牡丹江市重點中學2025屆數學八下期末復習檢測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．如圖，是正內一點，，，，將線段以點為旋轉中心逆時針旋轉得到線段，下列結論：①可以由繞點逆時針旋轉得到；②點與點的距離為8；③；④；其中正確的結論是（）A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②2．如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，已知AD=5，BD=8，AC=6，則△OBC的面積為（）A．5 B．6 C．8 D．123．如圖，?ABCD的對角線AC、BD交于點O，點E是AD的中點，△BCD的周長為18，則△DEO的周長是（）A．18 B．10 C．9 D．84．對于一組統計數據1，1，6，5，1．下列說法錯誤的是（）A．眾數是1 B．平均數是4 C．方差是1.6 D．中位數是65．如圖，在四邊形中，與相交于點，,那么下列條件中不能判定四邊形是菱形的為（）A．∠OAB=∠OBA B．∠OBA=∠OBC C．AD∥BC D．AD=BC6．如圖，過對角線的交點，交于，交于，若的周長為36，，則四邊形的周長為（）A．24 B．26 C．28 D．207．正方形的一條對角線之長為4,則此正方形的面積是()A．16 B．4 C．8 D．88．如圖，?ABCD的對角線AC，BD交于點O，E為AB的中點，連結OE，若AC=12，△OAE的周長為15，則?ABCD的周長為（）A．18 B．27 C．36 D．429．如圖所示，一次函數y1=kx+4與y2=x+b的圖象交于點A．則下列結論中錯誤的是（）A．K＜0，b＞0 B．2k+4=2+bC．y1=kx+4的圖象與y軸交于點（0，4） D．當x＜2時，y1＞y210．如圖，?ABCD的周長為36，對角線AC、BD相交于點O，點E是CD的中點，BD=12，則△DOE的周長為（）A．15 B．18 C．21 D．24二、填空題(每小題3分,共24分)11．甲、乙兩班舉行電腦漢字輸入速度比賽，參賽學生每分鐘輸入漢字的個數經統計計算后結果如下表：班級參加人數中位數方差平均數甲55149191135乙55151110135某同學根據上表分析得出如下結論：（l）甲、乙兩班學生成績的平均水平相同；（2）乙班優秀（每分鐘輸入漢字超過150個為優秀）的人數多于甲班優秀的人數；（3）甲班的成績波動比乙班的成績波動小、上述結論中正確的是______.（填序號）12．使在實數范圍有意義，則x的取值范圍是_________．13．如圖所示，點A（﹣3，4）在一次函數y＝﹣3x+b的圖象上，該一次函數的圖象與y軸的交點為B，那么△AOB的面積為_____．14．一次函數y＝kx+b(k，b是常數，k≠0)圖象如圖所示，則不等式kx+b＞0的解集是_____．15．如圖,菱形ABCD的對角線長分別為a、b,以菱形ABCD各邊的中點為頂點作矩形,然后再以矩形的中點為頂點作菱形,……，如此下去,得到四邊形A2019B2019C2019D2019的面積用含a,b的代數式表示為___.16．如圖，與穿過正六邊形，且，則的度數為______.17．分式方程有增根，則的值為__________。18．外角和與內角和相等的平面多邊形是_______________．三、解答題(共66分)19．（10分）(1)解不等式;并把解集表示在數軸上(2)解方程:20．（6分）已知x、y滿足方程組，求代數式的值．21．（6分）某種商品的定價為每件20元，商場為了促銷，決定如果購買5件以上，則超過5件的部分打7折．（1）求購買這種商品的貨款y（元）與購買數量x（件）之間的函數關系；（2）當x=3，x=6時，貨款分別為多少元？22．（8分）如圖，在中，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作，AF與CE的延長線相交于點F，連接BF．（1）求證：四邊形AFBD是平行四邊形；（2）①若四邊形AFBD是矩形，則必須滿足條件_________；②若四邊形AFBD是菱形，則必須滿足條件_________.23．（8分）在研究反比例函數y＝﹣的圖象時，我們發現有如下性質：(1)y＝﹣的圖象是中心對稱圖形，對稱中心是原點．(2)y＝﹣的圖象是軸對稱圖形，對稱軸是直線y＝x，y＝﹣x．(3)在x＜0與x＞0兩個范圍內，y隨x增大而增大；類似地，我們研究形如：y＝﹣+3的函數：(1)函數y＝﹣+3圖象是由反比例函數y＝﹣圖象向____平移______個單位，再向_______平移______個單位得到的．(2)y＝﹣+3的圖象是中心對稱圖形，對稱中心是______．(3)該函數圖象是軸對稱圖形嗎？如果是，請求出它的對稱軸，如果不是，請說明理由．(4)對于函數y＝，x在哪些范圍內，y隨x的增大而增大？24．（8分）如圖1，為坐標原點，矩形的頂點，，將矩形繞點按順時針方向旋轉一定的角度得到矩形，此時邊、直線分別與直線交于點、．（1）連接，在旋轉過程中，當時，求點坐標．（2）連接，當時，若為線段中點，求的面積．（3）如圖2，連接，以為斜邊向上作等腰直角，請直接寫出在旋轉過程中的最小值．25．（10分）菱形ABCD中，∠BAD＝60°，BD是對角線，點E、F分別是邊AB、AD上兩個點，且滿足AE＝DF，連接BF與DE相交于點G．（1）如圖1，求∠BGD的度數；（2）如圖2，作CH⊥BG于H點，求證：2GH＝GB+DG；（3）在滿足（2）的條件下，且點H在菱形內部，若GB＝6，CH＝4，求菱形ABCD的面積．26．（10分）已知正方形與正方形（點C、E、F、G按順時針排列），是的中點，連接，.（1）如圖1，點在上，點在的延長線上，求證：=ME，⊥.ME簡析：由是的中點，AD∥EF，不妨延長EM交AD于點N，從而構造出一對全等的三角形，即≌.由全等三角形性質，易證△DNE是三角形,進而得出結論.（2）如圖2，在的延長線上，點在上，（1）中結論是否成立？若成立,請證明你的結論；若不成立，請說明理由.（3）當AB=5，CE=3時，正方形的頂點C、E、F、G按順時針排列.若點在直線CD上，則DM=;若點E在直線BC上，則DM=.

