高級中學名校試題PAGEPAGE1廣東省江門市2025屆高三下學期高考模擬考試數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知i是虛數單位，復數，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，則.故選：D.2.已知一組數據的平均數為16，則這組數據的第60百分位數為（）A.17 B.16.5 C.16 D.15.5【答案】B【解析】由數據的平均數為16，得，解得，由，得數據的第60百分位數為.故選：B3.現有編號為的4個小球和4個盒子，把4個小球隨機放進4個盒子里，每個盒子裝1個小球，則恰好有2個小球與盒子的編號相同的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】把4個小球隨機放進4個盒子里，每個盒子裝1個小球的試驗的基本事件總數為，恰好有2個小球與盒子的編號相同的事件含有的基本事件數為，所以恰好有2個小球與盒子的編號相同的概率為.故選：A4.記為等比數列前項和．若，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設等比數列的公比為，由得，可得，所以，，所以，.故選：C.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，即，因此，所以.故選：B6.在矩形中，成等差數列，，則矩形的周長為（）A.10 B.12 C.14 D.16【答案】C【解析】因為，所以,故，又成等差數列，所以,即①,在矩形中，由②,將①式代入②式解得：或(舍去)，把結果代入①式得，故矩形的周長為,故選：C7.已知邊長為1的正方形繞邊所在直線為軸旋轉一周形成的面圍成一個圓柱，點和分別是圓柱上底面和下底面的動點，點是線段的中點，則三棱錐體積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意知，，三角形的面積為設點P到平面的高為h，又，要使三棱錐體積的最大，則需h最大，根據圖形可得，當，且時，h最大，最大為1，.故選：B8.在中，已知，是上的點，平分，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如下圖所示：因為平分，由角平分線的性質可知點到邊、的距離相等，因為，設，則，由可得，可得，在中，由余弦定理可得，故，由正弦定理可得，所以，，易知為銳角，則，所以，.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知（常數）的展開式中第5項與第7項的二項式系數相等，則（）A.B.展開式中奇數項的二項式系數的和為256C.展開式中的系數為D.若展開式中各項系數的和為1024，則第6項的系數最大【答案】ACD【解析】由，則其展開式的通項為，對于A，根據題意可得，由組合數的性質可知，故A正確；對于B，由，則展開式中奇數項的二項式系數之和為，故B錯誤；對于C，由解得，則展開式中的系數為，故C正確；對于D，令，則展開式中各項系數之和，解得，可得展開式的通項為，即每項系數均為該項的二項式系數，易知展開式中第項為二項式的中間項，則其系數最大，故D正確.故選：ACD.10.已知曲線，則（）A.曲線關于軸對稱B.曲線圍成圖形的面積為C.曲線上的點到點的距離最大值為D.若點是曲線上的點，則的最大值為1【答案】AD【解析】對于A，令是曲線上的任意一點，即，則成立，即點在曲線上，因此曲線關于軸對稱，A正確；當時，，即，是以為圓心，2為半徑的圓在直線及上方的半圓，當時，，即，是以為圓心，為半徑的圓在直線及下方部分，對于B，曲線在直線及上方的半圓面積為，B錯誤；對于C，曲線在直線及下方部分上的點與點的距離最大值為，C錯誤；對于D，表示曲線上的點與點確定直線斜率的，觀察圖形知，當過點的直線與曲線在軸下方部分相切時，直線斜率最大，設此切線方程為，則，解得，所以的最大值為1，D正確.故選：AD11.已知函數，其中，則（）A.函數是周期函數B.當時，函數的值域為C.當時，是函數圖象的對稱軸D.當時，函數在上有零點【答案】ABD【解析】對于A，依題意，，由，，得，因此函數是周期函數，A正確；對于B，，而，則當時，，當時，，B正確；對于C，，當時，，則函數圖象關于點成中心對稱，關于不對稱，C錯誤；對于D，，，，又函數在R上的圖象連續不斷，因此函數在上有零點，D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.