,在直三棱柱中,點(diǎn)A的曲率為,N,M分別為AB,的中點(diǎn),且.(1)證明:平面.(2)證明:平面平面.(3)若,求二面角的正切值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析;(3).【解析】【分析】(1)由題意可得,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得,結(jié)合線面垂直的判定定理即可證明;(2)如圖,易證,由(1)得平面,結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明;(3)如圖,根據(jù)線面垂直的判定定理可得平面,則,易證,則∠AHF為二面角的平面角的補(bǔ)角.結(jié)合等面積法求得FH,即可求解.【小問(wèn)1詳解】在直三棱柱中,平面ABC,平面ABC,則,,所以點(diǎn)A的曲率為,所以.因?yàn)椋浴鰽BC為正三角形.因?yàn)镹為AB的中點(diǎn),所以.又平面ABC,平面ABC,所以,因?yàn)椋矫妫云矫妫拘?wèn)2詳解】取的中點(diǎn)D,連接DM,DN.因?yàn)镹為AB的中點(diǎn),所以且.又且,所以且,所以四邊形CNDM為平行四邊形,則.由(1)知平面,則平面.又平面,所以平面平面.【

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