2020-2021學年度第二學期合肥市六校聯(lián)考高一年級期末教學質(zhì)量檢測數(shù)學學科試卷溫馨提示：1．本試卷滿分150分，考試時120分鐘．2．本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分．請將答案寫在答題卡上．考試結(jié)束后，只交“答題卡”．一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，滿分60分．每小題只有1個選項符合要求．）1.復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的虛部是A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】，所以虛部為，選D.點睛：本題主要考查復(fù)數(shù)的基本計算以及復(fù)數(shù)的形式，屬于基礎(chǔ)題．本題是道易錯題，認為復(fù)數(shù)的虛部是，實際上，復(fù)數(shù)的實部、虛部都是實數(shù)．2.以下說法正確的有個（）①三角形的直觀圖是三角形②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形③正方形的直觀圖是正方形④菱形的直觀圖是菱形A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)斜二測畫法的特點進行判斷即可.【詳解】由斜二測畫法可得：①三角形的直觀圖是三角形，②平行四邊形直觀圖是平行四邊形，③正方形的直觀圖是平行四邊形，④菱形的直觀圖是平行四邊形，綜上可得，說法正確的是①②.故選：B.3.已知向量，，若，則m=A. B. C.3 D.-3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)即可得出，進行數(shù)量積的坐標運算即可求出的值．【詳解】解：，，故選C．【點睛】考查向量垂直的充要條件，以及向量數(shù)量積的坐標運算，是道基礎(chǔ)題/4.某學校共有老、中、青職工人，其中有老年職工人，中年職工人數(shù)與青年職工人數(shù)相等．現(xiàn)采用分層抽樣的方法抽取部分職工進行調(diào)查，已知抽取的老年職工有人，則抽取的青年職工應(yīng)有（）A.人 B.人 C.人 D.人【答案】B【解析】【分析】利用分層抽樣的性質(zhì)求解.【詳解】由題意知：抽取的青年職工應(yīng)有：人.故選：B.5.一人連續(xù)投擲硬幣兩次，事件“至少有一次為正面”的互斥事件是A.至多有一次為正面 B.兩次均為正面C.只有一次為正面 D.兩次均為反面【答案】D【解析】【詳解】考查互斥事件的概念；不可能同時發(fā)生的兩個事件是互斥事件；一個人連續(xù)投擲硬幣兩次，共有“正正”，“正反”，“反反”，“反正”四種情況發(fā)生，“至少有一次為正面”包括“正正”，“正反”，“反正”三種情況，所以與“兩次均為反面”不可能同時發(fā)生，而且這兩個事件是對立事件；所以選D6.己知，是不同的直線，，是不重合的平面，則下列命題中正確的是（）A.若，，則B.若，，則C.若，，則D.若，，則【答案】C【解析】【分析】A選項可由線面平行的判定定理進行判斷；B選項可由線面垂直的位置關(guān)系進行判斷；C選項可由面面垂直的判定定理進行判斷．D選項可由面面垂直的性質(zhì)定理進行判斷；【詳解】A選項，因為，時，也有可能，故不成立．B選項，因為，，位置不定，則位置不定；C選項，因為，，由面面垂直的判定定理可得．D選項，因為，時，不一定成立，有可能是；故選：C．7.有3個興趣小組，甲、乙兩位同學各自參加其中一個小組，每位同學參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學參加同一個興趣小組的概率為A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】每個同學參加的情形都有3種，故兩個同學參加一組的情形有9種，而參加同一組的情形只有3種，所求的概率為p=選A8.在三角形中，角對應(yīng)的邊分別為，若，，，則＝（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】試題分析：由于為鈍角，所以只有一解.由正弦定理得：，選D.考點：解三角形.9.體積為1的正方體的內(nèi)切球的體積是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】如圖可知球的半徑為，結(jié)合球的體積公式即可求解．【詳解】如圖，因為正方體的體積為1，所以其邊長為1其內(nèi)切球的球心為正方體的中心，半徑為則球的體積為．故選：A10.在△中，為邊上的中線，為的中點，則A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】分析：首先將圖畫出來，接著應(yīng)用三角形中線向量的特征，求得，之后應(yīng)用向量的加法運算法則-------三角形法則，得到，之后將其合并，得到，下一步應(yīng)用相反向量，求得，從而求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)向量的運算法則，可得，所以，故選A.【點睛】該題考查的是有關(guān)平面向量基本定理的有關(guān)問題，涉及到的知識點有三角形的中線向量、向量加法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在解題的過程中，需要認真對待每一步運算.11.在中，角，，所對的邊分別為，，，若，則為（）A.鈍角三角形 B.直角三角形C.銳角三角形 D.等邊三角形【答案】A【解析】【分析】由已知條件，根據(jù)正弦定理，先得到，再由兩角和的正弦公式，得出，進而可判斷出結(jié)果.【詳解】由正弦定理可得，，整理可得，所以故因為，所以，即為鈍角，則為鈍角三角形.故選：A.【點睛】本題主要考查利用正弦定理及兩角和的正弦公式判斷三角形的形狀，屬于基礎(chǔ)試題.12.如圖，在離地面高熱氣球上，觀測到山頂處的仰角為，山腳處的俯角為，已知，則山的高度為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】可知為等腰直角三角形，可計算出的長度，在中，利用正弦定理求出的長度，然后在中，利用銳角三角函數(shù)求出，即可得出答案.【詳解】根據(jù)題意，可得在中，，，所以，，因為在中，，，由正弦定理，得，在中，，故選C.【點睛】本題考查解三角形的實際應(yīng)用問題，著重考查三角函數(shù)的定義、利用正弦定理解三角形等知識，在解題時，要結(jié)合三角形已知元素類型合理選擇正弦定理和余弦定理解三角形，考查運算求解能力，屬于中等題.