PAGEPAGE1第2課時補集及綜合應用學習目標1.理解全集、補集的概念.2.精確翻譯和運用補集符號和Venn圖.3.會求補集，并能解決一些集合綜合運算的問題．學問點一全集定義：假如一個集合含有我們所探討問題中涉及的全部元素，那么就稱這個集合為全集．記法：全集通常記作U.學問點二補集思索實數集中，除掉大于1的數，剩下哪些數？答案剩下不大于1的數，用集合表示為{x∈R|x≤1}．梳理補集的概念自然語言對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的全部元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集，記作?UA集合語言?UA＝{x|x∈U，且x?A}圖形語言性質①A∪(?UA)＝U，A∩(?UA)＝?；②?UU＝?，?U?＝U1．依據探討問題的不同，可以指定不同的全集．(√)2．存在x0∈U，x0?A，且x0??UA.(×)3．設全集U＝R，A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)>1))))，則?UA＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)≤1)))).(×)4．設全集U＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y|x∈R，y∈R))，A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y|x>0且y>0))，則?UA＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y|x≤0且y≤0)).(×)類型一求補集例1(1)已知全集U＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b，c))，集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a))，則?UA等于()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，c))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(b，c))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b，c))考點補集的概念及運算題點有限集合的補集答案C解析?UA＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x∈U且x?A))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(b，c)).(2)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，則?UA等于()A．{x|0<x<2} B．{x|0≤x<2}C．{x|0<x≤2} D．{x|0≤x≤2}考點補集的概念及運算題點無限集合的補集答案C解析∵U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，∴?UA＝{x|0<x≤2}，故選C.(3)設全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是銳角三角形}，B＝{x|x是鈍角三角形}，求A∩B，?U(A∪B)．考點題點解依據三角形的分類可知A∩B＝?，A∪B＝{x|x是銳角三角形或鈍角三角形}，?U(A∪B)＝{x|x是直角三角形}．反思與感悟求集合的補集，需關注兩處：一是確認全集的范圍；二是擅長利用數形結合求其補集，如借助Venn圖、數軸、坐標系來求解．跟蹤訓練1(1)設集合U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，則?UA＝________.考點補集的概念及運算題點有限集合的補集答案{3,4,5}(2)已知集合U＝R，A＝{x|x2－x－2≥0}，則?UA＝________.考點補集的概念及運算題點無限集合的補集答案{x|－1<x<2}(3)已知全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，集合A＝{(x，y)|xy>0}，則?UA＝________.考點補集的概念及運算題點無限集合的補集答案{(x，y)|xy≤0}類型二補集性質的應用命題角度1補集性質在集合運算中的應用例2已知A＝{0,2,4,6}，?UA＝{－1，－3,1,3}，?UB＝{－1,0,2}，用列舉法寫出集合B.考點補集的概念及運算題點有限集合的補集解∵A＝{0,2,4,6}，?UA＝{－1，－3,1,3}，∴U＝{－3，－1,0,1,2,3,4,6}．而?UB＝{－1,0,2}，∴B＝?U(?UB)＝{－3,1,3,4,6}．反思與感悟從Venn圖的角度講，A與?UA就是圈內和圈外的問題，由于(?UA)∩A＝?，(?UA)∪A＝U，所以可以借助圈內推知圈外，也可以反推．跟蹤訓練2如圖所示的Venn圖中，A，B是非空集合，定義A*B表示陰影部分的集合．若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}，則A*B＝________________.考點補集的概念及運算題點無限集合的補集答案{x|0≤x≤1或x＞2}解析A∩B＝{x|1<x≤2}，A∪B＝{x|x≥0}，由圖可得A*B＝?(A∪B)(A∩B)＝{x|0≤x≤1或x＞2}．命題角度2補集性質在解題中的應用例3關于x的方程：x2＋ax＋1＝0， ①x2＋2x－a＝0， ②x2＋2ax＋2＝0， ③若三個方程至少有一個有解，求實數a的取值范圍．考點補集的概念及運算題點無限集合的補集解假設三個方程均無實根，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ1＝a2－4<0，,Δ2＝4＋4a<0，,Δ3＝4a2－8<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2<a<2，,a<－1，,－\r(2)<a<\r(2).))解得－eq\r(2)<a<－1，∴當a≤－eq\r(2)或a≥－1時，三個方程至少有一個方程有實根，即a的取值范圍為{a|a≤－eq\r(2)或a≥－1}．反思與感悟運用補集思想求參數取值范圍的步驟(1)把已知的條件否定，考慮反面問題；(2)求解反面問題對應的參數的取值范圍；(3)求反面問題對應的參數的取值集合的補集．跟蹤訓練3若集合A＝{x|ax2＋3x＋2＝0}中至多有一個元素，求實數a的取值范圍．