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、A【解析】

連接OO′，如圖，先利用旋轉的性質得BO′=BO=8，∠OBO′=60°，再利用△ABC為等邊三角形得到BA=BC，∠ABC=60°，則根據旋轉的定義可判斷△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉60°得到；接著證明△BOO′為等邊三角形得到∠BOO′=60°，OO′=OB=8；根據旋轉的性質得到AO′=OC=10，利用勾股定理的逆定理證明△AOO′為直角三角形，∠AOO′=90°，于是得到∠AOB=150°；最后利用S四邊形AOBO′=S△AOO′+S△BOO′可計算出S四邊形AOBO′即可判斷．【詳解】連接OO′，如圖，

∵線段BO以點B為旋轉中心逆時針旋轉60°得到線段BO′，

∴BO′=BO=8，∠OBO′=60°，

∵△ABC為等邊三角形，

∴BA=BC，∠ABC=60°，

∴△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉60°得到，則①正確；

∵△BOO′為等邊三角形，

∴OO′=OB=8，所以②正確；

∵△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉60°得到，

∴AO′=OC=10，

在△AOO′中，∵OA=6，OO′=8，AO′=10，

∴OA2+OO′2=AO′2，

∴△AOO′為直角三角形，∠AOO′=90°，

∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，所以③正確；，故④錯誤，故選：A.【點睛】本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等；對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角．也考查了等邊三角形的判定與性質以及勾股定理的逆定理．2、B【解析】