曲線C：在點M（1，e）處的切線方程為_____________．【答案】【解析】因為，所以切線斜率為，切線方程為，13.已知是第三象限角，則曲線的離心率的取值范圍為________．（用區間表示）【答案】【解析】因為是第三象限角，則，曲線的方程可化為，曲線為雙曲線，且，，所以，雙曲線的離心率為.故答案為：.14.在某平臺開展闖關贏獎品活動中，用戶每次進入新的一關都有一次抽獎機會．已知用戶在第一關抽到獎品的概率為．從第二關開始，若前一關沒抽到獎品，則這一關抽到獎品的概率為；若前一關抽到獎品，則這一關抽到獎品的概率為．記用戶第關抽到獎品的概率為，則的最大值為________．【答案】【解析】依題意，，記用戶第關抽到獎品為事件，當時，，，，，于是，則，而，因此數列是以為首項，為公比的等比數列，則，即，當為奇數時，，則；當為偶數時，，數列是遞減數列，，所以的最大值為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.東湖公園統計連續天入園參觀的人數（單位：千人）如下：日期月日月日月日月日月日第天4參觀人數（1）建立關于的回歸直線方程，預測第天入園參觀人數；（2）東湖公園只開放南門、北門供游客出入，游客從南門、北門入園的概率相同，且從同一個門出園的概率為，從不同一個門出園的概率為．假設游客從南門、北門出入公園互不影響，如果甲、乙兩名游客從南門出園，求他們從同一個門入園的概率．附：參考數據：，，，．解：（1）參考公式：回歸直線方程，其中，．由最小二乘法公式可得，則，所以，關于的回歸直線方程為，當時，，因此，預測第天入園參觀人數約為千人.（2）記事件甲、乙兩名游客從南門出園，事件甲、乙兩名游客從同一個門入園，則，如果甲、乙都從南門入園，且都從南門出園，其概率為，如果甲、乙都從北門入園，且都從南門出園，其概率為，如果甲從南門入園，乙從北門入園，且都從南門出園，其概率為，如果甲從北門入園，乙從南門入園，且都從南門出園，其概率為，，由條件概率公式可得.因此，如果甲、乙兩名游客從南門出園，則他們從同一個門入園的概率為.16.如圖，在斜棱柱中，底面為菱形，，．（1）證明：；（2）若，求的長度．（1）證明：過點作平面，垂足為，連接，如下圖：因為，，，所以，則，因為平面，平面，所以，因為，所以，則，可得點在線段的中垂線上，即，所以共面，易知，因為，平面，所以平面，因為平面，所以.（2）解：連接，記，連接，如下圖：在中，由，且，則，由（1）可知平面，因平面，所以平面平面，因為平面平面，所以平面，在中，，，則，易知，則，所以底面為正方形，由，則.17.已知函數．（1）當時，討論函數的單調性；（2）當時，求函數的極值．解：（1）由，則函數，易知其定義域為，由，則函數為偶函數，當時，，顯然當時，函數在上單調遞增，當時，求導可得，令，解得，當時，，當時，，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，綜上，當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增；當時，函數在與上單調遞增，在與上單調遞減.（2）由時，則函數，可得，解得或，所以函數的定義域為，由（1）易知函數為偶函數，當時，則函數，當時，函數上單調遞增，此時無極值；當時，求導可得，令，解得，當時，，當時，，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，故函數的極大值為，由函數為偶函數，則函數的極大值為，綜上，當時，函數無極值；當時，函數的極大值為，無極小值.18.已知橢圓的焦距為，以橢圓短軸一個端點和兩個焦點為頂點的三角形是直角三角形，過點的直線分別交橢圓于點，點始終在第一象限且與點關于軸對稱，直線分別交軸于點．（1）求橢圓的方程；（2）求點的坐標；（3）證明：．（1）解：由橢圓短軸一個端點和兩個焦點為頂點的三角形是直角三角形，得，則，所以橢圓的方程為.（2）解：設直線方程為，，，由點在第一象限且與點關于軸對稱，得直線關于軸對稱，，由消去得，則，，直線方程為，令，得，所以點.（3）證明：由（2）知，，，由，得，因此，所以.19.意大利畫家達·芬奇提出：固定項鏈的兩端，在重力的作用下自然下垂，那么項鏈所形成的曲線是懸鏈線．