NT20名校聯合體4月高一年級期中考試1.本試卷共150分。考試時間120分鐘。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知z(1+i)=4,則≈的虛部為A.2B.2i2.已知平面向量a=(2,—1),6=(x,3),且a⊥(a+b),則x=A.—1B.13.已知水平放置的四邊形ABCD的斜二測直觀圖為菱形A′B'C'D',已知A′B'=3,∠A'B'C′=60°,則四邊形ABCD的面積為A.6√3B.9√3C.6√6CB=b,則AE=5.如圖，在正三棱錐P-ABC中，PA=2√2,三條側棱兩兩夾角均為40°,M,N分別是PA,PB上的動點，則三角形CMN的周長的最小值為6.如圖，為了測量某座山的高度，測量人員選取了與山底B在同一平面內的兩個觀測點C與D,現測得∠CBD=75°,∠BCD=60°,BD=45米，在點C處測得山頂A的仰角為60°,則該座山的高度為7.已知正方體ABCD-A?B?C?D?的棱長為1,則下列說法中正確的是A.若M是C?D?的中點，AM與平面BB?D?D的交點為O,則A?,O,C三點共線高一數學第1頁共4頁B.以正方體的四個頂點為頂點組成的正四面體的體積為C.若P是B?D?上的動點，則D,P,B,C?四點共面D.若Q是AD?上的動點，則A?Q+QB的最小值是√2+√38.在銳角△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a=2,b=2+2acosC,則的取值范圍是二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分。9.在復數范圍內，關于x的方程x2+ax+b=0(a,b∈R)的其中一個根為z1=1+i,另一根為≈2,則下列結論正確的是A.a=2,b=2B.z?=2+i10.已知a,b,c分別為△ABC三個內角A,B,C的對邊，下列四個命題中正確的是A.a>b是sinA>sinB的充分不必要條件B.若△ABC是銳角三角形，則點(sinA—cosB,cosC-sinB)在第四象限C.若a=√6,b=√15,A=45°,則符合條件的△ABC有兩個D.若△ABC是銳角三角形，且a=1,b=2,則c的取值范圍是(√3,√5)11.已知球O的半徑為R,A,B,C為球面上三點，且AB=BC=√3,CA=3,若球心O到平面ABC的距離等于,則下列結論正確的是B.若圓柱的外接球為球O,則圓柱側面積的最大值為8πC.若正三棱柱的內切球為球O,則正三棱柱的體積為48√3D.若正四面體的各棱與球O相切，則正四面體的表面積為32√3三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量a=(-1,3),b=(λ,—1),若a與b的夾角為鈍角，則實數λ的取值范圍是·高一數學第2頁共4頁高一數學第3頁共4頁13.在銳角△ABC中，角A,B,C所對的邊為a,b,c,A=60°,a=2,O為△ABC的外心，則OA·(OB+OC)的取值范圍是·14.如圖，在邊長為3的正方體ABCD-A?B?C?D?中，M為AB中點，N為BC中點，過M、N、D?作與正方體的截面為α,則截面α的周長為四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.(本小題滿分13分)已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,且a,b的夾角為(1)設向量2a+b與向量a-b所成的角為θ,求cosθ;(2)求a+6在6方向上的投影向量.16.(本小題滿分15分)已知復數z=a—2i(a∈R),且z·(1+i)為純虛數(z是z的共軛復數).(2)設復數,求|z?|;(3)復數≥2滿足|≈2—ai|=1,求|≈2—a+i|的最小值.17.(本小題滿分15分)在△ABC中，內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若3acosB=c(3—b),(2)若點D為BC延長線上的一點，且BC=2CD,AD=√6,求△ABC的面積.