考點補集的概念及運算題點無限集合的補集解假設集合A中含有2個元素，即ax2＋3x＋2＝0有兩個不相等的實數根，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠0，,Δ＝9－8a>0，))解得a<eq\f(9,8)，且a≠0，則集合A中含有2個元素時，實數a的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(a<\f(9,8)且a≠0)))).在全集U＝R中，集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(a<\f(9,8)))且a≠0))的補集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥\f(9,8)或a＝0))))，所以滿意題意的實數a的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥\f(9,8)或a＝0)))).類型三集合的綜合運算例4(1)(2024·浙江)已知全集U＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3，4，5，6))，集合P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，3，5))，Q＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，4))，則(?UP)∪Q等于()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1)) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(3，5))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，4，6)) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3，4，5))考點交并補集的綜合問題題點有限集合的交并補運算答案C解析∵?UP＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，4，6))，∴(?UP)∪Q＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，4，6)).(2)已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1≤x≤2}，且A∪(?RB)＝R，則實數a的取值范圍是________．考點交并補集的綜合問題題點與交并補集運算有關的參數問題答案{a|a≥2}解析∵?RB＝{x|x<1或x>2}且A∪(?RB)＝R，∴{x|1≤x≤2}?A，∴a≥2.反思與感悟解決集合的混合運算時，一般先計算括號內的部分，再計算其他部分．有限集合混合運算可借助Venn圖，與不等式有關的可借助數軸．跟蹤訓練4(1)已知集合U＝{x∈N|1≤x≤9}，A∩B＝{2,6}，(?UA)∩(?UB)＝{1,3,7}，A∩(?UB)＝{4,9}，則B等于()A．{1,2,3,6,7} B．{2,5,6,8}C．{2,4,6,9} D．{2,4,5,6,8,9}考點交并補集的綜合問題題點有限集合的交并補運算答案B解析依據題意可以求得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，畫出Venn圖(如圖所示)，可得B＝{2,5,6,8}，故選B.(2)已知集合U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(?UA)∪B，A∩(?UB)．考點交并補集的綜合問題題點無限集合的交并補運算解如圖所示．∵A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，∴?UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，?UB＝{x|x<－3或2<x≤4}．A∩B＝{x|－2<x≤2}，∴(?UA)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}，A∩(?UB)＝{x|2<x<3}．1．設集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，則?UM等于()A．UB．{1,3,5}C．{3,5,6}D．{2,4,6}考點補集的概念及運算題點有限集合的補集答案C2．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，則?U(A∪B)等于()A．{1,3,4}B．{3,4}C．{3}D．{4}考點交并補集的綜合問題題點有限集合的交并補運算答案D3．設集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，則(?RS)∪T等于()A．{x|－2<x≤1} B．{x|x≤－4}C．{x|x≤1} D．{x|x≥1}考點交并補集的綜合問題題點無限集合的交并補運算答案C4．設全集U＝R，則下列集合運算結果為R的是________．(填序號)①Z∪?UN;②N∩?UN；③?U(?U?);④?UQ.考點交并補集的綜合問題題點無限集合的交并補運算答案①5．設全集U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，則A∩(?UB)＝________.考點交并補的綜合問題題點有限集合的交并補運算答案{1}解析∵?UB＝{1,5,6}，∴A∩(?UB)＝{1}．1．全集與補集的相互依存關系(1)全集并非是應有盡有，含有任何元素的集合，它是對于探討問題而言的一個相對概念，它僅含有所探討問題中涉及的全部元素，如探討整數，Z就是全集，探討方程的實數解，R就是全集．因此，全集因探討問題而異．(2)補集是集合之間的一種運算．求集合A的補集的前提是A是全集U的子集，隨著所選全集的不同，得到的補集也是不同的，因此，它們是相互依存、不行分割的兩個概念．(3)?UA的數學意義包括兩個方面：首先必需具備A?U；其次是定義?UA＝{x|x∈U，且x?A}，補集是集合間的運算關系．2．補集思想做題時“正難則反”策略運用的是補集思想，即已知全集U，求子集A，若干脆求A困難，可先求?UA，再由?U(?UA)＝A，求A.一、選擇題1．已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，則(?UA)∪B為()A．{1,2,4} B．{2,3,4}C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}考點交并補集的綜合問題題點有限集合的交并補運算答案C解析?UA＝{0,4}，所以(?UA)∪B＝{0,2,4}，故選C.2．