【摘""要】《義務教育數學課程標準（2022年版）》賦予了“數量關系”新的教學內涵，并與核心素養和代數思維建立聯系。從早期代數思維的視角看，數量關系的教學一般有三種思維推理形式，即關系性思維、共變思維和準變量思維。教師通過闡述這三種思維形式的特征，探討如何挖掘和理解教材中的相應思維形式，并在教學中如何引導學生充分經歷相應的思維推理過程，進而習得數量關系相關知識，提升學生核心素養。【關鍵詞】數量關系；早期代數思維；關系性思維；共變思維；準變量思維恩格斯從數學來源的角度提出“數學是研究現實世界的數量關系和空間形式的科學”，這一論述對數學及數學教育產生了深遠的影響。他主張，數學中數量和數量之間有聯系或發生關系才有意義，單個數量的存在或堆積是沒有意義的。［1］76數量這個詞是被人們慣用的術語，“Quantit?tsverh?ltnisse”應該翻譯為“量的關系”，而不是“數量的關系”。［1］75對“數量關系”的譯法，關肇直先生也認為有不妥之處，他指出：應把“數量關系”改譯為“量的關系”。［2］本文中的數量和量兩個術語互用。《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標”）將“數量關系”確定為小學階段數與代數領域的兩個主題之一。“數量關系”主要是指“用符號（包括數）或含有符號的式子表達數量之間的關系或規律。學生要經歷在具體情境中運用數量關系解決問題的過程，感悟加法模型和乘法模型的意義，提高發現和提出問題、分析和解決問題的能力，形成模型意識和初步的應用意識”。由此可見，2022年版課標對小學“數量關系”的目標要求涵蓋兩個方面：一是發現和表達具體情境中的數量關系，二是運用數量關系分析和解決實際問題。因此，數量關系的教學應聚焦于量及其關系的認知和表征，才能運用數量關系解決問題。過去，數量關系的教學經歷了從“過度模式化教學的應用題”到“去應用題”再到“解決問題”最終轉變為“問題解決”的演變過程，似乎更強調運用數量關系（特別是常用數量關系）解決問題，而在一定程度上忽視了對量及其關系的認識和表征的教學。然而，在具體情境中發現、分析和表達量及其關系（不僅僅是常用數量關系）對于學生早期代數思維的培養和發展，以及后續的代數學習具有舉足輕重的作用。實際上，強調早期代數思維是2022年版課標的一個顯著變化。那么，小學階段的早期代數思維具有怎樣的特征？該階段早期代數思維的發展與數量關系的教學存在怎樣的內在聯系？如何通過數學教材中的教學內容來發展小學生的早期代數思維？本文結合北師大版教材相關教學內容進行具體分析。一、早期代數思維的特征及教學啟示對于中小學生而言，數學從數和數的運算（算術），到符號和符號運算（代數），容易忽略從算術到代數的過渡，這樣不利于學生后續學習和代數思維的發展。通過加深算術課程的內容，幫助學生發展早期代數思維和代數推理能力，是解決這一困境的有效途徑。早期代數思維是指“學生在歸納概括一般化的算式結構、變化規律和數量關系，并且運用（各類）符號來表征和推理論證一般化結論時經歷的一系列思維過程”。主要體現在抽象算術、函數思維和數量關系三方面數學內容。［3］22研究表明，早期代數思維需要滿足三個條件。第一是不確定性，問題涉及未知量、變量、參數等要素。第二是表征，問題中涉及的不確定的量必須被命名或用符號表示。第三是分析性，即以分析的方式處理不確定的量，這些不確定的量被當作已知的數進行加、減、乘、除運算。［4］基于此，小學數學教學應引導學生經歷從具體情境中發現數量及其關系，并進行表征，進而通過分析數量關系和規律進行相應的一般化表達和問題解決的過程。這一過程是銜接算術與代數的一種思維推理方式，是早期代數思維關注的焦點。