專題2：曲線的軌跡方程

一、填空題

1.圓。的半徑為定長J4是圓。所在平面上與戶不重合的一個定

點，P是圓上任意一點，線段處的垂直平分線/和直線0P相交于

點Q,當點尸在圓上運動時，點Q的軌跡是________

①橢圓；②雙曲線；③拋物線；④圓；⑤一個點

2.已知橢圓的左右焦點為片、々，點尸為橢圓上任

16

意一點，過鳥作/￡用；的外角平分線的垂線，垂足為點Q,過點Q

作）,軸的垂線，垂足為N,線段QN的中點為“，則點M的軌跡方

程為.

3.過圓。：/+產=4與〉軸正半軸的交點4作圓。的切線/,M為1

上任意一點，過〃作圓。的另一條切線，切點為。.當點M在

直線/上運動時，△M4Q的垂心的軌跡方程為.

4.已知在平面直角坐標系xQv中，橢圓G：￡+《=1的左、右頂

a~b~

點分別為A,4.直線/：皿2->）十（1-2〃加=），+1（"zwR）交橢圓于

P,。兩點，直線4尸和直線相交于橢圓外一點七則點H的

軌跡方程為.

5.點M為橢圓5+?=1上一點，片,乃為橢圓的兩個焦點，則

△GMF?的內心軌跡方程為.

二、解答題

6.在平面直角坐標系xO.v中，48為拋物線。：），=2外（〃>0）上不

同的兩點，且OA_LQB,點。(1,2)且8_143于點￡).

(1)求〃的值；

⑵過“軸上一點“，。)"0)的直線/交C于M8.),N(孫力)兩

點，M,N在。的準線上的射影分別為尸，0,尸為C的焦點，若

S&PQF=2S—求MN中點E的軌跡方程.

7.若動點M到定點A(0,l)與定直線/：)，=3的距離之和為4.

(1)求點例的軌跡方程，并畫出方程的曲線草圖；

(2)記(1)得到的軌跡為曲線C,問曲線C上關于點8(0#(飛R)

對稱的不同點有幾對？請說明理由.

8.已知直線x=-2上有一動點Q,過點Q作直線1,垂直于y

軸，動點P在h上，且滿足。POQ=0(。為坐標原點)，記點P的

軌跡為C.

(1)求曲線C的方程；

(2)已知定點M(-〈，0),N(J,0),點A為曲線C上一點，直

線AM交曲線C于另一點B,且點A在線段MB上，直線AN交

曲線C于另一點D,求AMBD的內切圓半徑r的取值范圍.

2

9.已知。。(工一1尸+丁=1,OC2：(X+1)+/=25.

(1)若直線L與。G相切，且截。C2的弦長等于2歷，求直線L

的方程.

(2)動圓M與。G外切，與。。2內切，求動圓M的圓心M軌

跡方程.

10.如圖，設點A和8為拋物線丁=43(〃>0)上原點以外的

兩個動點，已知OALOB.OMLAB.求點M的軌跡方程，并

說明它表示什么曲線.

11.設橢圓E：W+/=l（a＞八0）的離心率為常已知A（&。）、

8（0,4），且原點到直線A8的距離等于半.，

（I）求橢圓E的方程；

（II）已知過點用。，0）的直線交橢圓E于C、D兩點，若存在動點

N,使得直線NC、NM、NO的斜率依次成等差數列，試確定點N

的軌跡方程.

12.已知拋物線C:f=2y,過點Q。1）的動直線與拋物線C交于

不同的兩點A%分別以A3為切點作拋物線的切線4、/八直線八

4交于點P.

（1）求動點2的軌跡方程；

（2）求△RW面積的最小值，并求出此時直線48的方程.

13.已知點知-2,0）,8（2,0）,動點S（x,y）滿足直線AS與BS的斜率

之積為-1記動點S的軌跡為曲線C.

（1）求曲線。的方程，并說明曲線。是什么樣的曲線；

（2）設N是曲線。上的兩個動點，直線人”與帥交于點P,

NMAN=90。.

①求證：點P在定直線上；

②求證：直線N5與直線M3的斜率之積為定值.

14.已知點A。,。），E,產為直線x=-1上的兩個動點,S.AEYAF,

動點、P滿足EP//OA,FO//OP（其中。為坐標原點）.

(1)求動點P的軌跡。的方程；

(2)若直線/與軌跡C相交于兩不同點M、N,如果0M.0N=~4,

證明直線/必過一定點，并求出該定點的坐標.

15.已知橢圓C的方程為Y+?=l,點P3。)的坐標滿足

過點P的直線/與橢圓交于A、8兩點，點。為線段A3的中點,

求：

(1)點。的軌跡方程；

(2)點Q的軌跡與坐標軸的交點的個數.