由平行四邊形的性質得出BC=AD=5，OA＝OC＝AC＝3，OB＝OD＝BD＝4，再由勾股定理逆定理證得△OBC是直角三角形，繼而由直角三角形面積公式即可求出ΔOBC的面積．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AD=5，BD=8，AC=6，∴BC=AD=5，OA＝OC＝AC＝3，OB＝OD＝BD＝4，∵∴△OBC是直角三角形，∴．故選：B．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質和勾股定理逆定理，平行四邊形基本性質：①平行四邊形兩組對邊分別平行；②平行四邊形的兩組對邊分別相等；③平行四邊形的兩組對角分別相等；④平行四邊形的對角線互相平分,解題的關鍵是證明△OBC是直角三角形．3、C【解析】

首先判斷OE是△ACD的中位線，再由O,E分別為AC，AD的中點,得出，DE=AD=BC，DO=BD，AO=CO，再由△BCD的周長為18，可得OE+OD+ED=9，這樣即可求出△DEO的周長．【詳解】解：∵E為AD中點，四邊形ABCD是平行四邊形，∴DE=AD=BC，DO=BD，AO=CO，∴OE=CD，∵△BCD的周長為18，∴BD+DC+BC=18，∴△DEO的周長是DE+OE+DO=（BC+DC+BD）=×18=9，故選：C．【點睛】考核知識點：本題考查了平行四邊形的性質及三角形的中位線定理，解答本題注意掌握中位線的性質及平行四邊形對邊相等、對角線互相平分的性質．4、D【解析】

根據中位數、眾數、方差等的概念計算即可得解.【詳解】A、這組數據中1都出現了1次，出現的次數最多，所以這組數據的眾數為1，此選項正確；B、由平均數公式求得這組數據的平均數為4，故此選項正確；C、S2=[（1﹣4）2+（1﹣4）2+（6﹣4）2+（5﹣4）2+（1﹣4）2]=1.6，故此選項正確；D、將這組數據按從大到校的順序排列，第1個數是1，故中位數為1，故此選項錯誤；故選D．考點：1.眾數；2.平均數；1.方差；4.中位數.5、A【解析】

根據菱形的判定方法有三種：①定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；②四邊相等；③對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，據此判斷即可.【詳解】A.∵AC⊥BD,BO=DO,∴AC是BD的垂直平分線，∴AB=AD，CD=BC，∴∠ABD=∠ADB，∠CBD=∠CDB，∵∠OAB=∠OBA，∴∠OAB=∠OBA=45°，∵OC與OA的關系不確定，∴無法證明四邊形ABCD的形狀，故此選項正確；B.∵AC⊥BD，BO=DO，∴AC是BD的垂直平分線，∴AB=AD，CD=BC，∴∠ABD=∠ADA，∠CBD=∠CDB，∵∠OBA=∠OBC，∴∠ABD=∠ADB=∠CBD=∠CDB，BD=BD，∴△ABD≌△CBD，∴AB=BC=AD=CD，∴四邊形ABCD是菱形，故此選項錯誤；C.∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∵∠AOD=∠BOC，BO=DO，∴△AOD≌△BOC，∴AB=BC=CD=AD，∴四邊形ABCD是菱形，故此選項錯誤；D.∵AD=BC，BO=DO，∠BOC=∠AOD=90°，∴△AOD≌△BOC，∴AB=BC=CD=AD，∴四邊形ABCD是菱形，故此選項錯誤.故選：A.【點睛】此題考查菱形的判定，解題關鍵在于掌握菱形的三種判定方法.6、A【解析】

根據平行四邊形的性質可求出AD+CD的值，易證△AOE≌△COF，所以AE=CF，OE=OF=3，根據CF+CD+ED+EF=AD+CD+EF即可求出答案．【詳解】在平行四邊形ABCD中，2（AB+BC）=36，∴AB+BC=18，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，AD∥BC∴∠AEF=∠CFE，在△AOE和△COF中∴△AOE≌△COF，∴AE=CF，OE=OF=3，∴EF=6∴AB+BF+FE+EA=AB+BF+CF+EF=AB+BC+EF=18+6=24故選：A．【點睛】本題考查平行四邊形的性質，解題的關鍵是熟練運用平行四邊形的性質，本題屬于中等題型．7、C【解析】