在17世紀，惠更斯、萊布尼茨、約翰·伯努利等得到懸鏈線方程是，其中c為參數．當時，該方程就是雙曲余弦函數．相應地就有雙曲正弦函數．已知三角函數的三個關系式：①平方關系：；②二倍角關系：；③導數關系：（1）類比關系式①②③，寫出和之間的三種關系式（不需要證明）；（2）當時，不等式恒成立，求的取值范圍；（3）設無窮數列滿足，是否存在實數，使得？若存在，求的值；若不存在，說明理由．解：（1）雙曲函數關系式①平方關系：；②二倍角關系：；③導數關系：，.證明如下（不需要寫出）：因為，，所以；因為，，所以；，（2）因為，所以，所以，，當時，設，若，則存在足夠小的使得矛盾，所以，因為，觀察，令，，當且僅當時等號成立，所以在時單調遞增，因為，所以對成立，即，所以滿足題意，所以；（3）因為與遞推式形式一致，所以假設，其中為待定參數，因為符合遞推關系，所以，因為，所以，因為，得，令，方程變為，解得或，所以或，所以或，因為是偶函數，所以不妨設，所以，，所以廣東省江門市2025屆高三下學期高考模擬考試數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知i是虛數單位，復數，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，則.故選：D.2.已知一組數據的平均數為16，則這組數據的第60百分位數為（）A.17 B.16.5 C.16 D.15.5【答案】B【解析】由數據的平均數為16，得，解得，由，得數據的第60百分位數為.故選：B3.現有編號為的4個小球和4個盒子，把4個小球隨機放進4個盒子里，每個盒子裝1個小球，則恰好有2個小球與盒子的編號相同的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】把4個小球隨機放進4個盒子里，每個盒子裝1個小球的試驗的基本事件總數為，恰好有2個小球與盒子的編號相同的事件含有的基本事件數為，所以恰好有2個小球與盒子的編號相同的概率為.故選：A4.記為等比數列前項和．若，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設等比數列的公比為，由得，可得，所以，，所以，.故選：C.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，即，因此，所以.故選：B6.在矩形中，成等差數列，，則矩形的周長為（）A.10 B.12 C.14 D.16【答案】C【解析】因為，所以,故，又成等差數列，所以,即①,在矩形中，由②,將①式代入②式解得：或(舍去)，把結果代入①式得，故矩形的周長為,故選：C7.已知邊長為1的正方形繞邊所在直線為軸旋轉一周形成的面圍成一個圓柱，點和分別是圓柱上底面和下底面的動點，點是線段的中點，則三棱錐體積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意知，，三角形的面積為設點P到平面的高為h，又，要使三棱錐體積的最大，則需h最大，根據圖形可得，當，且時，h最大，最大為1，.故選：B8.在中，已知，是上的點，平分，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如下圖所示：因為平分，由角平分線的性質可知點到邊、的距離相等，因為，設，則，由可得，可得，在中，由余弦定理可得，故，由正弦定理可得，所以，，易知為銳角，則，所以，.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知（常數）的展開式中第5項與第7項的二項式系數相等，則（）A.B.展開式中奇數項的二項式系數的和為256C.展開式中的系數為D.若展開式中各項系數的和為1024，則第6項的系數最大【答案】ACD【解析】由，則其展開式的通項為，對于A，根據題意可得，由組合數的性質可知，故A正確；對于B，由，則展開式中奇數項的二項式系數之和為，故B錯誤；對于C，由解得，則展開式中的系數為，故C正確；對于D，令，則展開式中各項系數之和，解得，可得展開式的通項為，即每項系數均為該項的二項式系數，易知展開式中第項為二項式的中間項，則其系數最大，故D正確.故選：ACD.10.已知曲線，則（）A.曲線關于軸對稱B.曲線圍成圖形的面積為C.曲線上的點到點的距離最大值為D.