16.已知點4-2,0),5(2,0),動點M(x,y)滿足直線AM與BM的

斜率之積為-記M的軌跡為曲線C.

4

(1)求曲線。的方程，并說明是什么曲線；

(2)設直線/不經過點P(。」)且與曲線C相交于點。.E兩點.若

直線PD與PE的斜率之和為2,證明：/過定點.

17.在直角坐標系內，點A,B的坐標分別為(-2,0),(2,0),。是

坐標平面內的動點，且直線小，祥的斜率之積等于-；，設點P

的軌跡為C.

(1)求軌跡。的方程；

(2)設過點(I,。)且傾斜角不為。的直線/與軌跡C相交于N

兩點，求證：直線AM,8N的交點在直線x=4上.

18.過橢圓C外一點尸(內),為)作橢圓。小十的切線J4,切

54

點分別為A,B,滿足

(1)求產的軌跡方程

(2)求八45夕的面積(用P的橫坐標即表示)

(3)當尸運動時，求A48P面積的取值范圍.

參考答案

1.①②④⑤

【分析】由題設條件線段的垂直平分線的性質，結合圓錐曲線的定義,

分類討論，即可求解.

【解析】（1）因為A為圓。。內的一定點，P為O上的一動點，

線段AP的垂直平分線交半徑0P于點M,

可得1/闋=|叫+1=|。耳='?,

即動點M到兩定點。M的距離之和為定值，

①當QA不重合時，根據橢圓的定義，可知點M的軌跡是：以。A為

焦點的橢圓；

②當。A重合時，點M的軌跡是圓；

（2）當A為圓。。外的一定點，夕為。。上的一動點，

線段的垂直平分線交半徑0P于點M,

可得|M4|=|熠,|M4HMq=|阿一眼@==j

即動點用到兩定點。力的距離之差為定值，

根據雙曲線的定義，可得點例的軌跡是：以0，A為焦點的雙曲線；

（3）當A為圓。。上的一定點，P為0。上的一動點，此時點M的軌

跡是圓心0.

綜上可得：點M的軌跡可能是點、圓、橢圓和雙曲線.

故答案為：①②④⑤

【點評】本題主要考查了橢圓、雙曲線和圓的定義及其應用，其中解

答中熟練應用線段垂直平分線的性質，以及橢圓和雙曲線的定義是解

答的關鍵，著重考查推理與論證能力，以及轉化思想的應用.

2?

【分析】先利用橢圓的幾何性質得到。的軌跡方程為：f+），2=16,再

根據M的坐標與Q的坐標關系可得M的軌跡方程.

如圖，延長入。交卡的延長線于S,連接。2.

因為加為/S也的平分線且F2S1PQ,

故4PSE為等腰三角形且用=|明，聞=|0段,

所以|叫+|「用=陷|+閥|=2x4=8.

在耳中，因為用a=i鳥a，|sq=i罌所以

1。。1日畢1=；（附+四）=4,

故。的軌跡方程為：x2+y2=\6.

令M（x，V）,則。（2元江所以4.d+y2=i6即一+2=1,

416

故答案為：？+2=1

416

【點評】本題考查橢圓的幾何性質以及動點的軌跡方程，注意遇到與

焦點三角形有關的軌跡問題或計算問題時，要利用好橢圓的定義，另

外，求動點的軌跡，注意把要求的動點的軌跡轉移到已知的動點的軌

跡上去.

3.x2+y2-4y=0。/0）

【分析】設M點坐標（陽，2）（/〃/0）,由于M4,MQ是過M點的圓的兩

條切線，求出切點弦4Q的方程陽+2尸4,將其與圓的方程聯立，可

以得到。點坐標，由于AM垂直于）.軸，于是垂線3Q就垂直于x軸，

因此3、。橫坐標相同.又肱1、%?是圓的兩條切線，于是MA=MQ,

因此可知MH過AQ中點，而由圓的對稱性可知，MO也過AQ的中點，

于是可知M、〃、。三點共線.又直線。河的斜率知道了，8點的橫

坐標知道了，于是〃點的縱坐標也出來了，則垂心〃的軌跡可求.

【解析】解：由題意設M點坐標（〃J2）（〃沖0）,則以M。為直徑的圓的

方程為（工-今）2+（）—『=；而+4）,

又圓。的方程為』+產=4,兩式作差得："1Y+2y=4.

Sin

/7a+2y=4-m2+4t卜=。

聯工*+戶4,斛侍」2/叫y=2?

?m2+4

則點。的橫坐標為粵.

W+4

由于垂直于》軸，于是垂線4Q就垂直于工軸，因此8、Q橫坐標

相同.

又MA、MQ是圓的兩條切線，于是M4=MQ,因此可知（〃為三角

形M4Q的垂心）過AQ中點，

而由圓的對稱性可知，M。也過AQ的中點，于是可知M、H、。三點

共線.