(2024·北京)已知U＝R，集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<－2或x>2))，則?UA等于()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－2<x<2)) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<－2或x>2))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－2≤x≤2)) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≤－2或x≥2))考點補集的的概念及運算題點無限集合的補集答案C解析?UA為數軸上去掉集合A剩余部分．3．已知全集U＝{1,2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，?UA＝{3}，則實數a等于()A．0或2 B．0C．1或2 D．2考點補集的概念及運算題點由補集運算結果求參數的值答案D解析由題意，知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,a2－2a＋3＝3，))則a＝2.4．圖中的陰影部分表示的集合是()A．A∩(?UB) B．B∩(?UA)C．?U(A∩B) D．?U(A∪B)考點Venn圖表達的集合關系及運用題點Venn圖表達的集合關系答案B解析陰影部分表示集合B與集合A的補集的交集．因此，陰影部分所表示的集合為B∩(?UA)．5．已知S＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x是平行四邊形或梯形))，A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x是平行四邊形))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x是菱形))，C＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x是矩形)).下列式子不成立的是()A．B∩C＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x是正方形))B．?AB＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x是鄰邊不相等的平行四邊形))C．?SA＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x是梯形))D．A＝B∪C考點交并補集的綜合問題題點無限集合的交并補運算答案D解析平行四邊形有鄰邊不相等也不垂直的，D錯誤．6．已知U為全集，集合M，N?U，若M∩N＝N，則()A．?UN??UM B．M??UNC．?UM??UN D．?UN?M考點集合的交集、并集性質及應用題點交集、并集的性質答案C解析由M∩N＝N知N?M，∴?UM??UN.7．設全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，則?UA等于()A．? B．{2}C．{5} D．{2,5}考點補集的概念及運算題點有限集合的補集答案B解析因為A＝{x∈N|x≤－eq\r(5)或x≥eq\r(5)}，所以?UA＝{x∈N|2≤x<eq\r(5)}，故?UA＝{2}．8．設集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝3k，k∈Z))，P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝3k＋1，k∈Z))，Q＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝3k－1，k∈Z))，則?Z(P∪M)等于()A．M B．PC．Q D．?考點交并補集的綜合問題題點無限集合的交并補運算答案C解析集合M，P，Q分別代表被3除余0,1,2的整數構成的集合．整數集中去掉被3除余0或1的，剩余的只有余數為2的，即集合Q.二、填空題9．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，則集合?U(A∪B)＝______，(?UA)∩(?UB)＝________.考點交并補集的綜合問題題點無限集合的交并補運算答案{x|0<x<1}{x|0<x<1}解析A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，?U(A∪B)＝{x|0<x<1}．?UA＝{x|x>0}，?UB＝{x|x<1}，∴(?UA)∩(?UB)＝{x|0<x<1}．10．設U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}，若(?UA)∩B＝?，則m的值是__________________________________________________________________．答案1或2解析A＝{－2，－1}，由(?UA)∩B＝?，得B?A，∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判別式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠?.∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．①若B＝{－1}，則m＝1；②若B＝{－2}，則應有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)×(－2)＝4，這兩式不能同時成立，∴B≠{－2}；③若B＝{－1，－2}，則應有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)×(－2)＝2，由這兩式得m＝2.經檢驗知，m＝1和m＝2符合條件．∴m＝1或2.11．若集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x<0或x>1}，則圖中陰影部分所表示的集合為_________．考點Venn圖表達的集合關系及運用題點Venn圖表達的集合關系答案{x|x≤1或x>2}解析如圖，設U＝A∪B＝R，A∩B＝{x|1<x≤2}，∴陰影部分為?U(A∩B)＝{x|x≤1或x>2}．三、解答題12．已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤2}，若B∪(?UA)＝R，B∩(?UA)＝{x|0<x<1或2<x<3}，求集合B.考點交并補集的綜合問題題點無限集合的交并補運算解∵A＝{x|1≤x≤2}，∴?UA＝{x|x<1或x>2}．又B∪(?UA)＝R，A∪(?UA)＝R，可得A?B.而B∩(