若點是曲線上的點，則的最大值為1【答案】AD【解析】對于A，令是曲線上的任意一點，即，則成立，即點在曲線上，因此曲線關于軸對稱，A正確；當時，，即，是以為圓心，2為半徑的圓在直線及上方的半圓，當時，，即，是以為圓心，為半徑的圓在直線及下方部分，對于B，曲線在直線及上方的半圓面積為，B錯誤；對于C，曲線在直線及下方部分上的點與點的距離最大值為，C錯誤；對于D，表示曲線上的點與點確定直線斜率的，觀察圖形知，當過點的直線與曲線在軸下方部分相切時，直線斜率最大，設此切線方程為，則，解得，所以的最大值為1，D正確.故選：AD11.已知函數，其中，則（）A.函數是周期函數B.當時，函數的值域為C.當時，是函數圖象的對稱軸D.當時，函數在上有零點【答案】ABD【解析】對于A，依題意，，由，，得，因此函數是周期函數，A正確；對于B，，而，則當時，，當時，，B正確；對于C，，當時，，則函數圖象關于點成中心對稱，關于不對稱，C錯誤；對于D，，，，又函數在R上的圖象連續不斷，因此函數在上有零點，D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.曲線C：在點M（1，e）處的切線方程為_____________．【答案】【解析】因為，所以切線斜率為，切線方程為，13.已知是第三象限角，則曲線的離心率的取值范圍為________．（用區間表示）【答案】【解析】因為是第三象限角，則，曲線的方程可化為，曲線為雙曲線，且，，所以，雙曲線的離心率為.故答案為：.14.在某平臺開展闖關贏獎品活動中，用戶每次進入新的一關都有一次抽獎機會．已知用戶在第一關抽到獎品的概率為．從第二關開始，若前一關沒抽到獎品，則這一關抽到獎品的概率為；若前一關抽到獎品，則這一關抽到獎品的概率為．記用戶第關抽到獎品的概率為，則的最大值為________．【答案】【解析】依題意，，記用戶第關抽到獎品為事件，當時，，，，，于是，則，而，因此數列是以為首項，為公比的等比數列，則，即，當為奇數時，，則；當為偶數時，，數列是遞減數列，，所以的最大值為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.東湖公園統計連續天入園參觀的人數（單位：千人）如下：日期月日月日月日月日月日第天4參觀人數（1）建立關于的回歸直線方程，預測第天入園參觀人數；（2）東湖公園只開放南門、北門供游客出入，游客從南門、北門入園的概率相同，且從同一個門出園的概率為，從不同一個門出園的概率為．假設游客從南門、北門出入公園互不影響，如果甲、乙兩名游客從南門出園，求他們從同一個門入園的概率．附：參考數據：，，，．解：（1）參考公式：回歸直線方程，其中，．由最小二乘法公式可得，則，所以，關于的回歸直線方程為，當時，，因此，預測第天入園參觀人數約為千人.（2）記事件甲、乙兩名游客從南門出園，事件甲、乙兩名游客從同一個門入園，則，如果甲、乙都從南門入園，且都從南門出園，其概率為，如果甲、乙都從北門入園，且都從南門出園，其概率為，如果甲從南門入園，乙從北門入園，且都從南門出園，其概率為，如果甲從北門入園，乙從南門入園，且都從南門出園，其概率為，，由條件概率公式可得.因此，如果甲、乙兩名游客從南門出園，則他們從同一個門入園的概率為.16.如圖，在斜棱柱中，底面為菱形，，．（1）證明：；（2）若，求的長度．（1）證明：過點作平面，垂足為，連接，如下圖：因為，，，所以，則，因為平面，平面，所以，因為，所以，則，可得點在線段的中垂線上，即，所以共面，易知，因為，平面，所以平面，因為平面，所以.（2）解：連接，記，連接，如下圖：在中，由，且，則，由（1）可知平面，因平面，所以平面平面，因為平面平面，所以平面，在中，，，則，易知，則，所以底面為正方形，由，則.17.已知函數．（1）當時，討論函數的單調性；（2）當時，求函數的極值．解：（1）由，則函數，易知其定義域為，由，則函數為偶函數，當時，，顯然當時，函數在上單調遞增，當時，求導可得，令，解得，當時，，當時，，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，綜上，當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增；當時，函數在與上單調遞增，在與上單調遞減.（2）由時，則函數，可得，解得或，所以函數的定義域為，由（1）易知函數為偶函數，當時，則函數，當時，函數上單調遞增，此時無極值；