根據正方形的面積等于對角線乘積的一半列式計算即可得解．【詳解】∵正方形的一條對角線長為4，∴這個正方形的面積=×4×4=8，故選C．【點睛】本題考查了正方形的性質，熟記利用對角線求面積的方法是解題的關鍵．8、C【解析】

根據三角形的中位線定理可得OE=BC，由△OAE的周長為15可得AE+AO+EO=15，即可得AB+AC+BC=30，再由AC=12可得AB+BC=18，由此即可得?ABCD的周長.【詳解】∵AE=EB，AO=OC，∴OE=BC，∵AE+AO+EO=15，∴2AE+2AO+2OE=30，∴AB+AC+BC=30，∵AC=12，∴AB+BC=18，∴?ABCD的周長為18×2=1．故選C．【點睛】本題考查平行四邊形的性質、三角形的中位線定理等知識，解題的關鍵是會靈活運用所學知識解決問題．9、A【解析】

利用一次函數的性質結合函數的圖象逐項分析后即可確定正確的選項．【詳解】解：∵y1=kx+4在第一、二、四象限，y2=x+b的圖象交于y軸的負半軸，∴k＜0，b＜0故A錯誤；∵A點為兩直線的交點，∴2k+4=2+b，故B正確；當x=0時y1=kx+4=4，∴y1=kx+4的圖象與y軸交于點（0，4），故C正確；由函數圖象可知當x＜2時，直線y2的圖象在y1的下方，∴y1＞y2，故D正確；故選：A．【點睛】本題考查兩直線的交點問題，能夠從函數圖象中得出相應的信息是解題的關鍵．注意數形結合．10、A【解析】

此題涉及的知識點是平行四邊形的性質．根據平行四邊形的對邊相等和對角線互相平分可得，OB=OD，又因為E點是CD的中點，可得OE是△BCD的中位線，可得OE=BC，所以易求△DOE的周長．【詳解】解：∵?ABCD的周長為32，∴2（BC+CD）=32，則BC+CD=1．∵四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC，BD相交于點O，BD=12，∴OD=OB=BD=2．又∵點E是CD的中點，DE=CD，∴OE是△BCD的中位線，∴OE=BC，∴△DOE的周長=OD+OE+DE=BD+（BC+CD）=2+9=3，即△DOE的周長為3．故選A【點睛】此題重點考察學生對于平行四邊形的性質的理解，三角形的中位線，平行四邊形的對角對邊性質是解題的關鍵．二、填空題(每小題3分,共24分)11、（1），（2）.【解析】

平均水平的判斷主要分析平均數；優秀人數的判斷從中位數不同可以得到；波動大小比較方差的大小．【詳解】解：從表中可知，平均字數都是135，（1）正確；

甲班的中位數是149，乙班的中位數是151，比甲的多，而平均數都要為135，說明乙的優秀人數多于甲班的，（2）正確；

甲班的方差大于乙班的，則說明乙班的波動小，所以（3）錯誤．

（1）（2）正確．

故答案為：（1）(2).【點睛】本題考查了平均數，中位數，方差的意義．平均數平均數表示一組數據的平均程度．中位數是將一組數據從小到大（或從大到小）重新排列后，最中間的那個數（或最中間兩個數的平均數）；方差是用來衡量一組數據波動大小的量．12、x≥【解析】

根據:對于式子，a≥0,式子才有意義.【詳解】若在實數范圍內有意義，則3x-1≥0，解得x≥.故答案為x≥【點睛】本題考核知識點：二次根式的意義.解題關鍵點：理解二次根式的意義.13、【解析】

