2023-2024學(xué)年上海市浦東新區(qū)高考數(shù)學(xué)沖刺模擬試題（二模）一、填空題1．已知全集，集合，則___________.【正確答案】【分析】根據(jù)補(bǔ)集的定義計(jì)算.【詳解】根據(jù)補(bǔ)集的定義，當(dāng)全集，時(shí)，.故2．不等式的解集是___________【正確答案】【分析】根據(jù)分式不等式運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，等價(jià)于，等價(jià)于，解得，所以不等式的解集是.故答案為.3．在的二項(xiàng)展開式中，項(xiàng)的系數(shù)是______（結(jié)果用數(shù)值表示）．【正確答案】80【分析】由二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，直接求得答案.【詳解】由題意可得的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為：，，當(dāng)時(shí)，展開式中含有，故的系數(shù)為，故80.4．已知為第二象限角，為其終邊上一點(diǎn)，且，則x=___________.【正確答案】【分析】根據(jù)角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)結(jié)合余弦函數(shù)的定義列出方程，解方程即可.【詳解】∵，∴或，∴或，∵是第二象限角，∴（舍去）或（舍去）或.故答案為.5．已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則___________.【正確答案】【分析】利用復(fù)數(shù)的三角形式求解.【詳解】解：因?yàn)椋?，，所以，?．若實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為______．【正確答案】【分析】根據(jù)基本不等式可得．【詳解】，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等，故答案為．本題考查了基本不等式及其應(yīng)用屬基礎(chǔ)題．7．已知在上的數(shù)量投影為，其中點(diǎn)O為原點(diǎn)，則點(diǎn)B所在直線方程為___________【正確答案】【分析】設(shè)利用向量的數(shù)量積坐標(biāo)公式、模的公式化簡(jiǎn)即得解.【詳解】設(shè)，因?yàn)樵谏系臄?shù)量投影為，所以，化簡(jiǎn)得.所以點(diǎn)B所在直線方程為.故8．春天是鼻炎和感冒的高發(fā)期，某人在春季里鼻炎發(fā)作的概率是，感冒發(fā)作的概率是，鼻炎發(fā)作且感冒發(fā)作的概率是，則此人在鼻炎發(fā)作的條件下感冒的概率是______．【正確答案】/0.75【分析】根據(jù)條件概率的計(jì)算公式即可求解．【詳解】記事件＝“某人在春季里鼻炎發(fā)作”，事件＝“某人在春季里感冒發(fā)作”，由題意可知，此人在鼻炎發(fā)作的條件下感冒的概率為，故9．設(shè)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，其中．若，則________．【正確答案】/0.2【分析】根據(jù)函數(shù)周期性結(jié)合解析式可得，結(jié)合題意解得，代入求解．【詳解】∵是周期為2的函數(shù)∴，又∵，即，則∴故．10．已知邊長(zhǎng)為3的正的三個(gè)頂點(diǎn)都在球（為球心）的表面上，且與平面所成的角為，則球的體積為___________．【正確答案】【分析】先計(jì)算出正三角形外接圓半徑，再由與平面所成的角為求出球的半徑，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)正的外接圓圓心為，易知，在中，，即球的半徑，故球的體積為.故11．已知曲線，點(diǎn)，是曲線上任意兩個(gè)不同點(diǎn)，若，則稱，兩點(diǎn)心有靈犀，若，始終心有靈犀，則的最小值的正切值__________．【正確答案】【分析】根據(jù)解析式知曲線在、上分別為雙曲線、拋物線的一部分，確定雙曲線部分的漸近線、拋物線部分的切線，兩線傾斜角的差即為的最小值，應(yīng)用差角正切公式求其正切值.【詳解】在上，曲線方程為是雙曲線上支的一部分（），所以該部分漸近線為，在上，曲線方程為是拋物線的一部分，設(shè)過原點(diǎn)的直線且與拋物線相切，代入拋物線有，所以，故或（舍），所以切線為，如下圖示：令、傾斜角分別為且，則，由，要使最小，只需讓最小值，所以.故12．對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量和，定義，若平面向量、滿足，與的夾角，且和都在集合中，則___________【正確答案】【分析】由題意可設(shè)，，，，得，對(duì)，進(jìn)行賦值即可得出，的值，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】因?yàn)?，故．又由，則，，可設(shè)，，令，，且，又夾角，所以，對(duì)，進(jìn)行賦值即可得出，所以．故．二、單選題13．某班級(jí)有50名學(xué)生，期末考試數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布，已，則的學(xué)生人數(shù)為（

）A．5 B．10 C．20 D．30【正確答案】D【分析】由正態(tài)分布的對(duì)稱性求出，即可求出的學(xué)生人數(shù).【詳解】因?yàn)槠谀┛荚嚁?shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布，所以期末考試數(shù)學(xué)成績(jī)關(guān)于對(duì)稱，則，所以，所以的學(xué)生人數(shù)為：人.故選：D.14．將函數(shù)的圖像上的各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，再沿著軸向右平移個(gè)單位，得到的函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心可以是（

