高級中學名校試題PAGEPAGE1黑龍江省齊齊哈爾市2025屆高考二模數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，若，則（）A0 B. C.1 D.0或1【答案】C【解析】因為集合，，，所以，所以或，若，則，此時，滿足題意；若，則，此時集合不滿足集合元素的互異性，舍去．綜上，．故選：C．2.已知復數z滿足，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】已知，則.得到：，則.

所以.

可得：.根據復數的模的計算公式：則.

故選：D.3.在三棱柱中，設，，，為的中點，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】連接，如圖，因為為的中點，所以．故選：C．4.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵，解得，∴.故選：A．5.直線經過橢圓的兩個頂點，則該橢圓的離心率（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為直線，令，則，所以，令，則，所以，又因為，所以，則該橢圓的離心率.故選：B.6.函數在上單調遞增的必要不充分條件為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意，函數的定義域為.由在上單調遞增，得在上恒成立.則，解得.A是充分不必要條件，B是充分必要條件，C是不充分不必要條件，D是必要不充分條件，故選：D.7.已知，，，則（）A.0.2 B.0.375 C.0.75 D.0.8【答案】A【解析】因為，所以，解得.故選：A.8.已知正三棱臺的上底面邊長為，高為，體積為，則該正三棱臺的外接球表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設正三棱臺的下底面邊長為，則其下底面積為，上底面面積為，所以，該三棱臺的體積為，整理可得，因為，解得，如下圖，設正三棱臺的上、下底面的中心分別為、，由正三棱臺的幾何性質可知，外接球球心在直線上，正的外接圓半徑為，正的外接圓半徑為，設，若球心在線段上，則，設球的半徑為，則，即，解得，不合乎題意；所以，球心在射線上，則，，即，解得.所以，，故該正三棱臺的外接球表面積為.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.A、B是函數與直線的兩個交點，則下列說法正確的是（）A.B.的定義域為C.的對稱中心為D.在區間上單調遞增【答案】AC【解析】的最小正周期，則，故A正確；由，得，所以的定義域為，故B錯誤；由，解得，所以對稱中心為，故C正確；當時，得，從而無意義，因此區間不可能是的單調遞增區間，故D錯誤，故選：AC.10.函數的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】的定義域為，排除C；對求導可得，.

當時，，.所以在上單調遞增，且函數圖象從右側開始上升，B選項滿足.

當時，在上，，，所以，這表明函數在上單調遞增，，A選項滿足.