把點A（﹣3，4）代入y＝﹣3x+b求出點B的坐標，然后得到OB=5,利用A的坐標即可求出△AOB的面積.【詳解】解:∵點A（﹣3，4）在一次函數y＝﹣3x+b的圖象上，∴9+b=4，∴b=-5，∵一次函數圖象與y軸的交點的縱坐標就是一次函數的常數項上的數,∴點B的坐標為:（0，-5）,∴OB=5,而A（﹣3，4）,S△AOB=.故答案為:.【點睛】本題考查了一次函數圖像上點的坐標特征，一次函數與坐標軸的交點，以及三角形的面積，解決本題的關鍵是找到所求三角形面積的底邊以及底邊上的高的長度.14、x＞-2【解析】試題解析：根據圖象可知：當x＞-2時，一次函數y=kx+b的圖象在x軸的上方.即kx+b＞0.考點：一次函數與一元一次不等式.15、【解析】

根據三角形中位線定理，逐步得到小長方形的面積，得到規律即可求解.【詳解】∵菱形ABCD的對角線長分別為a、b，AC⊥BD，∴S四邊形ABCD=∵以菱形ABCD各邊的中點為頂點作矩形,根據中位線的性質可知S四邊形A1B1C1D1=S四邊形ABCD=…則S四邊形AnBnCnDn=S四邊形ABCD=故四邊形A2019B2019C2019D2019的面積用含a,b的代數式表示為.故填：.【點睛】此題主要考查特殊平行四邊形的性質，解題的關鍵是根據題意找到規律進行求解.16、【解析】

根據多邊形的內角和公式，求出每個內角的度數，延長EF交直線l1

于點M，利用平行線的性質把∠1搬到∠3處，利用三角形的外角計算出結果【詳解】延長EF交直線l1于點M，如圖所示∵ABCDEF是正六邊形∴∠AFE=∠A=120°∴∠MFA=60°∵11∥12∴∠1=∠3∵∠3=∠2+∠MFA∴∠1﹣∠2=∠MFA=60°故答案為：60°【點睛】此題主要考查了平行線的性質，關鍵是掌握兩直線平行、內錯角相等，同旁內角互補．17、3【解析】

方程兩邊都乘以最簡公分母（x-1）（x+1）把分式方程化為整式方程，再根據分式方程的增根是使最簡公分母等于0的未知數的值，求出增根，然后代入進行計算即可得解．【詳解】解：∵分式方程有增根，

∴x-1=0，x+1=0，

∴x1=1，x1=-1．

兩邊同時乘以（x-1）（x+1），原方程可化為x（x+1）-（x-1）（x+1）=m，

整理得，m=x+1，

當x=1時，m=1+1=3，

當x=-1時，m=-1+1=0，

當m=0時，方程為=0，

此時1=0，

即方程無解，

∴m=3時，分式方程有增根，

故答案為：m=3.【點睛】本題考查對分式方程的增根，解一元一次方程等知識點的理解和掌握，理解分式方程的增根的意義是解題關鍵．18、四邊形【解析】

設此多邊形是n邊形，根據多邊形內角與外角和定理建立方程求解．【詳解】設此多邊形是n邊形，由題意得：解得故答案為：四邊形．【點睛】本題考查多邊形內角和與外角和，熟記n邊形的內角和公式，外角和都是360°是解題的關鍵．三、解答題(共66分)19、（1）；（2）【解析】

(1)根據解一元一次不等式的步驟，先去分母，再去括號，移項合并，系數化為1即可;(2)通過去分母將分式方程化成整式方程，解出整式方程的根，檢驗根是否是原分式方程的根即可.【詳解】解:(1)去分母，得去括號，得.移項，得合并同類項，得.系數化為1,得在數軸上表示如下，(2)解:去分母，得解得經檢驗，是原方程的根.【點睛】本題考查了不等式的解法及分式方程的解法，解分式方程的基本思想是消元，注意解分式方程時一定要檢驗.20、【解析】