）A． B．C． D．【正確答案】A【分析】把函數(shù)的圖象變換后得到函數(shù)的圖象，故所得函數(shù)的對(duì)稱中心為，由此可得結(jié)果.【詳解】將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的倍，得函數(shù)的圖象，向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，令，可得，故所得函數(shù)的對(duì)稱中心為，令，可得函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，故選：A15．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算術(shù)》中提出了高階等差數(shù)列的問題，即一個(gè)數(shù)列本身不是等差數(shù)列，但從數(shù)列中的第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列（則稱數(shù)列為一階等差數(shù)列），或者仍舊不是等差數(shù)列，但從數(shù)列中的第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列（則稱數(shù)列為二階等差數(shù)列），依次類推，可以得到高階等差數(shù)列．類比高階等差數(shù)列的定義，我們亦可定義高階等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列是一階等比數(shù)列，則該數(shù)列的第項(xiàng)是（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】根據(jù)數(shù)列特征可知數(shù)列為等比數(shù)列，進(jìn)而得到，利用累乘法可求得，代入即可.【詳解】記數(shù)列為，設(shè)，則，，，，，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，，.故選：C.16．已知函數(shù)，設(shè)（）為實(shí)數(shù)，且．給出下列結(jié)論：①若，則；②若，則．其中正確的是（

）A．①與②均正確 B．①正確，②不正確C．①不正確，②正確 D．①與②均不正確【正確答案】A【分析】令，得到為遞增函數(shù)，且為奇函數(shù)，①中，不妨設(shè)，結(jié)合，利用直線的方程得到，進(jìn)而得到，可判斷①正確；②中，不妨設(shè)，得到點(diǎn)，利用直線的方程得到，進(jìn)而得到，可判定②正確.【詳解】令函數(shù)，可得函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，又由，即，所以函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，如圖（1）所示，①中，因?yàn)椋遥瑒t，不妨設(shè)，則點(diǎn)，此時(shí)直線的方程為，可得，則，可得，又由，所以，即，即，所以①正確；②中，若，不妨設(shè)，則，不妨設(shè)，則點(diǎn)，此時(shí)直線的方程為，可得，則，可得，又由，所以，即，即，所以②正確.故選：A.

方法點(diǎn)撥：令函數(shù)，得到函數(shù)為遞增函數(shù)，且為奇函數(shù)，求得點(diǎn)和，結(jié)合直線和的方程，得出不等式關(guān)系式是解答的關(guān)鍵.三、解答題17．如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，為的中點(diǎn)，，直線與平面所成的角為.(1)求四棱錐的體積；(2)求異面直線與所成的角的大小.【正確答案】(1)；(2)．【分析】（1）根據(jù)直線與平面所成的角可求出，從而得出，再根據(jù)四棱錐的體積公式即可解出；（2）取中點(diǎn)，連接，（或其補(bǔ)角）即為異面直線與所成的角，解三角形即可求出．【詳解】（1）因?yàn)榈酌妫灾本€與平面所成的角為，在中，，，所以，而，所以，因此四棱錐的體積．（2）如圖所示：取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，即有，所以（或其補(bǔ)角）即為異面直線與所成的角．在中，，，所以，，所以，即異面直線與所成的角為．18．記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知S9=－a5．（1）若a3=4，求{an}的通項(xiàng)公式；（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范圍．【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）首項(xiàng)設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，根據(jù)題的條件，建立關(guān)于和的方程組，求得和的值，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得結(jié)果；（2）根據(jù)題意有，根據(jù)，可知，根據(jù)，得到關(guān)于的不等式，從而求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，根據(jù)題意有，解答，所以，所以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）由條件，得，即，因?yàn)椋?，并且有，所以有，由得，整理得，因?yàn)?