高一數學第4頁共4頁18.(本小題滿分17分)如圖，△BCD是圓錐底面圓的內接三角形，BD=4,,PA為圓錐的母線，且圓錐的側面展開圖是一個半圓.(1)求圓錐的外接球的表面積；(2)求三棱錐P-BCD體積的最大值；(3)用平行于底面的平面截去圓錐的上半部分，若剩下的圓臺有內切球，求圓臺的體積.19.(本小題滿分17分)若△ABC中角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,O是△ABC內一點，如圖1.(1)若a=3,OB=2OC,求△OBC面積的最大值；(2)若△ABC為正三角形，BC于點D,如圖2.①求tan∠OAB;②求連接AO并延長交高一數學第1頁NT20名校聯合體4月高一年級期中考試2.A【解析】由題意知a⊥(a+b),所以2×(2+x)-2×1=0,解得x=-1,故A正確.故選：A.4.C【解析】因為D為AB上靠近B的三等分點，E為CD的中點，5.A【解析】把正三棱錐沿PC剪開并展開，形成三個全等的等腰三角形：△PBC、△PAC、△PAB,則線段CC”就是△CMN的最小周長，又PC=PC'=2√2,在Rt△ABC中，可得AB=BCtan∠ACB=15√6×√3=45√2,7.B【解析】選項A,在正方體ABCD-AB?C?D中，連接AD?,BC?,如圖，連接BD?,平面ABC?D?∩平面BB?D?D=BD?,因為M為棱D?C?的中點，則M∈平面ABC?D?,高一數學第2頁因AM與平面BB?D?D的交點為0,則O∈平面BB?D?D,于是得O∈BD,即D?,O,B三點共線，由C?D?//CD/IAB,M為棱DC?的中點，可得DM//AB且所以三點D?,O,B共線，且OB=20D?.而AC與BD?交于BD?的中點，所以三點A?,O,C不共線，故A錯誤；選項B,以正方體的四個頂點為頂點組成的正四面體，例如四面體B?-D?AC的體積為選項C,設直線DP與直線BB?相交于點N,直線BC?在平面BB?C?C內，且不過點N,所以由線線位置關系知，直線DP與BC?是異面直線，故C錯誤；選項D,如圖，將平面A?AD?和平面BAD?展開到一個平面上，連接AB交AD?于點8.C【解析】△ABC中，因為a=2,sin(A+C)=sinA+2sinAcosC.則sinAcosC+cosAsinC=sinA+2sinAcosC,那么cosAsinC-sinAcosC=sinA,即sin(C-A)=sinA,因為角A,C為銳角，所以C=2A,9.CD【解析】A選項，二=1+1是方程x2+ax+b=0(a,b∈R)的根，則(1+i)2+a(1+i)+b=0,高一數學第3頁即a+b+(a+2)i=0,那么B選項，由A知x2-2x+2=0,(x-1)2=-1,所以x=1±i,二2=1-i,故B錯誤；C選項，二=2=(1+i)(1-i)=2,故C正確；D選項，所以,故D正確.故選：CD.故A錯誤；同理sinB>coSC,所以(sinA-cosB,cosC-sin對于A,設△ABC的外接圓圓心為O',半徑為，,由正弦定理得因為球心O到平面ABC的距離等于球O半徑的,所以R2=4,R=2,故A錯誤；對于B,設圓柱的高為h,底面半徑為ri,則圓柱的側面積為對于C,因為球內切于正三棱柱，那么三棱柱的高為4,底面正三角形的內切圓半徑為2,故底面邊長為4√3,那么正三棱柱的體積為48√3,故C正確；對于D,設正四面體的棱長為α,則正四面體的棱切球即為棱長為的正方體的內切球，即連接D?E,D?F分別與AA,CC?交于點P,Q,連接PM,QN,…11分17.【解析】(1)因為3acosB=c(3-b),兩邊同時乘以C得：3accosB=c2(3-b),……………1分(2)由題意可知那么2AD=3AC-AB…………9分高一數學第6頁18.【解析】(1)設底面圓心為0,半徑為r,,所!由正弦定理可知,…………2分又圓錐的側面展開圖是半圓，所以2πr?=π·PA,所以PA=4√3,所以圓錐的高h=6……4分(2)