由直線MO的方程為），

m

代入Q點橫坐標得H點的縱坐標為y=舄.

X=~2~7

三角形MAQ的垂心的軌跡方程為24

Io

【點評】本題考查軌跡方程的求法，訓練了參數法求曲線的軌跡，解

答此題的關鍵是求出過切點的弦的方程，屬于中檔題.

4.x=a2

【分析】由已知，可得直線/恒過(L。)，由題意知，直線P。斜率不為

0,設PQ的方程為工=卬+1,),Q(X2,y2)(j,>0,<0),R(x,y),聯

立橢圓方程，解得)1,外，再由由三點共線可得匕;士，由

人IC4.\?IC4

4，。小三點共線可得看:廣7,兩式相除可得皆H巖言，再

入一Cl42一。A+uA2［入2+

將加乃代入化簡即可.

【解析】因為〃?(2-)，)+(1-2"?)x=y+1(m￡/?),

所以加(2-y-2x)+x-y-l=0,

由□一'一V:：)得1=；，故直線/恒過代°)，

x-y-\=0Iy=0

由題意知，直線PQ斜率不為0,

設PQ的方程為x=a+1,,y）,Q（&，％）（凹>。,H<0）,砍乂y）,

聯立橢圓方程，得立產+云》2+2冷+從=o,

222222

b-crb-2btiab-b)(y}+y2)

則/>0,^=-一書----

由A，RR三點共線可得士=七

人ICI人［Ic<

>2

由&，Q，R三點共線可得

x-ax2-a

兩式相除可得二="二至=爾6+1一“）=叱（-%

兩式相除J侍X+4力區+。）為（為+1+。）通）［+（1+。）%

pr-/r)(yl+y2)

/2川十(1~)"_"1昭曰

西-⑹(…)白\解"

Z-一城—+(”小

所以點R在定直線“=/上，故點R的軌跡方程為x=a

故答案為：x=a

【點評】本題考查直線與橢圓位置關系中的定值問題，考查學生的邏

輯推理與數學運算能力，是一道難度較大的題.

x25V2

5?丁十加工。）

【分析】設△耳加工的內心為/,連接M/交匯軸于點N,由內角平分線

性質定理得到瑞=|,設/伍力“?,%）,N（x，y）,再由焦半徑公式

及內角平分線定理得到為則N,然后利用向量關系把加

的坐標用/的坐標表示出來，代入橢圓方程求解.

【解析】如圖，設△￡”人的內心為/,連接Ml交x軸于點N,連接陰，明

在△,以￡/中"；是/嗎N的角平分線.

根據內角平分線性質定理得到招=黑.

同理可將阿-西.

\MI\_\MF\+\MF^2g_a

所以畫一國一兩，根據普比/E理行:

|M||N￡|+|N5|2C

22

在橢圓工+二=1中，a=3,b=?c=2

95

而以幽-3

所以|陽|2

設/（匹V），M&，%），N（X，X）,則治+0

2

同理|M周二3-針。

3+鼻'。JT+24

又由N|=%+2,后N|=2-再，則T-=L，可得±=6%

3爭2f9

所有N^x。,。）

MI=(x-x(),y-y())JN=

13<z233

=ri,傳B毛一工二1毛一不了,y-y=--y

乙1乙0乙

所以/=-白,為=/,代入橢圓!+《=1方程.

229J

得小乎I，由…，則"。?

所以的內心軌跡方程為：鳥+孚=心-0)

44

故答案為：一+2-=l(ywO)

44

【點評】本題考查橢圓的簡單性質，考查焦半徑公式，內角平分線定

理的應用，屬于難題.

6.(1)(2)TV

【分析】(1)由點川L2)且ODLAB于點。，可求得直線A8的方程,

聯立直線方程與拋物線方程由韋達定理可表示)一%,進而表示4,

再由OA_LQ8,得0408=0構建方程，解得〃值；

(2)分別表示S&PQF與S^MNF、由已知S,QF=2SAMM構建方程，解得/的

值，設MN的中點E的坐標為(hy),當MN與X軸不垂直時，由

KWN=K,￡構建等式，整理得中點軌跡方程；當朋N與x軸垂直時，丁與

E重合，綜上可得答案.

【解析】⑴由。。S3及Q(l,2),得直線?的斜率攵

KOD乙

貝IjA8的方程為y-2=-；(x—1),即X=-2y+5,

乙

設AG/A),5(與，%),

聯立卜:2'二消去.1?得了2+4〃),一1°〃=°,A=16/r+40p>0,

lx=-2y+5,

由韋達定理，得以為~。〃，于是中8=4莖=空=25,

2PZp4P

由。\J.O8,得0408=0,即//+以）”。，則25-10〃=0,

解得P=|.