，所以有，即，解得，所以的取值范圍是：該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的求和公式，在解題的過程中，需要認(rèn)真分析題意，熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)是正確解題的關(guān)鍵.19．某學(xué)校最近考試頻繁，為了減輕同學(xué)們的學(xué)習(xí)壓力，班上決定進(jìn)行一次減壓游戲.班主任把8個(gè)小球(只是顏色不同)放入一個(gè)袋子里，其中白色球與黃色球各3個(gè)，紅色球與綠色球各1個(gè).現(xiàn)甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行摸球得分比賽，摸到白球每個(gè)記1分，黃球每個(gè)記2分，紅球每個(gè)記3分，綠球每個(gè)記4分，規(guī)定摸球人得分不低于8分為獲勝，否則為負(fù).并規(guī)定如下：①一個(gè)人摸球，另一人不摸球；②摸球的人摸出的球后不放回；③摸球的人先從袋子中摸出1球；若摸出的是綠色球，則再?gòu)拇永锩?個(gè)球；若摸出的不是綠色球，則再?gòu)拇永锩?個(gè)球，摸球人的得分為兩次摸出的球的記分之和.(1)若由甲摸球，如果甲先摸出了綠色球，求該局甲獲勝的概率；(2)若由乙摸球，如果乙先摸出了紅色球，求該局乙得分ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；【正確答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）如果甲先摸出了綠色球，則甲還可以再摸兩次，分摸到1個(gè)紅球和摸到兩個(gè)黃球兩種情況討論，結(jié)合古典概型及組合即可得解；（2）如果乙第一次摸出了紅色球，則可以再?gòu)拇忻?個(gè)球，寫出隨機(jī)變量的所有可能取值，分別求出求概率，即可得出分布列，再根據(jù)期望公式即可求出期望；【詳解】（1）記“甲第一次摸出了綠色球，甲獲勝”為事件，則.（2）如果乙第一次摸出紅球，則可以再?gòu)拇永锩?個(gè)小球，則得分情況有：6分，7分，8分，9分，10分，11分，，，，，，，所以的分布列為：67891011所以的數(shù)學(xué)期望.20．已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，過F的直線l交Γ于A，B兩點(diǎn)．(1)若直線l垂直于x軸，求線段AB的長(zhǎng)；(2)若直線l與x軸不重合，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值；(3)若橢圓Γ上存在點(diǎn)C使得|AC|＝|BC|，且的重心G在y軸上，求此時(shí)直線l的方程．【正確答案】(1)3(2)(3)直線l：或或【分析】（1）令，求出即可．（2）設(shè)直線l：，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和三角形面積公式表達(dá)出的面積即可．（3）分類討論直線l，與橢圓方程聯(lián)立，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出M的坐標(biāo)，再利用重心的性質(zhì)求出C的坐標(biāo)，代入橢圓即可求解．【詳解】（1）∵，令，則，∴，∴．（2）設(shè)直線l：，，聯(lián)立得，則，則，，，令，則，在上為增函數(shù)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，∴面積的最大值為．（3）當(dāng)直線l不與x軸重合時(shí)，設(shè)直線l：的中點(diǎn)為M，聯(lián)立得，則，則，∵的重心G在y軸上，∴∴，，∴直線CM：，代入橢圓得，或∴直線l：或當(dāng)直線l與x軸重合時(shí)，C點(diǎn)在橢圓的上，下頂點(diǎn)，滿足題意，此時(shí)l：，綜上，直線l：或或21．已知函數(shù)，，令．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；(2)當(dāng)為正數(shù)且時(shí)，，求的最小值；(3)若對(duì)一切都成立，求的取值范圍．【正確答案】(1)(2)1(3)【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算，的值，利用直線的點(diǎn)斜式方程求出切線方程；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最小值，得到關(guān)于的不等式，解出即可求出答案；（3）根據(jù)條件進(jìn)行恒等轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，利用不等式的性質(zhì)求出范圍即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，∴，，，∴在處的切線方程為.（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，.令，解得或.①當(dāng)，即時(shí)，，故在上單調(diào)遞增.所以在上的最小值為，符合題意；②當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上的最小值為，不符合題意；當(dāng)，即，同理在上單調(diào)遞增，所以在上的最小值為，不符合題意；綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故的最小值為1.（3）設(shè)，則，因?yàn)椋詫?duì)任意，，，且恒成立，等價(jià)于在上單調(diào)遞增.而，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，只需在恒成立，因?yàn)?，只要，則需要，對(duì)