當時，.令，對求導得，在上，，所以在上單調遞增.又，當時，，所以存在，使得，即.當時，，，單調遞減；當時，，，單調遞增，D選項滿足.故選：ABD.11.已知O為坐標原點，經過點的直線與拋物線交于、兩點，直線：是線段AB的垂直平分線，且與的交點為，則下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，，則C. D.【答案】BC【解析】根據題意可知直線的斜率存在且不為0，設直線的方程為，，與拋物線方程聯立，可得，∴，，∴，，對于A，若，則，故A錯誤；對于B，若，由題意，則，得，∴直線的方程為，，∵，原點到直線距離，∴，故B正確；對于C，由題意為線段的中點，則，即，又，點在直線上，則，故C正確；對于D，由，得，則，∴由得，又，解得，故D錯誤，故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在的展開式中，的系數為______．【答案】【解析】因為其中展開式的通項為（），所以的展開式中的系數為.故答案為：13.已知函數，則不等式的解集為______．【答案】【解析】的定義域為，∵，∴函數是上的增函數，∵，∴函數是奇函數，∴由得，∴，∴不等式的解集為．故答案為：．14.南宋數學家楊輝在《詳析九章算法》中提出了一階等差數列的問題，即一個數列本身不是等差數列，但從數列中的第二項開始，每一項與前一項的差構成等差數列，則稱數列為一階等差數列．類比一階等差數列的定義，我們亦可定義一階等比數列．設數列：1，1，2，8，64，…是一階等比數列，則______；______．【答案】①.32②.【解析】由題意，設數列：1，1，2，8，64，…是一階等比數列，設，所以為等比數列，其中，公比為，所以，則．則，所以，所以．故答案為：32；．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖：四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，已知，，，且（1）求BO的長；（2）若，求的值．解：（1）設，，所以，，在中，，在中，，因為，解得，所以BO的長為；（2）由（1）知，設,，，在中，，在中，，所以，若，則與全等，所以，所以，所以，不成立，所以所以，因為，所以，所以，所以，所以的值為.16.已知函數（1）求函數的單調區間；（2）若恒成立，求的取值范圍.解：（1）的定義域為，，，當時，，則在上單調遞增；當時，當時，，當時，，則單調遞增；當時，，則單調遞減，綜上，當時，的單調遞增區間為，無單調遞減區間；當時，的單調遞增區間為；的單調遞減區間為.（2）若恒成立，即恒成立，則恒成立，設，，∵，∴，當時，，則在上單調遞增，當時，，所以不合題意；當時，當時，，當時，，則單調遞增；當時，，則單調遞減，則的最大值為，則，令，，，則在上單調遞增，又，∴由，得，∴且，∴.17.已知三棱臺（圖2）的平面展開圖（圖1）中，和均為邊長為2的等邊三角形，B、C分別為AE、AF的中點，，，在三棱臺ABC-DEF中（1）求證：；（2）求平面ABC與平面ACFD所成二面角的正弦值．（1）證明：取的中點，的中點，所以，所以，，，四點共線，因為，，所以，，又，所以平面，因為平面，所以；（2）解：延長交的延長線于點，由平面展開圖可得，所以，由余弦定理可得，過作交于，所以，又，所以，所以，，故過作交于，由（1）知，，故平面，如圖，建立空間直角坐標系，所以，，，，，，，，設平面的法向量為，平面的法向量為，由得，令，則，由得，令，則，所以，所以，所以平面ABC與平面ACFD所成二面角的正弦值為.18.焦點在x軸上的等軸雙曲線E，其頂點到漸近線的距離為，直線過點與雙曲線的左、右支分別交于點A、B（1）求雙曲線E的方程；（2）若，求直線AB的斜率；（3）若點B關于原點的對稱點C在第三象限，且，求直線AB斜率的取值范圍．解：（1）設等軸雙曲線的方程為，其漸近線方程為，故，解得，所以雙曲線E方程為.（2）由題意，過點的直線斜率存在且不為0，可設其方程為，設，由，得，聯立，整理得，由韋達定理得：，，聯立解得，經驗證均滿足題意，所以直線的斜率為.（3）點在第三象限，如圖所示，故直線的斜率是正數，由，得，所以，則，則，由，得，所以，則，又因為直線交兩支兩點，故直線的斜率，所以.19.北海艦隊開放日活動中，隨機抽取了200名學生參加繩子打結計時的趣味性比賽，并對學生性別與繩子打結速度快慢的相關性進行分析，得到數據如下表：性別繩子打結速度合計快慢男生45女生3590合計（1）完成列聯表，并根據小概率值的獨立性檢驗，判斷繩子打結速度快慢是否與學生性別有關聯，并說明理由；（2）現有根繩子，共有2n個繩頭，每個繩頭只打一次結，且每個結僅含兩個繩頭，所有繩頭打結完畢視為結束．（i）現在有4根繩子，求恰好能圍成兩個圈的概率；（ii）這n根繩子恰好能圍成一個圈的不同的連接方法數為，求．附：0.050.010.0013.841663510.828解：（1）女生打結慢有人，男生總計人，男生打結快共，補充列聯表性別繩子打結速度合計快慢男生6545110女生355590合計100100200零假設：繩子打結速度快慢與學生性別無關聯，，根據小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為繩子打結速度快慢與學生性別有關聯，此推斷犯錯誤的概率不大于0.01．（2）（i）4根繩子所有的打結方式共有種，圍成2圈的情況共有種，恰好能圍成兩個圈的概率.（ii），，，當時，也適合上式，，，①②，①②整理得，，.黑龍江省齊齊哈爾市2025屆高考二模數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，若，則（）A0 B. C.1 D.0或1【答案】C【解析】因為集合，，，所以，所以或，若，則，此時，滿足題意；若，則，此時集合不滿足集合元素的互異性，舍去．綜上，．故選：C．2.已知復數z滿足，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】已知，則.得到：，則.

所以.

可得：.根據復數的模的計算公式：則.

故選：D.3.在三棱柱中，設，，，為的中點，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】連接，如圖，因為為的中點，所以．故選：C．4.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵，解得，∴.故選：A．5.直線經過橢圓的兩個頂點，則該橢圓的離心率（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為直線，令，則，所以，令，則，所以，又因為，所以，則該橢圓的離心率.故選：B.6.函數在上單調遞增的必要不充分條件為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意，函數的定義域為.由在上單調遞增，得在上恒成立.則，解得.A是充分不必要條件，B是充分必要條件，C是不充分不必要條件，D是必要不充分條件，故選：D.7.已知，，，則（）A.0.2 B.0.375 C.0.75 D.0.8【答案】A【解析】因為，所以，解得.故選：A.8.已知正三棱臺的上底面邊長為，高為，體積為，則該正三棱臺的外接球表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設正三棱臺的下底面邊長為，則其下底面積為，上底面面積為，所以，該三棱臺的體積為，整理可得，因為，解得，如下圖，設正三棱臺的上、下底面的中心分別為、，由正三棱臺的幾何性質可知，外接球球心在直線上，正的外接圓半徑為，正的外接圓半徑為，設，若球心在線段上，則，設球的半徑為，則，即，解得，不合乎題意；所以，球心在射線上，則，，即，解得.所以，，故該正三棱臺的外接球表面積為.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.A、B是函數與直線的兩個交點，則下列說法正確的是（）A.B.的定義域為C.的對稱中心為D.在區間上單調遞增【答案】AC【解析】的最小正周期，則，故A正確；由，得，所以的定義域為，故B錯誤；由，解得，所以對稱中心為，故C正確；當時，得，從而無意義，因此區間不可能是的單調遞增區間，故D錯誤，故選：AC.10.函數的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】的定義域為，排除C；對求導可得，.