（5、

（2）由（1）得拋物線的焦點/pO,設C的準線與不軸的交點為G,

則S"Q-=；|FG||PQ|=?||），「叼,S'.=g|FT||PQ|=；/-5），「月|,

由S&PQF=2sAMNF,得'—：=；，且得，=：.

設MN的中點E的坐標為（X,y）,

則當MN與x軸不垂直時，由K,WY=K".,

5

）‘2一）'1—）'一°一,m上=2;上

可得馬一不552y5,

x——x——M+Xx——7x——‘

255222

5255）

=—x------工工一:

242萬

當MN與x軸垂直時，T與E重合，

575

所以MN的中點的軌跡方程為r=|-r-y.

【點評】本題考查由已知關系求拋物線的標準方程，還考查了在拋物

線中線弦的問題下求中點的軌跡方程問題，屬于難題.

2

7.（1）^=K2（-_4）y>3；作圖見解析；（2）答案不唯一，具體見

解析.

【分析】（1）設由題意，）+（），-+|k3|=4,分類討論，

可得點M的軌跡方程，并畫出方程的曲線草圖；

（2）當Y0或年4顯然不存在符合題意的對稱點，當（Xr<4時，注意

到曲線C關于y軸對稱，至少存在一對（關于》軸對稱的）對稱點，

再研究曲線C上關于8（0#對稱但不關于）?軸對稱的對稱點即可.

【解析】解：⑴設M（x,y）,由題意信+（）、-1）2+|），一3|=4

①：當"3時，有商+（）,_]）2=y+],

化簡得：丁=4），

②：當）>3時，有卜+（）,—以=7—），,

化簡得：用=T2（y—4）（二次函數）

4y,y<3

綜上所述：點M的軌跡方程為爐=■■（如圖）：

-41y>3

（2）當TO或年4顯然不存在符合題意的對稱點,

當。時，注意到曲線C關于〉軸對稱，至少存在一對（關于了軸對

稱的）對稱點.

下面研究曲線C上關于8（0"）對稱但不關于），軸對稱的對稱點

設P（M，No）是軌跡^=4y（y<3）上任意一點，

則W=4%（%?3）,

它關于8（（V）的對稱點為以-知2一%）,

由于點。在軌跡d=T2（y-4）上，

所以（一而『=-12（2/-y0-4）,

4y0=-12（2/-y0-4）,

化簡得/=弊（。4％43）

①當先?0,3）時，飛（2,3）,此時方程組（*）有兩解,

即增加有兩組對稱點.

②當先=0時，，=2,此時方程組（*）只有一組解，

即增加一組對稱點.（注：對稱點為2（0,0）,2（0,4））

③

當兒=3時，r=3,此時方程組（*）有兩解為尸（2五3）,Q（-2后3）,

沒有增加新的對稱點.

0,r<0,r>4

l,re(0,2)

綜上所述：記對稱點的對數為M,M=2,f=2

3"e(2,3)

Ue[3,4)

【點評】本題考查根捱幾何條件告訴的等量關系求軌跡方程，考查分

類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，難度大.

8.(I)y2=2x；(2)(V2-l,+oo)

【分析】（1）設點。的坐標為（占），），結合題意得出點。的坐標,

再利用向量數量積的運算可得出點P的軌跡方程;

（2）設A（X1,y）、B（X2,>2）、D（X3,力），設直線AM的方程為

…卜十彳

,將該直線方程與曲線C的方程聯立，結合韋達定理進行

計算得出點B和點。的橫坐標相等，于是得出8。Lt軸，根據幾何

性質得出^MBD的內切圓圓心H在x軸上，且該點與切點的連線與

A3垂直.

方法一是計算出^MBD的面積和周長，利用等面積法可得出其內切

圓的半徑的表達式；

方法二是設〃（也一小0）,直線8。的方程為X=X2,寫出直線AM

的方程，利用點H到直線AB和AM的距離相等得出r的表達式；

方法三是利用△MTHSAMEB,得出嚕=祟，然后通過計算得出

MBBE

△MBD內切圓半徑r的表達式.

通過化簡得到「關于電的函數表達式，并換元/=9+；＞1,將函數關

系式轉化為r關于/的函數關系式，然后利用單調性可求出r的取值

范圍.