早期代數思維是介于算術和代數之間的思維推理過程，強調深化包括數量關系在內的算術課程的內容，主要指向在教學過程中重視三種思維推理形式：“關系性思維（RelationalThinking）”“共變思維（CovariationThinking）”和“準變量思維”。［3］23-27簡言之，在數量關系教學時，教師應引導學生經歷關系性思維、共變思維和準變量思維的分析與推理。二、關系性思維的特征及其教學內容分析關系性思維不僅要求學生準確把握“相等”的概念，還鼓勵學生從整體的視角審視算式和等式的內在結構。這種思維方式能夠讓學生超越對算式中運用數的程序性計算，轉而關注數與數之間的內在聯系，并據此靈活變換等式。［5］面對等式時，學生不是將等號視為計算結果輸出的簡單提示，而是能夠洞察等式所蘊含的等價關系和整體結構。從等號的程序性理解到關系性理解的轉變，這正是算術思維向代數思維演進的關鍵標志之一。［6］2022年版課標增加了“等量的等量相等”這一基本事實，旨在強調關系性思維的重要性。鼓勵學生通過探索關系和結構來理解這一基本事實，并要求他們能在真實情境中運用關系性思維進行量的推理。例如，面對等式“37＋48＝36＋49”，學生若不進行具體計算就能判斷其正確與否，說明他們已經超越了程序性的算術思維，能夠識別出等式中隱含的結構和關系，并運用補償策略來實現等式的變換，即“37＋48＝37－1＋48＋1＝36＋49”的推理過程。這表明學生已經能夠從整體結構出發，對算術性質進行更深層次的一般化思維。教師在教學這類數量關系知識時，應該有意識地引導學生識別和表征情境中的量，發現、表達和分析相應的數量關系，并利用數量關系來解決問題。在小學數學教材中，關系性思維的素材貫穿始終。例如，在北師大版教材一年級上冊《做個加法表》一課中（如圖1），豎著看，學生通過觀察第一列算式的變化規律，會發現“10＋0＝9＋1＝8＋2＝……＝0＋10”，即兩個數相加的和相等。教師要引導學生發現這一列算式隱含的結構和關系，構建出相鄰或相間的兩個算式中的數量變換關系及其潛在關系（加減同一個數），并進行分析和說理，如10＋0＝10＋0＋1－1＝10－1＋0＋1＝9＋1，以此類推，讓學生對這一組算式進行說理和推理。在此基礎上，讓學生繼續探索、總結“和是9、8、7……的加法組合”，引導他們初步猜想和文字表達數量關系：在加法算式中，兩個加數同時加減同一個數，得到的算式存在等價關系。學生通過關系性思維進行進一步分析、推理和確認一般化規律。再如，在北師大版教材三年級上冊《運白菜》一課中（如圖2），教師應引導學生進行整體關系的思維。這兩個算式都表示“運走兩車后還剩多少棵白菜？”。其中算式“850－256－280”直接來自題目，而算式“850－（256＋280）”則基于對數量關系的深入理解構建了一個新的量，即“兩車一共運走了多少棵白菜”。因此，兩種表達方式得出的結果相同。教學中，教師可以通過創設購物、銷售等問題情境，幫助學生識別和表征情境中的各個量及其相互關系。通過量的推理，學生能夠不斷發現并驗證同類數量關系，進一步體會問題整體結構的相似性。基于此，學生可以初步體驗更具一般化的連減運算性質：一個數連續減去兩個數，等于這個數減去這兩個數的和。另外，在探索加法交換率、乘法結合律等運算率時，可以引導學生進行關系性思維和推理，幫助他們掌握相關數量關系并發展早期代數思維。例如，在北師大版教材四年級上冊《乘法分配律》一課中，教材呈現了四種解題思路（如圖3），本文分析其中兩種。思路一是先求3行白色瓷磚的塊數，再求5行藍色瓷磚的塊數，然后求總數。思路二是先求白色和藍色瓷磚的總行數，再乘每行瓷磚數，求出瓷磚總數。通過計算和比較這兩種思路的結果，學生可以發現乘法分配律。其實，教師可以進一步引導學生通過分析問題情境中的各個量之間的關系推理出兩個算式的相等關系。