當時，，.所以在上單調遞增，且函數圖象從右側開始上升，B選項滿足.

當時，在上，，，所以，這表明函數在上單調遞增，，A選項滿足.

當時，.令，對求導得，在上，，所以在上單調遞增.又，當時，，所以存在，使得，即.當時，，，單調遞減；當時，，，單調遞增，D選項滿足.故選：ABD.11.已知O為坐標原點，經過點的直線與拋物線交于、兩點，直線：是線段AB的垂直平分線，且與的交點為，則下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，，則C. D.【答案】BC【解析】根據題意可知直線的斜率存在且不為0，設直線的方程為，，與拋物線方程聯立，可得，∴，，∴，，對于A，若，則，故A錯誤；對于B，若，由題意，則，得，∴直線的方程為，，∵，原點到直線距離，∴，故B正確；對于C，由題意為線段的中點，則，即，又，點在直線上，則，故C正確；對于D，由，得，則，∴由得，又，解得，故D錯誤，故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在的展開式中，的系數為______．【答案】【解析】因為其中展開式的通項為（），所以的展開式中的系數為.故答案為：13.已知函數，則不等式的解集為______．【答案】【解析】的定義域為，∵，∴函數是上的增函數，∵，∴函數是奇函數，∴由得，∴，∴不等式的解集為．故答案為：．14.南宋數學家楊輝在《詳析九章算法》中提出了一階等差數列的問題，即一個數列本身不是等差數列，但從數列中的第二項開始，每一項與前一項的差構成等差數列，則稱數列為一階等差數列．類比一階等差數列的定義，我們亦可定義一階等比數列．設數列：1，1，2，8，64，…是一階等比數列，則______；______．【答案】①.32②.【解析】由題意，設數列：1，1，2，8，64，…是一階等比數列，設，所以為等比數列，其中，公比為，所以，則．則，所以，所以．故答案為：32；．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖：四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，已知，，，且（1）求BO的長；（2）若，求的值．解：（1）設，，所以，，在中，，在中，，因為，解得，所以BO的長為；（2）由（1）知，設,，，在中，，在中，，所以，若，則與全等，所以，所以，所以，不成立，所以所以，因為，所以，所以，所以，所以的值為.16.已知函數（1）求函數的單調區間；（2）若恒成立，求的取值范圍.解：（1）的定義域為，，，當時，，則在上單調遞增；當時，當時，，當時，，則單調遞增；當時，，則單調遞減，綜上，當時，的單調遞增區間為，無單調遞減區間；當時，的單調遞增區間為；的單調遞減區間為.（2）若恒成立，即恒成立，則恒成立，設，，∵，∴，當時，，則在上單調遞增，當時，，所以不合題意；當時，當時，，當時，，則單調遞增；當時，，則單調遞減，則的最大值為，則，令，，，則在上單調遞增，又，∴由，得，∴且，∴.17.已知三棱臺（圖2）的平面展開圖（圖1）中，和均為邊長為2的等邊三角形，B、C分別為AE、AF的中點，，，在三棱臺ABC-DEF中（1）求證：；（2）求平面ABC與平面ACFD所成二面角的正弦值．（1）證明：取的中點，的中點，所以，所以，，，四點共線，因為，，所以，，又，所以平面，因為平面，所以；（2）解：延長交的延長線于點，由平面展開圖可得，所以，由余弦定理可得，過作交于，所以，又，所以，所以，，故過作交于，由（1）知，，故平面，如圖，建立空間直角坐標系，所以，，，，，，，，設平面的法向量為，平面的法向量為，由得，令，則，由得，令，則，所以，所以，所以平面ABC與平面ACFD所成二面角的正弦值為.18.焦點在x軸上的等軸雙曲線E，其頂點到漸近線的距離為，直線過點與雙曲線的左、右支分別交于點A、B（1）求雙曲線E的方程；（2）若，求直線AB的斜率；（3）若點B關于原