【解析】（1）設點P（xy）,則Q（-2,y）：,OP=（x,y）,OQ=（-2,y）

OP.OQ=0JOPOQ=-2x+y2=0,即y2=2x

（2）設A（$，x）,。（如必），直線8。與主軸交點為%內切

圓與A8的切點為7.

kkR+g）,則聯立方程"'=4"；），得：

設直線A”的方程為:

I，），=2工

公/+田一2卜+$0

，不＜3＜,****直線4N的方程為：

y2/-2+2婷_2%+；）x+；y,=0,化簡得:

與方程丁=2x聯立得:V|

2X]X~—2X]~+—x+—=0

解得：x=或X"VA：3=—=X???8OLE軸

?-V?*?-VI2

設&V/8Z）的內切圓圓心為〃，則〃在x軸上且長T_LAB

方法（一）JS9仍/）=gJ+32帆|,且AM8Q的周長為:

+y2+

2j爸+g)22|y2|

方法（二）設”（赴-〃）），直線8。的方程為：/=七，其中），22=2W

直線AM的方程為：，…?［2）,即）了-9+彳＞+彳），2=。，且點〃

X）十c乙）乙

與點。在直線A8的同側，

（x2-r）y2+-%（x2-r）y2+^y2

?*?r=卜［丫=『］、2,解得：

心+力為2任…

1

5y21

占+丁

、、*/—、???MHHT口門一2向，解

萬法(二)?:麗H?WEB,即

MontL1

+—+)/

-2)

得:

令/=占+3,則/>1

1+1+1在(Uw)上單調增,則f看,即r的取值范圍為

-1rt

(夜-1,+8).

【點評】本題考查軌跡方程以及直線與拋物線的綜合問題，考查計算

能力與化簡變形能力，屬于難題.

9.(1)y=-x-y/3,y=--x+yf3;(2)-^-+^-=1.

3398

【分析】(1)設所求直線1的方程為y=kx+b,由直線I與。G相切、

直線1截。C2的弦長，列方程組即可求出直線L的方程.

(2)由題意得：|MC,|+|MC2|=6,設動點M(x,y),列方程能求出

動圓M的圓心M軌跡方程.

【解析】解：⑴設所求直線L的方程為產丘+兒

.??直線L與°G相切,?..拼=1,⑴

又直線L截。C2的弦長等于2721,

2后=2,解得cfu/.ZlE,

???|h"=2Vi7F,???心臼=型+可，

?,?好3〃=0,（，”）或3〃+〃=（）,（nzz）

（山）代入（/）,得：1爭=標,21=。，無解，

（同）代入（/）,得：■析,解得:±*，

當仁坐時，/k_后直線方程為廣

當仁半時，b=6,直線方程為產當x+G.

經檢驗得斜率不存在的直線均不適合題意.

故直線L的方程為產g-百，或尸斗+血

JJ

（2）由題意得：|MCI|+|A/C2|=6,

設動點M（x,y）,則JmV+Jo+l）、）？心

解得!+（二1,

VO

22

???動圓M的圓心歷軌跡方程為5+看=1.

【點評】本題考查直線方程的求法，動圓的圓心的軌跡方程的求法,

直線與圓相切、弦長公式、直線方程、圓、兩點間距離公式等基礎知

識，屬于難題.

10.M的軌跡是以（2p,0）為圓心，以2〃為半徑的圓，去掉坐標

原點.

【解析】

【分析】設出點的坐標，根據給出的兩個垂直關系，得到各個坐標間

的關系，最后消掉參數得到軌跡方程，并去掉不符合的點。

【解析】如圖，點在拋物線），=4px上，設4序.小島）二

OA,OB的斜率分別為

所以

3套$7

4〃

由OAYOB,得

%,*=-=T....①

力為

依點A在4"上，得直線AB方程

3+笫）（＞-以）=4pX-?.……②

由OM上AB,得直線OM方程

),=%+)'—?..③

-4/?

設點

則MV滿足②、③兩式，將②式兩邊同時乘*,并利用③式整理

得

—尺+，以_（/十）,2）=o.….④

4〃'7

由③、④兩式得

一4八%一（/+）?）=（）?

4P'7

由①式知，=-,6P2?***x2+y2-4px=0.

因為AB是原點以外的兩點，所以XWO.

所以M的軌跡是以（2p,0）為圓心，以2P為半徑的圓，去掉坐

標原點.

【點評】本題考查了曲線軌跡方程的求法,通過迭代法、設而不求，

得到各個坐標間的相互關系，最后消去參數得到軌跡方程。注意最

后要把不符合要求的點坐標舍棄，屬于難題。

11.（I）:+?=1;（II）x=4.

【分析】（I）由橢圓E的離心率得出寫出直線A8的方程,

利用原點到直線A8的距離為半得出〃的值，進而得出〃的值，于此

得出橢圓E的方程；

（II）設點設X，yJ、。&,乃）、%（如%）,設直線CD的方程為了=沖+1,

將直線的方程與橢圓E的方程聯立，并列出韋達定理，利用斜率

公式以及直線N。、NM、N。的斜率依次成等差數列，2kNM=kNc+kNDi

并代入韋達定理求出兒的值，即可得出點N的軌跡方程.