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分，把答案填在題中的橫線上．）13.在裝有4個紅球和2個白球的盒子中，任意取一球，則事件“取出的球是白球”為____________事件（填“必然”、“隨機”或“不可能”）.【答案】隨機.【解析】【分析】任意取一球是隨機事件.【詳解】解：由于是任意取一球，所以是隨機事件，故答案為：隨機.【點睛】考查隨機事件的判斷，基礎(chǔ)題.14.已知向量，為單位向量，若與的夾角為，則__________．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)條件可以得到，這樣便可求出的值，從而得出的值．【詳解】解：根據(jù)條件，，；∴1-1+1＝1；∴．故答案為．【點睛】本考查單位向量的概念，向量數(shù)量積的運算及其計算公式，求向量的長度的方法：求．15.一個幾何體的主視圖為一個三角形，則這個幾何體可能是下列幾何體中的________(填入所有可能的幾何體前的編號)．①三棱錐；②四棱錐；③三棱柱；④四棱柱；⑤圓錐；⑥圓柱．【答案】①②③⑤【解析】【詳解】故答案為①②③⑤.16.的三個內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，為的中點，，，且，則________.【答案】.【解析】【分析】由已知利用正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求cosC，可得C＝60°，在平行四邊形ACBD，可求∠CAD＝120°，，由余弦定理可得a，利用三角形面積公式即可得解.詳解】解：2ccosB＝2a﹣b?2sinCcosB＝2sinA﹣sinB?2sinCcosB＝2sinBcosC+2cosBsinC﹣sinB?cosC，所以C＝60°．如圖補成平行四邊形ACBD，則∠CAD＝120°，，在△ADC中，由余弦定理得：，所以：，故答案為【點睛】本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，余弦定理，三角形面積公式，平面向量數(shù)量積的運算在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了運算求解能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．三、解答題（本大題共6小題，滿分70分，解答題應(yīng)寫出文字說明及演算步驟．）17.設(shè)向量，不共線．若，，．若，，三點共線，求實數(shù)的值．【答案】.【解析】【分析】先計算出，再根據(jù)共線向量定理可得,得到關(guān)于的方程組，從而可求的值.詳解】解：由，不共線且，，三點共線存在實數(shù)，使得又，，，則故答案為：18.當實數(shù)取什么值時，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點分別滿足下列條件？（1）實數(shù)；（2）虛數(shù)；（3）位于第四象限．【答案】（1）或；（2）且；（3）.【解析】【分析】（1）由虛部，解得m；（2）由虛部，求出m的范圍；（3）寫出復(fù)數(shù)對應(yīng)的點，由該點位于第四象限，列出不等式組，解得m的范圍．【詳解】（1）由該復(fù)數(shù)為實數(shù)知，解得或，則當或時，復(fù)數(shù)是實數(shù)；（2）由該復(fù)數(shù)為虛數(shù)知，則且時，復(fù)數(shù)是虛數(shù)；（3）該復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標為，當時，該點位于第四象限，解得，則當時，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點在第四象限．19.已知的內(nèi)角所對的邊分別為，且.（1）求；（2）若，，求周長.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理進行角化邊，然后根據(jù)余弦定理求解出的值；（2）先根據(jù)三角形面積公式求解出的值，然后根據(jù)余弦定理求解出的值，由此可求解出周長值.【詳解】（1）因為，所以，所以，所以，所以且，所以；（2）因為，所以，又因為，所以，所以，所以周長為，20.年的疫情讓人刻骨銘心，年某地的疫情又出現(xiàn)了反彈，為切實維護廣大人民群眾生命安全和身體健康，扎實開展疫情防控工作，當?shù)貞?yīng)對新冠肺炎疫情工作領(lǐng)導(dǎo)小組研究決定，除保障防疫工作、醫(yī)療服務(wù)、城市運行、值班執(zhí)勤工作外，對全城車輛和行人采取嚴格的管控措施，某社區(qū)要進行全員核酸檢測，由于工作量巨大，招募了名志愿者，記錄了這些志愿者的年齡，統(tǒng)計結(jié)果如下表：年齡志愿者人數(shù)志愿者的年齡的頻率分布直方圖如圖所示：（1）求，，并利用所給的頻率分布直方圖估計所有志愿者的平均年齡（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值表示）；（2）若已從年齡在，的志愿者中利用分層抽樣選取了人，再從這人中選出人，求這人在同一年齡組的概率．【答案】（1）40，4，38歲；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求得第三組的頻率，再求，再根據(jù)樣本容量計算，根據(jù)各組頻率，計算志愿者的平均年齡；（2）首先由分層抽樣計算這兩組的人數(shù)，再利用編號，列舉所有的基本事件，再計算概率.【詳解】（1）根據(jù)題意，所有志愿者的平均年齡為（歲）；（2）從年齡在，的志愿者中利用分層抽樣選取了人，則年齡在的志愿者有人，記為，，，年齡在的志愿者有人，記為，，，，若從這人中選人，則有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共種可能的結(jié)果，其中滿足在同一年齡組的有，，，，，，，，共種結(jié)果．所以這人在同一年齡組的概率為21.已知圓錐的底面半徑為1，高為，軸截面為平面，如圖，從點拉一繩子繞圓錐側(cè)面一周回到點，求最短繩長.【答案】【解析】【分析】沿將圓錐側(cè)面展開為平面扇形，則線段為最短距離，在三角形中計算可得.【詳解】解：沿將圓錐側(cè)面展開為平面扇形，如圖.，，，.作交于點D，則.，∴最短繩長為.【點睛】本題考查錐體上最小距離的計算，關(guān)鍵