如廚房瓷磚總量等于左面墻瓷磚量與右面墻瓷磚量之和，也等于白色瓷磚與藍色瓷磚數量之和。這種關系與具體數值無關，意味著題中的3、5、10等數可以換成任意自然數（0除外），而其表示的實際意義保持不變。上述教學正是基于早期代數思維的視角，引導學生進行關系性思維，不僅使學生掌握了乘法分配律，而且有效地培養了學生的推理意識、創新思維能力和問題解決能力。三、共變思維的特征及其教學內容分析在早期代數思維研究中發現，即便是幼兒園的學生也能夠理解數量之間的共同變化規律（每增加1只狗，相應增加2只眼睛）。一年級學生能夠描述數量間的對應關系（1只手有5根手指，2只手則有10根手指）。到了二年級，學生能夠使用自然語言表達一般規律來預測共變量的其他相應值（乘法口訣的學習：一三得三，二三得六……三九二十七）。［7］724-725這表明，低年級乃至幼兒園的學生，給予適當的任務和指導，他們都能形成和發展早期代數思維。對數量共變的概括和推理涉及以下幾種能力：對共變量模式關系的一般化；尋找相應的變量值以及給定規則的共變思維。學生首先應掌握“找到對應變量的值”的能力，其次培養給定規則的共變思維，最后獲得“共變量關系模式的一般化”的能力。［7］737］當學生意識到兩個量的值同時變化時，他們就會產生共變思維。進行共變思維的學生能確認兩個量的共變關系，并能“協調（Coordination）”這兩個量之間的共變模式。［7］731研究表明，共變思維模式有利于學生思維的定性分析，學生在共變思維下，更容易把握涉及的量及其共變關系，并將其作為尋找數量關系的起點。［7］741例如，2022年版課標實例中的例19第（1）題：“小華比小明多5張漫畫卡，如果小明有8張，小華有幾張？如果小明有12張呢？如果小明有若干張呢，怎樣用字母表示小華有多少張漫畫卡？”這一問題情境是進行共變思維和推理的良好素材。不難發現，該問題情境中涉及兩個量：小華的漫畫卡數量，小明的漫畫卡數量。其中，“小華比小明多5張漫畫卡”已經直接設定了這兩個數量之間的共變關系。“如果小明有8張，小華有幾張？”這一設問引導學生基于兩個數量之間的規定關系進行共變思維分析，當一個變量值確定后，另一個變量值隨之得以確定。“如果小明有12張呢？如果小明有若干張呢？”這一追問，繼續引導學生通過共變思維進一步感悟“小華的漫畫卡”和“小明的漫畫卡”這兩個量之間的共變關系，進而引導學生進行概括和一般化表征。也就是說，在情境中探尋到“小明的漫畫卡數量”包含“8張、12張、若干張”這組數，接著根據兩個量之間的依存共變關系，把8+5、12+5、若干張+5看成一個整體，都用來表示“小華的漫畫卡數量”。不管兩個量的數值如何變化，它們的共變關系保持不變。又如，在北師大版教材一年級下冊《做個百數表》一課中（如圖4），學生通過觀察發現：橫著看，后一個數相較于前一個數增加1；豎著看，下一行的數相較于上一行的數增加10；斜著看，右下角的數相較于左上角的數增加11。在教學過程中，教師應引導學生依據相鄰兩個數的共變規律，獲得從一個量推算出另一個量的能力。經過多次驗證，對這一規律進行歸納，識別相關的量，并用自然語言進行表達，概括這些數量之間的關系。此時，在共變思維的輔助下，學生能夠學會分析相應的數量關系，形成數感和推理意識，以及早期代數思維。再如，正比例和反比例作為刻畫現實背景中兩個相關變量的共同變化規律的數學模型。在日常生活中，有很多數量關系可以表示為正比例或反比例的量，其本質是兩個量按照一定的比例關系發生共變。如圖5所示，引導學生通過填表發現，正方形邊長每增加1厘米，其周長相應增加4厘米，正方形的周長是邊長的4倍，即周長和邊長兩個量的比值保持不變，此時正方形周長和邊長成正比例。當一個變量確定后，另一個變量隨之確定，二者的變化是互相依存的。