【解析】（I）由/=<=二1=1一4■二，得a=后，

aaa2

由點小,叭WOT）可知直線48的方程為:廣I,即＞小一同"

0+0-后|y[2b2G

由于原點到直線AB的距離為苧，即歷詞

-7=方=亍，得

3

b=母、

L=2,因此，橢圓￡的方程為小三=1；

（n）設點設再,乂）、。&,泗）、Mwo）,設直線8的方程為了=”+1,

x=my+1

聯立直線C。的方程與橢圓E的方程f）,2

—+—=1

42

消去x并整理得（＞+2）），2+2，町，一3=0,A=16（＞+3）＞0,

由韋達定理得）-為=-中，），/=

k,L=--%[必-%=y一%?%-，)

⑶陋X,-XoX2-Xo處+(1-/)?2+0一%)

二2一--6。(y+必)+(?-％)(y+%)-2)-/)為

k2yp2+左(1一%)(凹+%)+(170『

-6*+2Z~-%-2k(1-Xo)-2(K+2)(1-工0).%

22

--3Z:-2^(1-X())+(^4-2)(1-X0)

二式2)，0_2%(1_6)卜任6+2(170)]_4|：1_1)先

22

"^[(1-X0)-2(1-X0)-3]+2(I-X0)①'

而2&,=務②，

/一】

力上,日&2[2%_2yo(iJHk+ZOro「TlQHo=2)，。

由通扇、侍公[(—%)2一2(一。)一3]+2(17。)2―與7'

故得6+2(1-天)=0,解得9=3

再代回①式得=孕，回代②式可得辛，

“：I；乙；K；”?》IOJ

由此說明點N的軌跡為直線x=4.

【點評】本題考查橢圓方程的求解，考查動點軌跡方程的求解，考查

直線與圓錐曲線綜合問題的求解，解決這類問題就是將直線的方程與

圓錐曲線的方程聯立，結合韋達定理設而不求法來求解，難點在于計

算量大，屬于難題.

12.(1)x-y-l=O；(2)1,>=v.

【分析】⑴設心用，8人,4],分別求出以>8為切點的切線

方程，聯立兩切線方程表示出點。的坐標，再設直線A8的方程為：

y-i=^(x-D,與拋物線的方程聯立，代入可得點2的軌跡方程；

(2)由⑴知|陰和尸(工-1)到直線AB的距離,利用三角形面積公

式求得/\PAB面積S=4伏-1)2+￡,可求得S的最小值和直線”的方

程.

【解析】⑴設4卜高｝《總｝y=^x\y=X

則以A為切點的切線為3，§3(13整理得：專，

同理：以B為切點的切線為：尸松一:，

y=xx-^-z、

聯立方程組：t解得《與工，竽)，

設直線A8的方程為：y-1=A:(x-1),

y-\=&(xT)

聯立方程組1,,整理得：x2-2k.x+2k-2=0,

y=—x~

△=4攵2_4（2攵_2）=4（攵_1）2+4>0，恒成立,

由韋達定理得：X+X2=2Z,內％2=2攵-2,故P（攵，攵一1）,

所以點尸的軌跡方程為x-y-i=o；

（2）由（1）知：卜J1+M.“％+/）2-4中2=24+公7k2-2k+2,

P（ZM-l）到直線AB的距離為：二+2,

J1+公

.?.S=扣卦d=J（公-2k+2）3=J［（I）2+『,

?,?&=1時，S取得最小值1,此時直線AB的方程為）"X.

【點評】思路點睛：本題考查直線與拋物線的交點相關問題，涉及到

拋物線的切線和三角形的面積的最值，直線與拋物線的位置關系和直

線與橢圓、雙曲線的位置關系類似，一般要用到根與系數的關系.屬

中檔題.

13.（1）《+4=1（］，±2）,曲線C為中心在坐標原點，焦點在r軸上

43

的橢圓，不含A,8兩點；（2）①證明見解析；②證明見解析.

【分析】（1）利用直接法表示出直線人與鄰的斜率之積，化簡可得

到曲線方程；

（2）①設直線AM的方程，由AM_LAN,可得直線AN方程，與橢圓

聯立可求點N坐標，進而可求得直線8N方程，與AM聯立即可得證

33

點p在定直線上；②由（1）得h,A-%=k?心,=,又AM，4V,

進而可得直線N8與直線MB的斜率之積.

【解析】⑴解：由題意，得一?一三=-%，±2）,

X+ZX-24

化簡，得:+:=1（工工±2）,

所以曲線C為中心在坐標原點，焦點在X軸上的橢圓，不含A,8兩

占

（2）證明：①由題設知，直線M4,的斜率存在且均不為0.

設直線AM的方程為x”-2c0）,

由AM_LAN,可知直線的斜率為鮑=-J方程為X=-1-2.