原式利用平方差公式，完全平方公式化簡，去括號合并得到最簡結果，求出方程組的解得到x與y的值，代入計算即可求出值．【詳解】原式=（x2-2xy+y2）-（x2-4y2）=x2-2xy+y2-x2+4y2=-2xy+5y2，方程組，①+②得：3x=-3，即x=-1，把x=-1代入①得：y=，則原式=.【點睛】此題考查了代數式求值，以及解二元一次方程組，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．21、(1)y=(2)114【解析】試題分析：（1）根據題目條件：如果購買5件以上，則超過5件的部分打7折即可得到y

（元）與購買數量x

（件）之間的函數關系；

（2）把x=3，x=6分別代入（1）中的函數關系式即可求出貸款數．試題解析：（1）根據商場的規定，當0＜x≤5時，y=20x，當x＞5時，y=20×5+（x﹣5）×20×0.7=100+14（x﹣5），所以，貨款y（元）與購買數量x（件）之間的函數關系是Y=（x是正整數）；（2）當x=3時，y=20×3=60（元）當x=6時，y=100+14×（6﹣5）=114（元）．22、（1）見解析；（2）①AB=AC；②∠BAC=90°【解析】

（1）先證明△AEF≌△DEC，得出AF=DC，再根據有一組對邊平行且相等證明四邊形AFBD是平行四邊形；（2））①當△ABC滿足條件AB=AC時，可得出∠BDA=90°，則四邊形AFBD是矩形；②當∠BAC=90°時，可得出AD=BD,則四邊形AFBD是菱形。【詳解】解：（1）∵E是AD中點∴AE=DE，

∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE，

∵∠AEF=∠DEC，∴△AEF≌△DEC∴AF=DC，

∵D是BC中點，∴BD=DC，∴AF=BD，

又∵AF∥BC，即AF∥BD，∴四邊形AFBD是平行四邊形；（2）①當△ABC滿足條件AB=AC時，四邊形AFBD是矩形；理由是：∵AB=AC，D是BC中點，∴AD⊥BC,∴∠BDA=90°∵四邊形AFBD是平行四邊形,∴四邊形AFBD是矩形.故答案為：AB=AC②當∠BAC=90°時，四邊形AFBD是菱形。理由是：∵∠BAC=90°，D是BC中點，∴AD=BC=BD,∵四邊形AFBD是平行四邊形,∴四邊形AFBD是菱形。故答案為：∠BAC=90°【點睛】本題主要考查平行四邊形、矩形、菱形的判定，熟練掌握判定定理是關鍵，基礎題要細心．23、（1）右，2，上，1；（2）(2，1)；（1）是軸對稱圖形，對稱軸是：y＝x+1和y＝﹣x+2；（4）x＜2或x＞2.【解析】

(1)根據圖象平移的法則即可解答;

(2)根據平移的方法,函數y＝﹣的中心原點平移后的點就是對稱中心;

(1)圖象平移后與原來的直線y=x和y=-x平行,并且經過對稱中心,利用待定系數法即可求解;

(4)把已知的函數y＝變形成的形式,類比反比例函數性質即可解答.【詳解】解：(1)函數y＝﹣+1圖象是由反比例函數y＝﹣圖象向右平移2個單位，再向上平移1個單位得到的．故答案為：右2上1．(2)y＝﹣+1的圖象是中心對稱圖形，對稱中心是(2，1)．故答案為：(2，1)．(1)該函數圖象是軸對稱圖形．∵y＝﹣的圖象是軸對稱圖形，對稱軸是直線y＝x，y＝﹣x．設y＝﹣+1對稱軸是y＝x+b，把(2，1)代入得：1＝2+b，∴b＝1，∴對稱軸是y＝x+1；設y＝﹣+1對稱軸是y＝﹣x+c，把(2，1)代入得：1＝﹣2+c，∴c＝2．∴對稱軸是y＝﹣x+2．故答案為：y＝x+1和y＝﹣x+2．(4)對于函數y＝，變形得：y＝＝＝，則其對稱中心是(2，)．則當x＜2或x＞2時y隨x的增大而增大．故答案為：x＜2或x＞2【點睛】本題考查了反比例函數的圖象與性質,以及待定系數法求函數的解析式,正確理解圖象平移的方法是關鍵.24、（1）P（﹣4，6）；（2）；（3）【解析】