同時，以“路程、速度、時間”三個數量關系為例，路程隨時間變化而變化，且路程和時間的比值（即速度）一定，即路程和時間兩個數量之間的關系進行共變思維和推理，可以得到路程和時間成正比例。反比例亦是如此，這里不再贅述。在教學中，教師應有意識地通過提問引導學生自主識別問題情境中的變量，發現變量間的依存和共變關系，并對共變規律進行概括和表達，從而深化對數量關系的理解，培養推理意識和早期代數思維。四、準變量思維的特征及其教學內容分析通常具備準變量思維的學生能夠認識到“在一個‘算式’或是一組‘算式’中，存在的某些數量關系，這些數量關系不會因為數的變化而改變”［3］25。準變量思維體現了初步的概括性和一般化，這正是代數思維的核心所在“分析之后的概括”。缺乏分析的概括可能是“嘗試與猜測”的結果，而缺乏概括的分析可能是“數量之間關系”的記憶。［8］16實際上，在探討關系性思維和共變思維的特征時，已經涉及了數量關系的表達過程，即通過關系性思維和共變思維的推理，引導學生識別相關量及其關系，并進行概括和表達。然而，準變量思維則強調使用更具一般性的符號（非字母）來表達數量關系。例如，學生面對如下問題情境。（1）第5項有多少個小方塊？（2）第6項有多少個小方塊？（3）第25項有多少個小方塊？（4）你能概括出規律嗎？學生在經歷了對問題（1）至（3）的關系性思維和共變思維的探討后，可能會給出如下表達：3，3＋（2－1）×2，3＋（3－1）×2，3＋（4－1）×2，3＋（5－1）×2，3＋（6－1）×2……小括號內的“2、3、4、5、6……”起到了“變量”（即“項數”）的作用。［8］17針對問題（4），首先引導學生用自然語言表達出規律：每一項的項數減1的2倍，再加上第1項的數，其和即為該項的小方塊總數。接著，進一步引導學生寫出更具概括性的表達式：3＋（項數－1）×2，這是一個準變量表達式，更接近代數表達式。例如，在北師大版教材二年級上冊《分香蕉》一課中（如圖6），面對“小猴子分12根香蕉，每份同樣多，可以怎么分？”的問題。教學時，首先應該讓學生明確平均分的兩種情況：一種是先確定份數，再按份數進行平均分，結果是每份分到的數量；另一種是先確定每份的數量，再按每份的數量進行平均分，結果是能分到的份數。接著，教師可再舉幾個類似的問題，在關系性思維的作用下引導學生感知數的可變性與結構的不變性。最后，在準變量思維的推動下抽象出除法模型的一般化表達：總數÷份數＝每份數，總數÷每份數＝份數。在此基礎上，后續還會將上述除法模型與乘法模型（份數×每份數＝總數）建立內在聯系。這些聯系都是第二、第三學段學習“總價＝單價×數量”“路程＝速度×時間”“工作效率＝工作總量÷工作時間”等數量關系的根本。所有這些都可以視為準變量表達式，是指導學生進行準變量思維的學習素材。又如，在北師大版教材四年級上冊《加法結合律》教學中（如圖7），引導學生發展準變量思維。首先，引導學生觀察算式，經歷類比推理和歸納推理，發現加法運算的規律（加法結合律），并嘗試用語言描述發現的規律。接著，聯系現實生活尋找實例解釋發現的規律，加深對規律的理解和認識。最后，引導學生用字母表示加法結合律。為了讓學生充分理解加法結合律的本質，有必要在具體算式和符號表達之間增加準變量思維和表象表達的過程，鼓勵他們用自己喜歡的方式表達規律（文字、圖形語言、任何符號等），以此用簡化和概括化的準變量表達式表達規律，如（▲＋★）＋?＝▲＋（★＋?），為后續用字母進行符號表達提供思維準備，以充分發展學生的符號意識和模型意識。準變量思維的核心在于運用非代數符號的語句或表達式，它超越算術思維方式。通過關系性思維和共變思維的推理，揭示并利用算術中隱含的數量關系與結構，識別、提取關鍵的數以及表達式中的關系性元素。這些思維方式能夠對潛在的