由廣一得（4產+3）），2+12）=0,

3/+4），2=12,

解得"-懸，則⑵、-2轉，即%%-8~⑵、

2，

4r+3;<4r+3~4r+3/

⑵

4/+3

直線N8的斜率為鐮=IL3

6-Sr4t

門一2

則直線8N的方程為），吟（x-2）,將），=》x-2）代入』，-2,解得

x=-14,

故點尸在直線x=-14上.

33

②由(1),得勤+\8=一"""％=嗎

所以“附'&N8'㈢、罔德

o

結合…得丁為定值.即直線延與直線抽的斜率之

積為定值.

【點評】解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：

（1）注意觀察應用題設中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件;

⑵強化有關直線與橢圓聯立得出一元二次方程后的運算能力,重視根

與系數之間的關系、弦長、斜率、三角形的面積等問題.

14.(1)/=4x(.0)；(2)證明見解析，定點為(2,0).

【分析】(1)設點P(x,y),E(TM),尸㈠乃)，由"可得出人=Y,

由￡P〃OA,AW/OP可得出y=Jy=-bx,代入而=_4化間可得出動點

。的軌跡C的方程；

(2)設直線/的方程為1=)+〃5工。)，設點”(5,兇)、N&M,聯

立直線/與曲線C的方程，列出韋達定理，由OM.ON=T可求得〃的

值，可得出直線/的方程，進而可得出直線/所過定點的坐標.

【解析】⑴設時，)，)、,

則AE=(-2M),AF=(-2⑼,EP=(x+l,y-a),OA=(1,0),尸0=(1,叫,

lllli

OP=(x,y).

由得/=4+他=0,且點E、F均不在無軸上，

故必=~4,且400,岳口).

SEP//OA,得)』〃=0,即)'=

由FO//OP,得—十丁=。，即丁=-/".

所以y2-—abx—4x,所以動點P的軌跡C的方程為：)尸=4"(》0)；

(2)若直線/的斜率為零時，則直線/與曲線。至多只有一個公共點，

不合乎題意.

可設直線/的方程為％=)+〃(〃工。).

由二",得)，2_奶-4〃=0.

y=4x

設何(內，,)、%(公,%)，貝心1+必=4/,y\y2=-4n,

(yyf

2

OMON=xix2+y)，2="J"+y)，2=n-4〃=-4,

〃工0,解得〃=2,所以，直線/的方程為x="+2,即直線/恒過定

點（2.0）.

【點評】方法點睛：直線過定點：根據題中條件確定直線方程y=u+〃?

中的k與、所滿足的等量關系或等式，然后再代入直線方程，即可確

定直線所過定點的坐標

15.（1）2x2+y2-2ax-by=0；（2）答案見解析.

【分析】（1）先把41兩點和點。的坐標設出來，再分A8兩點的橫

坐標相等和不相等兩和情況分別設出直線的方程，再利用A3兩點既

在直線上又再橢圓上，可以找出A8兩點坐標之間的關系，最后利用

中點公式，即可求得點。的軌跡方程（注意要反過來檢驗所求軌跡方

程是否滿足已知條件）；

（2）先找到曲線與）.軸的交點（。，。），（。，〃）以及與x軸的交點（。，。），（。，0）,

再對的取值分別討論，分析出與坐標軸的交點的個數（注意點

尸（〃㈤的坐標滿足.

【解析】（1）設點A、8的坐標分別為（即，y）、（%V）,點Q的坐

標為Q（x,y）,

當芭工々時，設直線斜率為左則/的方程為尸代。）+兒

由已知Y+f=i①，￥+?=1,②

y\=k（x\-a）+b（3）,y>2=Kx2-a）+b,@

①②得（M+X2）（M-R2）+y（）"+y2）Cyl-y2）=0.⑤③+④得

y\+y2=k（x\+x2）-2ka+2b,⑥

由⑤、⑥及戶詈，心戶資，

得點Q的坐標滿足方程2f+)22ax孫二()，⑦

當幻二入2時，4不存在，此時/平行于y軸，因此的中點Q一定落

在x軸，

即Q的坐標為3,()),顯然點Q的坐標滿足方程⑦

綜上所述，點。的坐標滿足方程2『+y2-2or孫0=,

設方程⑦所表示的曲線為/.