（1）利用∠PAO＝∠POA得出PA＝PO，進而得出AE＝EO＝4，即可得出P點坐標；（2）首先得出Rt△OCQ≌Rt△OC'Q（HL），進而利用平行線的性質求出∠POQ＝∠PQO，即可得出BP＝PO，再利用勾股定理得出PQ的長，進而求出△OPQ的面積；（3）先構造一組手拉手的相似三角形，將CM的長轉化為，然后通過垂線段最短及全等三角形求解即可．【詳解】解：如圖1，過點P作PE⊥AO于點E，∵，∴AO＝8，∵∠PAO＝∠POA∴PA＝PO，∵PE⊥AO，∴AE＝EO＝4，∴P（﹣4，6）；（2）如圖2，在Rt△OCQ和Rt△OC'Q中，，∴Rt△OCQ≌Rt△OC'Q（HL），∴∠OQC＝∠OQC'，又∵OP∥C'Q，∵∠POQ＝∠OQC'，∴∠POQ＝∠PQO，∴PO＝PQ，∵點P為BQ的中點，∴BP＝QP，∴設BP＝OP＝x，在Rt△OPC中，OP2＝PC2＋OC2，∴x2＝（8﹣x）2＋62，解得：x＝．故S△OPQ＝×CO×PQ＝×6×＝．（3）如圖3，連接CM、AC，在AC的右側以AC為腰，∠ACG為直角作等腰直角三角形ACG，連接QG，∵△AMQ與△ACG為等腰直角三角形，∴，∠MAQ＝∠CAG＝45°，∴，∠MAC＝∠QAG∴△MAC∽△QAC，∴，∴，∵點Q在直線BC上，∴當GQ⊥BC時，GQ取得最小值，如圖3，作GH⊥BC，則GQ的最小值為線段GH的長，∵∠ACG＝∠B＝90°，∴∠ACB＋∠GCH＝∠ACB＋∠BAC＝90°，∴∠GCH＝∠BAC，又∵∠B＝∠GHC＝90°，AC＝CG，∴△ABC≌△CHG（AAS）∴GH＝BC＝8∴GQ的最小值為8，∴CM的最小值為．【點睛】此題主要考查了矩形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質、勾股定理、三角形面積求法等知識，正確得出PO＝PQ是解題關鍵，最后一小問需要構造相似三角形進行轉化，有點難度．25、（1）∠BGD＝120°；（2）見解析；（3）S四邊形ABCD＝26．【解析】

（1）只要證明△DAE≌△BDF，推出∠ADE=∠DBF，由∠EGB=∠GDB+∠GBD=∠GDB+∠ADE=60°，推出∠BGD=180°-∠BGE=120°；

（2）如圖3中，延長GE到M，使得GM=GB，連接BD、CG．由△MBD≌△GBC，推出DM=GC，∠M=∠CGB=60°，由CH⊥BG，推出∠GCH=30°，推出CG=2GH，由CG=DM=DG+GM=DG+GB，即可證明2GH=DG+GB；

（3）解直角三角形求出BC即可解決問題；【詳解】（1）解：如圖1﹣1中，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∵∠A＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∴AB＝DB，∠A＝∠FDB＝60°，在△DAE和△BDF中，，∴△DAE≌△BDF，∴∠ADE＝∠DBF，∵∠EGB＝∠GDB+∠GBD＝∠GDB+∠ADE＝60°，∴∠BGD＝180°﹣∠BGE＝120°．（2）證明：如圖1﹣2中，延長GE到M，使得GM＝GB，連接CG．∵∠MGB＝60°，GM＝GB，