2x2+y2-2ax-by=0

則由<,2得(242+/)/_4ax+2-序=o,

x^+—y=1

2

因為4=8/(4+卷/),由已知

所以當〃+?=1時，J=O,曲線/與橢圓。有且只有一個交點P(〃，

加

當/+[<1時，j<0,曲線/與橢圓。沒有交點，

因為(0,0)在橢圓。內，又在曲線/上，所以曲線/在橢圓。內，

故點Q的軌跡方程為2f+產2at孫=0；

⑵由5犬+/—/—外=o,得曲線/與y軸交于點(0,0)、(0,。)；

v=0

由"24,2，0,得曲線/與X軸交于點(0,°)、(出0)；

十y一乙(IX—Dy=U

當D,當0,即點P(a,與為原點時，(4,0)、(0,與與(0,0)重合，

曲線/與x軸只有一個交點(0,0)；

當4=0且0<|帳0時，即點P（〃，與不在橢圓。外且在除去原點的y

軸上時，點（。，0）與（0,0）重合，曲線/與坐標軸有兩個交點（0,份與

（0,0）；

同理，當/尸0且0<|正1時，即點尸（。，份不在橢圓。外且在除去原

點的/軸上時，曲線/與坐標軸有兩個交點3,0）與（0,0）；

當0<間<1且0<|例<52（1-4）時,即點P（a,份在橢圓C內且不在坐標

軸上時，曲線/與坐標軸有三個交點m,（））、（（），〃）與（0,（））.

【點評】解答圓錐曲線問題的策略：

1、參數法：參數解決定點問題的思路：①引進動點的坐標或動直線

中的參數表示變化量，即確定題目中核心變量（通常為變量攵）；②

利用條件找到k過定點的曲線F（x,），）=o之間的關系，得到關于々與x,y

的等式，再研究變化量與參數何時沒有關系，得出定點的坐標；

2、由特殊到一般發：由特殊到一般法求解定點問題時，常根據動點

或動直線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關.

16.（1）9+丁2=1（彳。±2）,曲線。是焦點在x軸上，長軸長為4,短

軸長為2的橢圓，去掉兩點（-2,0）,（2,0）；（2）證明見解析.

【分析】（1）由斜率公式求得各直線的斜率，根據題意列式整理得到

曲線的軌跡方程，結合橢圓的方程判定軌跡為橢圓，注意根據斜率有

存在，得到工。±2,軌跡中要去掉橢圓的左右頂點；

（2）①直線/斜率不存在時，易得直線/的方程為尸-1;②直線/

斜率存在時，設/的方程為了=依+〃。#1）,設。（不乂），七（々，%）,聯

立方程，利用韋達定理和斜率公式可得攵="1,進而利用直線的方程

說明直線恒過定點（-卜1）.綜和即得結論.

【解析】（1）解：因為AM與的斜率之積為-

所以有號'官=一*±2），

化簡得3+）'=l（x。±2）,

所以曲線C是焦點在工軸上，長軸長為4,短車日長為2的橢圓，去掉

兩點（一2,0）,（2,0）.

（2）證明：直線/不經過點P（0，l）,則點。，上不與點P重合，

①直線/斜率不存在時，設直線/的方程為x=J

由V2I，解得。4,—0—，Ea,------------

—44--V=1'，)'，

>/4—6f2\j4-a~

所以k----k-二TZ

%FD_KPE―

aa

因為2Po+如?=2得a=一1,即直線/的方程為x=-\；

②直線/斜率存在時，設/的方程為產&+〃（〃工1）,設力（x，y）,E（4，”）,

y=kx+b

由(V得X+赴=一8kb4b2-4

2?,

—4-y=14F7T卬"wp

4-

由kpn+kp￡=2得&=/?+"

則/:），=（〃+l）x+〃，則y+i=（"i）（x+i）,恒過定點（TT）.

綜上所述，/過定點（T，T）.

【點評】本題考查求曲線的軌跡方程和軌跡，橢圓的方程和性質，直

線與橢圓的位置關系和圓錐曲線中的直線過定點問題，屬中檔題.注

意第二問中的定點問題，要分直線的斜率存在于不存在兩種情況的討

論說明.

17.(1):+)，2=1()*0)；(2)證明見解析.

【分析】(1)設點，列式，化簡(注意斜率存在的條件)，求軌跡方

程.

(2)直線/傾斜角不為0,設直線的方程工=，紗+1(不用取討論斜率

是否存在)，聯立直線和橢圓的方程，消元，韋達定理，用點的坐標

表示直線AM和8N方程，求交點虱即先)，進而求出與=4,即證明交

點在直線x=4.

【解析】⑴設點P(uy),

x+2x-2

貝=得4)3二4一Y,即一+產=1("0).

故軌跡C的方程為：J+)，2=l()，w0).

(2)根據題意，可設直線"N的方程為：*=叨，+1,

x=my+1

由二+2=］，消去X并整理得(>+4川+2沖-3=0.

彳+'—

其中,A=4m2+12(W2+4)=16m2+48>0.

設M(x，yJ,%(占,必)，則))+%=-一把=一一工.

因直線/的傾斜角不為0,故司，占不等于±2()1,月不為0),

從而可設直線AM的方程為：)，=總(1+2)—①，

人］十乙

直線8N的方程為：y=-^-（x-2）一②,

X?一乙

所以，直線AM,AN的交點。（心），0）的坐標滿足:

"。+2=潸|^-2).

%（X+2）%（，明+3），明％+3%

而

X(4一2)y(/ny2-l)